嚴格直覺模糊熵

范曉詩，雷英杰，李成海，郭新鵬（空軍工程大學防空反導學院，陜西　西安710051）

嚴格直覺模糊熵

范曉詩，雷英杰，李成海，郭新鵬
（空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051）

通過對現有直覺模糊熵構造方法的分析，針對隸屬度和非隸屬度函數相等但直覺指數不同導致熵值無法區分的局限性，借鑒經典數學中嚴格大于和嚴格小于的概念，提出了嚴格直覺模糊熵（strict intuitionistic fuzzy entropy，SIFE）的概念并給出公理化定義。在該定義基礎上給出一個SIFE構造方法，然后抽象為一般表達式，使得SIFE的特性在決策排序問題中更加適用。通過算例分析，表明該方法的正確性，與其他直覺模糊熵構造方法比較，說明該方法可以克服存在的局限性。

直覺模糊集；直覺指數；嚴格直覺模糊熵；決策

網址：www.sys-ele.com

0 引 言

自1986年文獻［1］擴展了Zadeh的模糊集理論，提出直覺模糊集以來，該理論得到了不斷完善與豐富。直覺模糊集理論中直覺指數（猶豫度）πA（x）的提出描述了事物中立的特征，其相關研究深入到模式識別［2］，決策判斷［3-5］，圖像［6-7］，醫學［7-8］等領域。熵是信息論中刻畫信息量不確定性的經典指標，許多學者自然而然將兩者進行了有益的結合，文獻［9］最早引入直覺模糊熵的公理化定義，隨后文獻［10］根據該定義給出了一種直覺模糊熵的計算式。一些學者相繼在此基礎上做了深入研究，其中文獻［11-12］根據直覺模糊熵的定義，提出了區間值直覺模糊熵構造方法，將直覺模糊熵推廣到區間值直覺模糊范疇，擴展了其應用范圍，隨后文獻［13］根據直覺模糊集距離提出了一種新的區間值直覺模糊熵。文獻［14］提出的vague熵構造方法，本質上也是一種直覺模糊熵的等價形式，文獻［15］在分析了直覺模糊熵公理化定義后，針對支持與反對證據相等的情況下，原有定義不合理的問題，修改了第一條約束條件，使其更加合理可信。文獻［16-17］根據三角函數的特性，充分考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度的影響，提出基于三角函數的直覺模糊熵構造方法。文獻［18］利用直覺模糊熵分析直覺模糊集的不確定性，并提出一種集合分離定理。

直覺模糊決策是直覺模糊理論應用的一大熱點，近些年一些文獻嘗試利用直覺模糊熵或區間直覺模糊熵進行排序或決策［19 21］，通過深入的分析，發現直覺模糊熵公理化定義對于處理形如A=＜a，a＞，a∈［0，0.5］的直覺模糊數排序和決策問題，存在先天不足。一般來講，多屬性條件下的決策方法應當可以處理單屬性條件下的決策需求，這里考慮一個極端的例子，當決策屬性退化為單一條件時，對于形如x1=＜0.3，0.3＞，x2=＜0.5，0.5＞這樣的直覺模糊數進行決策，利用現有直覺模糊熵的構造方法均無法判斷。這是因為直覺模糊熵公理化定義中將隸屬度與非隸屬度相等時的熵值規定為E（A）=1，因而本文認為這樣的直覺模糊熵定義不夠全面，某些情況下沒有嚴格體現直覺模糊熵的差別，固稱這樣的直覺模糊熵是非嚴格的，類似經典數學中“≥”或者“≤”關系，導致結果無法直接運用于排序或決策，所以原有理論存在一定的局限性。文獻［20-21］中利用不同的熵值賦權方法處理，其本質是將其他數據的直覺模糊熵值通過一定的計算，賦于無法處理的數據上，從而回避了這些數據對決策結果的影響。因此，本文考慮完善直覺模糊熵公理化定義，使其能夠區分更多情況下的直覺模糊熵，即本文所提出的嚴格概念，將直覺模糊熵推廣到更普遍的適用范圍，使得直覺模糊數排序和決策方法更加完整和統一。

1 嚴格直覺模糊熵定義及構造方法

Atanassov［1］給出直覺模糊集的定義如下。

定義1 設X是一個給的論域，那么直覺模糊集合A=｛＜x，μA（x），γA（x）＞|x∈X｝為直覺模糊集，記作IFS（X）。其中μA（x）：X→［0，1］和γA（x）：X→［0，1］分別為A的隸屬度和非隸屬度函數，且滿足對于A上所有x∈X，都有0≤μA（x）+γA（x）≤1，由μA（x）和γA（x）組成的有序區間對＜μA（x），γA（x）＞稱為直覺模糊數。

對于X中的每個直覺模糊子集，定義πA（x）=1-μA（x）-γA（x）為A中x的直覺指數或猶豫度。直覺模糊集A的補集定義為

目前公認的直覺模糊熵公理化定義滿足如下定義［3］。

定義2 一個映射E：IF S（X）→［0，1］稱為直覺模糊熵，如果E滿足以下條件：

條件1 E（A）=0當且僅當A是經典集合；

條件2 E（A）=1當且僅當xi∈X，滿足μA（xi）= γA（xi）；

條件3 E（A）=E（AC）；

條件4 E（A）≤E（B）對于xi∈X，μA（xi）≤μB（xi）且γA（xi）≥γB（xi），當μB（xi）≤γB（xi）；μA（xi）≥μB（xi）且γA（xi）≤γB（xi），當μB（xi）≥γB（xi）。

如前文所述，目前文獻中提到的直覺模糊熵均是基于該定義構造給出，具有一定局限性，而本文從更普遍的角度出發，借鑒經典數學中強調大于“＞”和小于“＜”時，加入嚴格大于和嚴格小于的描述，考慮區分隸屬度與非隸屬相等條件下的直覺模糊熵，提出一種嚴格直覺模糊熵（strict intuitionistic fuzzy entropy，SIFE）Es的概念，并給出如下定義。

定義3 一個映射Es：IF S（X）→［0，1］稱為嚴格直覺模糊熵，如果Es滿足以下條件：

條件1 Es（A）=0當且僅當A=＜1，0＞或A=＜0，1＞；

條件2 Es（a，b）＜Es（a，a）≤1，其中a∈［0，0.5］，b∈［0，1］，a≠b，當且僅當μA（xi）=γA（xi）=0.5時，E（A）=1；

條件3 Es（A）=Es（AC）；

條件4 Es（A）≤Es（B）對于xi∈X，μA（xi）≤μB（xi）且γA（xi）≥γB（xi），當μB（xi）≤γB（xi）；μA（xi）≥μB（xi）且γA（xi）≤γB（xi），當μB（xi）≥γB（xi）。

嚴格直覺模糊定義中，條件2的意義在于區分形如A=＜a，a＞的直覺模糊熵值，但限定當μA（xi）=γA（xi）時熵值均大于其他μA（xi）≠γA（xi）的情形，這與實際邏輯相符，并且Es（μA（xi）=γA（xi））是關于xi的單調增函數，當μA（xi）=γA（xi）=0.5時Es（A）取最大值1，從而滿足直覺模糊數排序及決策判斷的需求。例如在該定義的嚴格直覺模糊熵中，存在直覺模糊數＜0.4，0.4＞，＜0.4，0.5＞和＜0.5，0.5＞，根據定義，新構造直覺模糊熵計算結果應滿足E（0.4，0.5）＜E（0.4，0.4）＜E（0.5，0.5）=1。

根據定義3下面給出一個嚴格直覺模糊熵式。

定理1 給定一個論域U=｛x1，x2，…，xn｝，令A=則A的嚴格直覺模糊熵為

這里定義σ∈［0，0.5］用來調節E（a，a）的取值范圍，使得Es（μA（xi）=γA（xi））∈［1-σ，1］。因為通常認為“相對模糊”和“相對精確”的熵值分界點為0.5，從而保證E（μA（xi）=γA（xi））具有較高的熵值。一般要求σ取值偏向定義域區間的左側。特別，當σ=0時，該式退化為滿足定義2的直覺模糊熵式，從而使該式更具有普遍意義。

下面給出定理1滿足定義3（σ≠0）約束條件的證明。

證明 條件1，首先證明充分性，若Es（A）=0時，因為δ（xi）＞σδ（xi）＞σδ（xi）（1-2 min（μ（xi），γ（xi）），可得δ（xi）=0，即|μ（xi）-γ（xi）|=1，也就是μ（xi）=1，γ（xi）= 0或μ（xi）=0，γ（xi）=1；再證明必要性，若μ（xi）=1，γ（xi）=0或μ（xi）=0，γ（xi）=1時，顯然有Es（A）=0。

條件2，因為0≤1-|μ（xi）-γ（xi）|＜1，當a＜b時，Es（a，a）=1-σ（1-2a）＞δa，b-σ（1-2a），δa，b-σ（1-2a）＞δa，b-σδa，b（1-2 min（a，b）=Es（a，b），條件成立；

當a＞b時，要證明Es（a，a）=Es（a，b），只需證明1-σ（1-2a）＞δa，b（1-σ（1-2b）），由于δa，b是關于b的單調增函數，只需證明b→a時，即1-σ（1-2a）＞1-σ（1-2b）成立，即1-2a＜1-2b，顯然成立；

另外，當Es（A）=1μ（xi）=γ（xi）且1-2 min（μ（xi），γ（xi））=0μ（xi）=γ（xi）=0.5，所以條件2成立。

條件3，顯然成立。

條件4，對于xi∈X，當μA（xi）≤μB（xi）且γA（xi）≥γB（xi），即min（μA（xi），γA（xi））≤min（μB（xi），γB（xi）），δ（xA）≤δ（xB），那么

（1-2 min（μA（xi），γA（xi））≥（1-2 min（μB（xi），γB（xi）），即

σ（1-2 min（μA（xi），γA（xi））≥σ（1-2 min（μB（xi），γB（xi）），那么

1-σ（1-2min（μA（xi），γA（xi））≤1-σ（1-2min（μB（xi），γB（xi）），即δA（xi）（1-σ（1-2min（μA（xi），γA（xi）））≤δB（xi）（1-σ（1-2 min（μB（xi），γB（xi））），從而得到Es（A）≤Es（B）。同理，當μB（xi）≥γB（xi）時該條件也成立。證畢

例：A1=＜0.3，0.6＞，A2=＜0.4，0.4＞，A3=＜0.7， 0.1＞，取4位有效數字，根據式（1）得+0.980 0+0.230 0）=0.575 6。

2 嚴格直覺模糊熵一般式

根據本文給出的定理（1）可以直觀的看出，為了達到區分形如A=＜a，a＞的直覺模糊熵值，所構造的式包括兩部分，第一部分是基本直覺模糊熵函數，可借鑒現有構造方法，第二部分通過σ修正E（A）熵值，使其映射在一定范圍內，這樣嚴格直覺模糊熵構造方法可用抽象為如下：

式中，f（xi）是普通直覺模糊熵函數，根據這樣的構造原理，這里我們可以不加證明的給出幾個其他構造方法，如更一般的嚴格直覺模糊熵函數，記作：

根據文獻［15］可以構造嚴格直覺模糊熵：

根據文獻［17］可以構造一個基于三角函數的嚴格直覺模糊熵如：

這里取σ=0.1，可以得到式（1）的函數圖像如圖1所示，式（3）～式（5）的函數圖像分別如圖2～圖4所示。通過圖像可以看出，式（3）函數呈線性，式（1）和式（4）較為平滑，而式（5）熵值收斂速度較快。這些直覺模糊熵的構造方法分布大體相同，同時均能滿足本文給出的定義3，可以適用于不同條件下的需求。

圖1 式（1）示意圖

圖2 式（3）示意圖

圖3 式（4）示意圖

圖4 式（5）示意圖

3 算例分析

通過分析可以發現，現有文獻提供的算例中數據類型不夠全面，如文獻［19］中算例出現兩次＜0.5，0.5＞的直覺模糊數，卻沒有其他隸屬度與非隸屬度相同但直覺指數不同情況，而文獻［17］中不包括隸屬度或非隸屬為0的情況，這樣不利于檢驗直覺模糊熵的邊界值，所以本文認為算例中應該包括更全面的數據類型。

首先，假設要對一個多屬性直覺模糊集方案X進行識別決策，認為平均直覺模糊熵值最小的方案識別度最高，即最優。這里共有3種決策方案，每種決策方案各有4個屬性值，如表1所示。表中數據包括隸屬度與非隸屬度相同但直覺指數不同情況，也包括非隸屬度為0、直覺指數為0等情況。特別地，如＜0.3，0.3＞表示隸屬度和非隸屬度相等，但支持和反對方面均得不到充分的證據，這符合客觀實際中存在的某種現象。

表1 決策方案直覺模糊數

利用本文提出的嚴格直覺模糊熵構造方法進行計算，得到各屬性熵值如表2所示。

表2 嚴格直覺模糊熵計算結果

對所求結果取平均值得到Es（x1）=0.544 6，Es（x2）= 0.353 1，Es（x3）=0.705 8，最終得出方案x2優于方案x1優于方案x3的決策結果。

為了反映不同直覺模糊熵值計算方法存在的局限性，接著分別利用文獻［14-15］和文獻［17］中提出的直覺模糊熵計算方法對表1中的直覺模糊數進行處理，其中Es為本文方法計算的熵值，最后得到對比結果如表3所示。

表3 與其他直覺模糊熵比較

從表3的結果可以看出，利用本文計算的嚴格直覺模糊熵方法與其他文獻的方法比較，均能得到相同的排序結果，從而證明了該方法的正確性。

最后，當本算例中屬性退化為僅有A2時，分別計算直覺模糊熵值如表4所示。

表4 退化后直覺模糊熵決策比較

通過表4可以看出，文獻［14-15］和文獻［17］中的方法只能得到E（x2）＞E（x1）=E（x3）的結論，不能進行嚴格排序，說明在某些情況下，原有直覺模糊熵的計算方法具有一定的局限性，而相關文獻中無論是利用專家系統或多屬性權重計算，都回避了不能比較的數據。而本文提出的嚴格直覺模糊熵對直覺模糊數進行了熵值嚴格處理，即使在僅有單一屬性的條件下依舊可以得到正確的決策結果，說明嚴格直覺模糊熵本質上具有決策判斷的特征，使得直覺模糊熵理論具有更廣泛的應用能力。

4 結 論

本文通過分析現有直覺模糊熵構造方法，發現在對隸屬度和非隸屬度相等但直覺指數不同的直覺模糊數進行排序和決策判斷中存在不足，提出嚴格直覺模糊熵的概念，完善了直覺模糊熵公理化定義，并給出一個基于新定義下的嚴格直覺模糊熵構造方法并抽象為更一般的表達式。通過算例分析并和其他直覺模糊熵構造方法進行對比，證明該方法的正確性和合理性，同時克服了原有理論的局限，將其推廣到更一般的情況。類似地，區間值直覺模糊熵也可參照該方法進行定義、構造和應用。

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Strict intuitionistic fuzzy entropy

F A N Xiao-shi，L EI Ying-jie，LI Cheng-hai，G U O Xin-peng
（Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Methods of intuitionistic fuzzy entropy are analyzed.Considering the classical mathematic concepts of strict greater-than and strictless-than，a concept strictintuitionistic fuzzy entropy（SIF E）and an axiomatic definition are proposed by solving defect that entropy of the degree of membership function equals the degree of none-mem bership function but different intuitionistic indexes cannot be distinguished.A technique for constructing the SIF E based on this definition is proposed and an expression is abstracted.The SIF E is m ore adaptive in decision and sorting.The validity is certified by the example and the limitis overco med by co m paring to other methods.

intuitionistic fuzzy set；intuitionistic index；strict intuitionistic fuzzy entropy（SIF E）；decision

T P 391

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.20

1001-506 X（2016）03-0602-05

2015-01-07；

2015-09-10；網絡優先出版日期：2015-09-28。

網絡優先出版地址：http：//w w w.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20150928.1036.012.html

國家自然科學基金（61272011）；陜西省自然科學青年基金（2013JQ8031）資助課題

范曉詩（1988-），男，博士研究生，主要研究方向為網絡信息安全。

E-mail：fan_xs@126.com

雷英杰（1956-），男，教授，博士，主要研究方向為網絡信息安全、智能信息處理。

E-mail：leiyj ie@163.com

李成海（1966-），男，教授，碩士，主要研究方向為網絡信息安全、智能信息處理。

E-mail：lichengh@126.com

郭新鵬（1985-），男，講師，碩士，主要研究方向為智能信息處理。

E-mail：305221885@qq.com