一種適用復雜非線性黑箱系統的參數靈敏度分析方法

鄧輝詠，王　炎，郝　剛，孫海濤

(1.軍械工程學院，河北 石家莊　050003；2.66442部隊分庫，山西 陽泉　045233)

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一種適用復雜非線性黑箱系統的參數靈敏度分析方法

鄧輝詠1，王炎2，郝剛1，孫海濤1

(1.軍械工程學院，河北 石家莊050003；2.66442部隊分庫，山西 陽泉045233)

主要研究了全局靈敏度分析法在解決實際問題中的優點和不足，提出了基于均值和方差的多個局部靈敏度參數評價全局靈敏度，并用多屬性決策機制進行靈敏度排序的雙參數靈敏度分析方法。該方法克服了單一參數評價全局靈敏度的缺陷，不需知道輸入變量和輸出響應的分布規律，可以采用較少的數據量得到可信的結果,為復雜非線性黑箱系統參數靈敏度分析提供了新的思路，通過實例驗證了本方法的有效性和可信性。

靈敏度分析；非線性系統；雙參數；黑箱系統

靈敏度分析是一種研究基本輸入變量的不確定性在其輸出響應不確定性分配的技術，是概率風險評估問題的主要組成[1],現已廣泛運用到了影響目標性能的關鍵因素篩選上，葛建立等采用靈敏度分析法提取了9個對自行火炮底盤俯仰角幅值較大的因素[2]；張猛等利用靈敏度分析從60個結構件中提取9個對車身彎曲剛度、扭轉剛度、一階扭轉頻率和車身質量影響較大的結構件[3]。

靈敏度分析方法有局部靈敏度分析和全局靈敏度分析。局部靈敏度分析法主要有：直接求導法、有限差分法和格林函數法。局部靈敏度分析只能獲得某個點(或較小區間段)的靈敏度，其反映的是某個輸入參數在初值附近的變化對輸出的影響，無法對輸入參數在整個取值空間及參數之間的共同作用作出估計。全局靈敏度能夠對輸入參數在整個取值空間的作用作出估計。

1　全局靈敏度分析法的優點和不足

1.1全局靈敏度分析法的優點和不足

全局靈敏度分析法主要有：非參數方法靈敏度分析、基于方差的靈敏度分析和矩獨立方法靈敏度分析3類[4]。

非參數方法靈敏度分析主要包括：Pearson相關系數靈敏度分析、標準回歸系數靈敏度分析、偏相關系數靈敏度和Spearman相關系數靈敏度分析。采用非參數方法的優點在于考慮了基本輸入變量與輸出響應量之間的相關關系，文獻[5]指出，該方法對于非線性模型，不能有效地反映目標函數值隨設計變量變化的程度。

基于方差的靈敏度分析最早由Nakashima和Yamato提出，包括Heltoh、Andsten-vaurio、sobol一階矩、sobol全效應等靈敏度。基于方差的靈敏度分析側重于衡量基本輸入變量對其輸出響應量的方差貢獻程度，優點是考慮了基本輸入變量在整個取值范圍內對輸出響應的貢獻以及基本輸入變量的交互關系，但由于包含了方差，能夠充分描述輸出響應的不確定性的隱含條件，Oakley和Ohagan在文獻[6]中指出，采用單一的方差作為靈敏度分析結果，會導致決策錯誤。Borgonovo在文獻[7]中指出，描述輸出響應變化時，方差并不總是充分的，靈敏度應當是一個完整的輸出響應分布，而并非某一個特殊的矩。

矩獨立方法靈敏度分析是Borgonovo提出的一種基本輸入變量對其響應量分布影響的靈敏度分析方法[8]，其優點在于考慮了輸出響應量的整個分布，但由于靈敏度指標過于單一，沒有全面顧及變量的單獨影響和變量之間的交互作用，且由于采用蒙特卡洛法進行求解，計算量太大。

對于大型復雜非線性系統，例如以射擊精度為目標的自行火炮系統，其輸入與輸出之間很難用一個明確的數學關系式描述。

文獻[9]用Simulink建立某機電系統的仿真模型，再運用Simlab軟件進行靈敏度分析，得到靈敏度分析結果，其優點是采用仿真軟件建立了輸入與輸出的關系，缺點是用Simlab進行靈敏度計算時，需要明確輸入變量的分布關系。

也有文獻采用神經網絡[10]、支持向量機(SVM)[11]等建立輸入與輸出的關系，進而用靈敏度分析法分析各輸入參數的靈敏度。采用這種方法的缺點是：要獲得較高的預測精度，須有大量原始數據作為支撐。

對于自行火炮系統，大量的射擊試驗費效比較低，且由于這種物理測試方法很難控制結構參數的變化，如間隙由于射擊的不斷進行而退化變大；彈簧剛度由于疲勞退化而變小，因此，現有的全局靈敏度分析法都不是解決自行火炮這樣大型非線性系統靈敏度問題的有效方法。虛擬樣機技術則不存在這個問題，它可以用較少的試驗數據，驗證虛擬樣機的有效性和正確性；另外，虛擬樣機上可以保持其他參數不變，很精確地控制攝動參數，研究攝動參數對系統的影響。但虛擬樣機技術對于大型復雜非線性系統，存在計算效率較低，計算量大，不適宜做大量的仿真試驗的缺陷。

文獻[12]將全局區間分成多個小區間的方法進行分析，使各個小區間滿足Δb足夠小的條件，認為目標函數值在小區間上線性變化的，用該區間上的差商代替這個區間的靈敏度，然后對各個區間的靈敏度進行求和得到全局靈敏度，是一種由局部評價全局的有效嘗試。該方法為全局靈敏度的求取開拓了思路，但仍有其局限性。

1.2現有局部靈敏度評價全局靈敏度的不足

假設某4個參數在可行域(a,e)內對其目標函數的關系分別為z1(x)、z2(x)、z3(x)和z4(x)，如圖1所示。

采用有限差分法計算局部靈敏度，反映到圖1中即為該參數在某局部域的斜率。域(a,b)和域(d,e)各曲線的斜率分別為：k1=0、k2=1、k3=2、k4=1/3；域(b,c)和域(c,d)各曲線的斜率分別為：k1=0、k2=-1、k3=-2、k4=-5/3。若按文獻[3]的方法，將可行域(a,e)分成(a,b)、(b,c)、(c,d)和(d,e)4個局部域，各局部域滿足有限差分法計算局部靈敏度的條件，根據其定義式，在局部域上的斜率即可代表該域內的靈敏度。從圖1中可看出，在域(a,b)和域(d,e)上滿足關系：s3>s2>s1；而在域(b,c)和域(c,d)上則滿足關系：s3s2>s1，似乎體現了總體變化率的大小。但是從曲線2和曲線4的比較來看，按絕對值求和取均值的方法得到的靈敏度相等：s2=s4=1。在工程上更需要關注的是像曲線4那樣在多個局部有較大靈敏度的情況，因此，實際上曲線4相對于曲線2，其靈敏度更大。如果采用主靈敏度法(即選取局部靈敏度的最大值作為全局靈敏度)進行關鍵因素篩選，這樣雖然關注了最大靈敏度的區間，但次大局部靈敏度和其他局部靈敏度也要受到關注，因此，必須考慮所有區間靈敏度的影響。考慮到均值能夠反映全局靈敏度變化趨勢，方差能夠反映離散程度，采用可行域內多局部靈敏度的均值和方差兩個參數評價全局靈敏度，并通過Topsis多屬性決策機制對兩個參數進行決策，得到全局靈敏度，取名為雙參數全局靈敏度分析法(Dual-parameters Global Sensitive Analysis，DGSA)。

2　雙參數全局靈敏度分析法

2.1相關定義和算法

定義：雙參數全局相對靈敏度分析是指將參變量x相對目標函數f(x)在區間[a1,an+1]變化，以Δb為長度，將區間[a1,an+1]分成有限個小區間[a1,a2]、[a2,a3]、…、[an,an+1]，且滿足[a1,an+1]=[a1,a2]∩[a2,a3]∩…∩[an,an+1]，當Δb較小時，認為f(x)在任一子區間[ai,ai+1]為線性變化，根據局部靈敏度的定義，該區間上的斜率即為其靈敏度

(1)

式中，ai、 f(ai)分別為區間端點的參量值和目標函數值。

由于不同的參變量有不同的量綱，而目的是要分析所有參變量在其整個區間上的靈敏度，須所有的參變量放在同一尺度進行評價，即進行標準化處理，取向量a={a1,a2,…,an+1}，則

(2)

式中，E={1,1,…,1}1×n。則第i個區間上的相對靈敏度可表示為

(3)

式中，f(a0)為目標函數在初值上函數值，是為消除不同目標函數值之間量綱的不同而引入的量，如果目標函數只有一個，則可不列。

(4)

(5)

顯然，若均值和方差均比較大，該因素靈敏度排序靠前；若均值排序靠前，方差排序靠后，或者反之，其靈敏度如何評價，則涉及到多屬性決策問題。

2.2DGSA法的決策機制

如何用均值和方差兩個量來進行排序，得到最終的結果，顯然是一個多屬性決策問題。對于多屬性決策的方法有模糊法、灰色法、聚類法和Topsis法。Topsis法即逼近理想解的排序方法，是求解多屬性決策問題的典型方法之一，這種方法通過構造多屬性問題的理想解和負理想解，并以靠近理想解和遠離理想解兩個評價判據為基準，對各樣本進行排序。該方法對樣本量、指標多少及數據的分布沒有特殊限制，較適合用于雙參數全局相對靈敏度的排序，Topsis法的決策機制參考文獻[13]，這里不再贅述。

2.3復雜非線性黑箱系統的靈敏度分析流程

非線性黑箱系統DGSA分析法的分析流程如圖2所示。

需要說明的是，當各參數區間化時，如果區間的長度不一致，求取均值和方差時應該考慮區間長度的影響，以各個區間長度占總區間長度計為各個區間的權重，將權重的影響放到計算均值和方差中。

3　DGSA法的驗證

以圖1中的4條曲線為研究對象，應用Topsis法進行決策排序時，需要知道目標函數的理想解和負理想解，對于歸一化的均值、方差，若其均值和方差均為1，則應該排序靠前，因此，可構造理想解和負理想解為

A*={1,1},A-={0,0}

(6)

通過信息熵求取的均值和方差的權值為：{0.8,0.2}，通過編制Matlab程序得到各個曲線的相對逼近度(全局相對靈敏度)，表1為采用DGSA法得到的計算結果。

表1　雙參數全局相對靈敏度分析舉例結果表

從表1可知，參數x對曲線1、2、3的相對逼近度排序結果為：RC1

由于在求取局部靈敏度時，攝動一個參數而保持其他參數不變，沒有考慮各因素之間的交互作用，因此該方法在因素交互作用明顯的系統進行參數靈敏度分析時，其排序精度還有待進一步驗證。

4　結論

通過分析現有全局靈敏度分析法的優點及其在解決大型非線性系統方面的不足，提出了采用可行域內多個局部靈敏度的均值和方差評價全局靈敏度，并用Topsis多屬性決策機制進行排序的雙參數全局靈敏度分析法(DGSA)。

筆者研究了非線性黑箱系統的DGSA法分析流程，并對其有效性和可信性進行了驗證。采用了雙參數評價全局靈敏度，克服了單一參數評價的缺陷，在計算過程中不需要知道輸入變量與輸出響應的分布，且計算量相對較小，較適用于大型復雜非線性黑箱系統的靈敏度分析。

References)

[1]SALTELLI A. Sensitivity analysis for importance assessment[J]. Risk Anal, 2002, 22(3)：579- 590.

[2]葛建立，楊國來，曾晉春，等. 某自行火炮總體結構參數靈敏度分析與優化[J]. 火炮發射與控制學報，2007(3)：16-18.

GE Jianli, YANG Guolai, ZENG Jinchun, et al. Sensiti-vity analysis and optimization of integrated structural parameters for a type of wheeled self-propelled gun[J]. Journal of Gun Launch & Control, 2007(3):16-18.(in Chinese)

[3]張猛，陳勇敢，陳劍. 靈敏度分析在車身結構優化設計中的應用[J]. 汽車科技，2011(3)：22-24.

ZHANG Meng, CHEN Yonggan, CHEN Jian. Application of sensitivity analysis in the optimization design of car-body[J]. Auto Mobile Science & Technology, 2011(3):22-24. (in Chinese)

[4]韓林山. 淺析靈敏度分析的幾種數學方法[J]. 中國水運, 2008, 8(4): 177-178.

HAN Linshan. Several mathematical methods of Sensitive analysis[J]. China Water Transport, 2008, 8(4):177- 178.(in Chinese)

[5]FREY C H, PATIL S R. Identification and review of sensitivity analysis methods[J]. Risk Anal, 2002, 22(3): 553-571.

[6]OAKLEY J E,OHAGAN A.Probalilistic sensitivity analy-sis of complex models:a bayesian approach[J]. Journal of the Royal Statistical Society:Series B (Statistical Metho-dologh), 2004, 66(3): 751-769.

[7]BORGONOVO E. Measuring uncertainty importance:investigation and comparison of alternative approaches[J]. Risk Anal, 2006, 26(5): 1349-1461.

[8]BORGONOVO E.A new uncertainty importance measure[J].Reliabity Engeering System Saf,2007,92(6):771-784.

[9]李會先. MATLAB/SIMULINK與SIMLAB聯合進行不確定性、靈敏度分析的框架[J]. 科技創業家，2012(7)：161-163.

LI Huixian. Uncertainty and sensitivity analysis frame by MATLAB/SIMULINK and SIMLAB[J]. Technological Pioneers,2012(7)：161-163.(in Chinese)

[10]謝桂蘭，賀禮財，肖春芽.基于BP網絡的蜂窩鋁芯力學性能預測與靈敏度分析[J]. 材料導報，2014，28(12)：144-147.

XIE Guilan, HE Licai, XIAO Chunya. Mechanical properties prediction and sensitivity analysis for aluminum honeycomb core structure based on BP neural network[J]. Materials Review, 2014, 28(12):144-147.(in Chinese)

[11]趙金鋼，趙人達，占玉林，等.基于支持向量機和蒙特卡洛法的結構隨機靈敏度分析方法[J]. 工程力學，2014，31(2):195-202.

ZHAO Jingang, ZHAO Renda, ZHAN Yulin, et al. Stochastic sensitivity analysis method based on support vector machine and Monte Carlo[J]. Engineering Mecha-nics, 2014, 31(2):195-202. (in Chinese)

[12]蔡文勇. 大口徑車載火炮多柔體動力學與總體優化研究[D]. 南京: 南京理工大學, 2008.

CAI Wenyong. Study on flexible multi-body dynamics and overall parameters optimization for large caliber vehicle-mounted howitzers[D]. Nanjing: Nanjing University of Science and Technology, 2008. (in Chinese)

[13]朱孫科, 馬大為, 于存貴, 等. 多管火箭炮定向管的多目標優化及多屬性決策研究[J]. 兵工學報, 2010, 31(11): 1413-1417.

ZHU Sunke, MA Dawei, YU Cungui, et al. Study on MRLS direction pipe’s multi-objective optimization and multi-attribute decision making[J]. Acta Armamentarii, 2010, 31(11):1413-1417. (in Chinese)

A Parameter Sensitivity Analysis Method Suitable for Complex Non-linear Black-box System

DENG Huiyong1, WANG Yan2, HAO Gang1, SUN Haitao1

(1.Ordnance Engineering College, Shijiazhuang050003, Hebei, China;2.Divided Storage of Unit 66442, Yangquan045233, Shanxi, China)

Through research on the advantages and disadvantages of main global sensitivity analysis method in the course of solving practical problems, the Dual-parameters Sensitive Analysis method (DGSA) based on mean value and variance of multi local sensitivities in definition domain that was used to access global sensitivity was proposed, while multi-attributes decision-making method was used to calculate the sensitive value by the above two parameters. DGSA method overcomes the defect of global sensitivity accessed by single parameter. Since the distribution patterns of input variable and output response are dispensed with, a credible result can be obtained with less data. As a result, a new method to solve this type of problems is provided. An example was used to verify the validity and credibility.

sensitivity analysis; non-linear system; dual-parameters; black-box system

2015-04-01

鄧輝詠(1983—)，男，講師，博士，主要從事武器系統仿真與信息化技術研究。E-mail：deng-124@163.com

TB114.3

A

1673-6524(2016)01-0012-04