測試三軸轉臺誤差分析及建模

李慧鵬，曹亞運，高　爽，季偉峰

（1.北京航空航天大學慣性技術重點實驗室，北京100191；2.中國地質科學院探礦工藝研究所，成都611734）

測試三軸轉臺誤差分析及建模

李慧鵬1，曹亞運1，高爽1，季偉峰2

（1.北京航空航天大學慣性技術重點實驗室，北京100191；2.中國地質科學院探礦工藝研究所，成都611734）

以用于測斜儀的三軸轉臺為研究背景，通過分析其運動規律，探討了三軸轉臺不正交度誤差源對三軸轉臺精度的影響，并用MATLAB對它進行了誤差建模，仿真計算得出了系統裝配不正交時三個坐標的誤差率；最后，引入實際測試過程中角度傳感器的測量誤差，在三軸不正交的前提下又對三坐標測量誤差進行了數學建模，通過仿真分析，研究探討了角度傳感器帶來的誤差規律，在實際應用中為測斜儀標定測試和誤差補償提供了理論依據。

三軸轉臺；誤差建模；誤差仿真；轉移矩陣

0　引言

轉臺作為一種測試、半實物仿真的核心設備，其性能直接影響實驗的精度。在實際操作中，由于轉臺設備在制造中熱變形、摩擦、振動以及安裝過程中誤差因素的影響，使得轉臺在實際運動過程中的軌跡與理想運動軌跡不完全重合，存在一定的誤差，最終導致整個系統的精度受到影響。因此，深入研究轉臺轉動時的各個誤差來源，并對其進行誤差分析建模，采取相應措施消除各類誤差因素，對提高整個系統的仿真、測試精度具有不可或缺的意義。本文研究的對象是用于測斜儀標定的三軸轉臺，研究的主要誤差來源是三軸轉臺的不正交度。根據系統運動理論，分析了不正交度誤差源對轉臺設備系統的影響，對三個坐標軸的誤差率進行了誤差建模，從而為測斜儀標定過程中的誤差分配和誤差補償提供理論依據。

1　理想情況下的狀態轉移矩陣

測斜儀在實際工作過程中，可以看作剛體在空間三維坐標系中的運動，因此測斜儀的工作狀態特性可以由三軸轉臺來模擬。圖1是三軸轉臺的結構示意圖，三個軸分別是方位軸、俯仰軸和橫滾軸。圖2是三軸轉臺的坐標變換關系示意圖，OX0Y0Z0表示地理坐標系，即初始位置的正交坐標系，作為被測件的參考坐標系。OX1Y1Z1表示方位框架坐標系，OX2Y2Z2表示橫滾框架坐標系，OX3Y3Z3表示俯仰框架坐標系；從三個軸處于正交時開始，方位軸繞其轉動軸OX0逆時針轉動一個角度α，橫滾軸繞其轉動軸OY1逆時針轉動一個角度β，俯仰軸繞其轉動軸OZ2逆時針轉動一個角度γ，得到轉動后的坐標關系如圖2所示。

圖1　三軸轉臺結構示意圖Fig.1　Scheme of the three-axis

圖2　三軸轉臺坐標變換關系示意圖Fig.2　Scheme of three coordinates’changes

設（x0，y0，z0）為初始坐標，（x3，y3，z3）為旋轉后的坐標，則兩坐標關系如式（3）所示。

2　誤差建模

2.1初始實際坐標值計算

定義OXaYaZa為實際旋轉時的直角坐標系，OXiYiZi為理想直角坐標系。

在實際坐標系和理想坐標系不完全重合的前提下，設Xa投影在Xi-Yi平面內與Yi正半軸之間的誤差夾角為δΔxy；Xa投影在Xi-Zi平面內與Zi正半軸之間的誤差夾角為δΔxz。同理，可定義δΔyx、δΔyz、δΔzx、δΔzy，則可以求出Xi與Xa，Yi與Ya，Zi與Za的誤差夾角為δx、δy、δz。

假設在三軸不正交的情況下測得一個點的坐標為（i，j，k）a，根據以上推算，可以推出該點在理想直角坐標系下的坐標為（i，j，k）i，其關系如式（5）所示。

2.2狀態轉移矩陣矯正

已知在三維空間直角坐標系中，空間中任意一點繞過原點的直線向量（x，y，z）按照右手定則旋轉一定角度后，得到的狀態轉移矩陣為式（6）。這里規定坐標系是右手系，矢量（x，y，z）必須是單位化了的經過坐標原點的直線向量。

由前面推算可知，實際的Xa在理想直角坐標系下的單位直線向量為（1，tanδΔxy，tanδΔxz）/Mx；Ya在理想直角坐標系下的單位直線向量為（tanδΔyx，1，tanδΔyz）/My；Za在理想直角坐標系下的單位直線向量為 （tanδΔzx，δΔzy，1）/Mz，所以，當物體繞X軸旋轉時理想狀態轉移矩陣為Tαi，如式（7）所示。同理可以得到當沿Y軸Z軸旋轉β、γ時的理想狀態轉移矩陣Tβi、Tγi。

因為誤差角很小所以，δmn→0，所以tanδmn→δmn。（m，n為任意x，y，z兩兩組合），所以可以化簡轉移矩陣為Tαa、Tβa、Tγa，如式（8）～式（10）所示。

綜上所述，當一個在初始不正交坐標系下空間坐標點為（i，j，k），經過初始矯正，繞OXaYaZa分別按照右手定則旋轉α、β、γ后，兩坐標關系如式（11）所示。

3　誤差仿真

用MATLAB對三個坐標的誤差率進行仿真分析。如圖3～圖5所示，根據式（2）和式（11）對三個坐標的誤差進行誤差建模，分析在三軸轉動的角度一定的情況下，當誤差角度變化時對三個坐標誤差率影響，以及當誤差角度一定時，轉動度數變化對三個坐標誤差率的影響；可以看出當誤差角存在時，三個坐標存在一定的誤差率，誤差率的范圍大約在10-3數量級。

圖3　坐標誤差率跟隨δΔxy、δΔxz變化的誤差曲線圖Fig.3　Error curve chart of coordinate error rate with δΔxy、δΔxzchanges

圖3是當α=β=γ=45°，且δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy=0時，三個坐標誤差率跟隨δΔxy、δΔxz變化的誤差曲線圖。

圖4　坐標誤差率跟隨δΔxy變化的誤差曲線圖Fig.4　Error curve chart of coordinate error rate with δΔxychanges

圖5　坐標誤差率跟隨β、γ變化的誤差曲線圖Fig.5　Error curve chart of coordinate error rate with β、γ changes

圖4是當α=β=γ=45°，δΔxz=δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy=0.01°時，三個坐標誤差率跟隨δΔxy變化的誤差曲線圖。

圖5是當δΔxy=δΔxz=δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy=0.01°，α= 45°時，三個坐標誤差率跟隨β、γ變化的誤差曲線圖。

在實際轉動過程中，編碼器存在測量誤差，假設已知外框編碼器測量誤差Δα=0.01°sin（α），中框編碼器測量誤差Δγ=0.01°sin（γ），內框編碼器測量誤差Δβ=0.01°sin（β）。圖6是當α=60°，β= 60°，γ變化時三個坐標的誤差率曲線圖（假設δΔxy= δΔxz=δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy=0.01°）。圖7是當α=60°，β=60°，γ變化時，由于編碼器存在而帶來的三個坐標誤差的相對變化率（假設δΔxy=δΔxz=δΔyz=δΔyx=δΔzx=δΔzy= 0.01°），從圖7中可以看出誤差曲線成正弦函數變化。

圖7　γ角度變化時，三個坐標的相對誤差Fig.7　Coordinates’absolute error when γ changes

4　結論

本文通過對用于測斜儀標定的三軸轉臺的安裝不正交度誤差以及角度傳感器測量誤差進行分析，對其進行誤差建模，仿真計算出了三個坐標誤差率隨三軸轉臺的轉動角度的曲線變化規律。這為測斜儀的標定和測試提供了理論依據，在測斜儀實際測試標定中對誤差來源分配和誤差補償具有重要的實踐指導意義。

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ErrorAnalysis and Modeling of Test Three-axis Turntable

LI Hui-peng1，CAO Ya-yun1，GAO Shuang1，JI Wei-feng2
（1.Key Laboratory on Inertial Science and Technology，Beihang University，Beijing 100191；2.Institute of Exploration Technology，Chengdu 611734）

Through analyzing the inclinometer’s three-axis turntable motion principle，this paper discusses the influence on the accuracy of three-axis turntable which is generated by the error source of three-axis nonorthogonality.And we build systematic error modeling as well as obtain three coordination’s error rate by simulating calculation.At last，by introducing actual angular transducer measuring error，we achieve a mathematical modeling on the premise of three-axis nonorthogonality.The research studies the angular transducer error pattern by simulation analysis，thus it provides theoretical foundation for inclinometer test and error compensation.

three-axis turntable；error modeling；error simulation；transfer matrix

TP202

A

1674-5558（2016）05-01110

10.3969/j.issn.1674-5558.2016.02.016

2015-04-20

李慧鵬，男，副教授，研究方向為慣性技術與組合導航。