維度的基礎問題

查理德·韋伯

維度是什么

你可能認為如此基礎的問題應該早就有一個簡單的答案了，可惜并非如此。事實上，給維度下定義是一個非常棘手的事情。

對維度最直觀、最古老的描述是：一個系統所擁有的維數是物體能夠移動的獨立方向的數目。上和下是一個維度，因為上和下是一個硬幣的兩面，向上走就是遠離下方。左和右、前和后也一樣，但上和右、下和后等之間就沒有這種關系。所以古希臘幾何學家說：我們生活在三維世界中。

到目前為止，一切還很簡單，但接下來馬上就要失控了。我們需要同時使用空間和時間來定義我們在宇宙中的位置。早在18世紀末，法國人達朗貝爾和拉格朗日就發現用于描述時間的數學語言和用于描述空間的非常相似。所以，當時的數學家很快得出結論：時間就是第四維度。

將時間看作第四維度這種新的觀念遠超出維度的原始定義，大大地擴充了維的概念。從那時候開始，維不再僅僅是描述物理的空間坐標，而成為描述確定物體狀態的獨立坐標或變量。

這一手實在高明，從此數學家可以運用幾何分析這一利器去處理他們想研究的任何事情。例如，現在一個經濟學家可以將整個經濟活動看作一個巨大的多維度客體。面包和黃油的價格升降可以被描述為價格坐標在多維空間中的運動，與我們在前后或上下方向上的運動完全類似。當然，這僅是描述經濟狀態的數百萬個維度中的兩個。

理解維度

現在，請看本句末尾的這個小黑點（英文中的句號，“.”），然后盯著它看。恭喜，你已經目睹了零維空間。現在用你的手指沿著紙邊移動，然后再看看這整張紙，它們分別是一維和二維空間，也挺容易吧？但現在，嘗試想象超過三維的空間。

很費解？別擔心，很多人跟你一樣。“我個人無法想象超過三維的空間。”倫敦國王學院的弦論學者邁克爾·杜夫說。事實上，在工作中，他時常要處理十維或十一維的研究對象——自己都不能想象，理論物理學家為何還能對他們的理論充滿信心？

17世紀的法國數學家笛卡兒把真實的幾何空間轉換成抽象的代數方程。例如，你可以用一個方程描述一個長度不變的線段圍繞自己的一端在二維空間里旋轉形成的圖形。這個方程實際上描述了線段旋轉時x坐標和y坐標滿足的關系，這就是一個圓的代數表達。

這種想法非常了不起，從此以后，數學家只要通過引入更多的坐標，就能夠隨心所欲地增加維度。比如，通過引入新的坐標軸z就可以像剛才描述二維空間中的圓形一樣來描述三維空間中的球體。

1854年，數學家黎曼將立體幾何（三維）推廣到了任意維數，寫出了四維、五維和六維空間中的“超球體”的方程。普林斯頓高級研究學院的弦論學家威頓說：“（這種高維方程）結果處理起來不算困難。”

從數學上看的確如此，但我們總不免好奇，那些高維數的物體實際上看起來是什么樣的。紐約大學物理學家賈·德瓦利認為，這實際上無關緊要，只要你腦子里能夠想象出一些管用的圖像就行了。他說：“方程的本質通過圖像和動畫可以非常容易地記在腦子里。”對他而言，牛頓引力定律的圖像是一個有質量的物體產生的引力場的力線沿所有方向延伸到無限遠處。不管你想象的空間有多少維，這幅圖像同樣有效。他認為，這種物理圖像雖然與實際的額外維空間無關，但是它讓我們可以很容易地把定律推廣到高維空間。