講解“線性代數與空間解析幾何”時常見問題

李晶+馮立康+孔婷婷

摘 要： 對于理工類專業的大學生來說，“線性代數與空間解析幾何”是一門極其重要的數學基礎課程，這門課程不僅包含的內容比較多，而且整本書的邏輯性與抽象性非常強.因此，學生在學習“線性代數與空間解析幾何”的過程中經常會遇到各種問題，為了更深入地理解這門學科，本文從以下三個方面進行講解：定理中“充要條件”的深入理解；向量組的線性相關性；特征值與特征向量的概念及性質的靈活應用.

關鍵詞： 線性代數 充要條件 線性相關性 特征值與特征向量

一、引言

“線性代數與空間解析幾何”這門學科的教學目的是培養學生的能力，比如空間聯想、抽象思維、創造性思維、邏輯思維和自學等，而培養這些能力的前提條件是先讓學生理解基本概念和掌握基本理論，學會分析問題、解決問題的基本方法；最主要的是能夠充分了解各部分知識的結構及其內在聯系；充分利用所學基礎恰當地進行推理證明，快速計算；充分將所學知識運用到解決簡單的實際問題中.但是在教學過程中，經常有學生反映“線性代數與空間解析幾何”這門學科內容的層次太多，學起來比較難，找不到內容的核心，更不能將所學知識聯系起來.為了解決這一問題，下面我們將結合教學經驗，闡述“線性代數與空間解析幾何”這門學科中常見的問題，針對這些問題給出幾點建議.

二、知識體系

“線性代數與空間解析幾何”這門課程的知識網絡是：行列式，矩陣及相應的運算，向量、向量空間及歐式空間，線性方程組（分為齊次線性方程組和非齊次線性方程組），特征值和特征向量的相關內容，相似矩陣，二次型等.這門課程實際上是將代數與幾何融為一體，具有數形結合的特點，代數為幾何做鋪墊.與此同時，代數又在原有幾何空間的基礎上進行了拓展，課程重點在“線性代數”上.“線性代數”研究的核心內容是討論線性方程組何時有解；若有解，討論其解是否唯一；若解不唯一，那么討論其解的結構并研究方程組的解法.這門學科中之所以包含其他內容，是因為其他內容為解方程組提供了便利.行列式作為常用的數學工具，為解方程組做了鋪墊——克拉默法則，但是克拉默法則本身又具有一定的局限性：它只能解決含有n個方程n個未知數的線性方程組解的問題.為了能更好地解決線性方程組的有關問題，我們又引入了矩陣的知識，進而了解了矩陣的初等變換，而矩陣的初等變換為解決線性方程組提供了非常便利的條件.那么在教學過程中，對于“線性代數與空間解析幾何”這門學科來說具體有哪些問題呢？下面將一一列舉.

三、“線性代數與空間解析幾何”中常見的問題

1.定理中“充要條件”的深入理解

數學學習過程中，“充要條件”經常會出現在各種題型中，尤其是在一些證明題中.“充要條件”包含了兩層含義，一個是充分性，一個是必要性，“充要條件”的證明實際上是一個雙向證明的過程，這對大多數學生來說并不難理解，但是，由于對這一定義理解得不夠透徹，導致學生在證明“充要條件”的過程中容易混淆充分性及必要性的證明方向.本文將從定義、證明、性質及其對應的應用等方面闡述“充要條件”的深層含義.

四、結論

本文重點介紹了“線性代數與空間解析幾何”教學中遇到的幾個常見的問題，主要集中在三個方面：對定理中出現的“充要條件”字眼的深入理解；對向量組的線性相關性的討論；特征值與特征向量的概念及其性質的靈活應用.“線性代數與空間解析幾何”是一門基礎學科，在各種代數分支中占據首要地位.由于這門學科比較抽象，學生普遍抓不住重點，多數同學只是掌握了代數方面的計算方法，卻忽略了這門學科的基礎概念和性質的應用，以及它們的內在聯系和用途.要想真正學好數學，對定義和定理的深入剖析至關重要.

參考文獻：

[1]于朝霞，張蘇梅等.線性代數與空間解析幾何（第二版）.北京：高等教育出版社，2016.

[2]徐榮.《線性代數》課程學習技巧探討.中國教創新導刊，2011（2）：27-28.

[3]馬柏林，鄧愛珍.線性代數與解析幾何.科學出版社，2001.