貝葉斯原理的不確定度評定方法比較

姜　瑞，陳曉懷

(合肥工業大學 儀器科學與光電工程學院，安徽 合肥 230009)

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貝葉斯原理的不確定度評定方法比較

姜瑞，陳曉懷

(合肥工業大學 儀器科學與光電工程學院，安徽 合肥 230009)

針對僅依據測量樣本信息進行不確定度評定的局限性，利用貝葉斯信息融合原理，分別研究了基于無信息先驗、共軛先驗和最大熵先驗分布的測量不確定度評定與更新方法，使評定過程充分融合歷史先驗信息和當前樣本信息，提高了測量不確定度評定的可靠性。仿真實例表明：無信息先驗方法沒有將各組測量數據融合，其仿真結果波動最大；共軛先驗方法仿真結果波動較大，經過多次數據融合逐漸趨于理論值；最大熵先驗方法仿真結果波動較小，經過數據融合逐漸趨近于理論值。

不確定度評定；貝葉斯原理；無信息先驗；共軛先驗；最大熵先驗

0　引言

測量不確定度作為反映測量結果質量水平及可靠程度的重要指標，其評定方法越來越受到國內外學者的關注[1-5]。現有研究在評定測量不確定度時，有些僅依據歷史經驗、專家意見和先驗資料[6]，忽略了測量系統實測數據；有些僅依據測量樣本信息，忽略了與測量系統歷史信息的結合[7-9]。這些方法均不能充分反映測量系統的最新狀態，影響了不確定度評定結果的可靠性和合理性。

基于貝葉斯信息融合的不確定度評定方法以貝葉斯統計推斷原理為基礎，能夠充分融合歷史先驗信息和當前樣本信息[10-12]。根據歷史信息確定先驗分布，通過貝葉斯模型融合先驗分布和當前樣本數據，繼而推導出后驗分布，實現對測量不確定度的評定及更新。

貝葉斯評定方法的關鍵在于根據歷史信息合理確定先驗分布，先驗分布是貝葉斯統計模型的重要組成部分。現有文獻對于貝葉斯先驗分布有一定研究[13-15]，但多數文獻只是簡單介紹某種先驗分布方法，對于其優勢、局限性以及適用范圍并沒有進行深入分析[13-14]。此外，很少有研究將貝葉斯及其先驗分布方法應用于測量不確定度的評定及更新。因此，本文對基于無信息先驗、共軛先驗和最大熵先驗的貝葉斯評定方法進行對比分析，對于合理測量不確定度評定具有重要的實際意義。

1　貝葉斯不確定度評定方法

(1)

2　基于無信息先驗的貝葉斯不確定度評定

2.1無信息先驗分布

其Fisher信息陣為：

I(θ)=(Iij(θ))p×p；

則θ的無信息先驗密度為：

π(θ)=[detI(θ)]1/2,

其中：detI(θ)表示p階方陣I(θ)的行列式。

(2)

2.2無信息先驗下的后驗分布及不確定度

(3)

其中：μ為正態總體均值；σ為正態總體標準差；v為自由度。

結合式(2)，由貝葉斯公式獲得μ和σ2聯合后驗密度函數為：

(4)

即后驗分布服從：

根據GUM和式(1)可知，基于無信息先驗分布的后驗分布最佳估計值及其標準不確定度為：

(5)

3　基于共軛先驗的貝葉斯不確定度評定

在已知一定的先驗信息和樣本分布的情況下，可利用共軛貝葉斯方法進行不確定度評定。共軛貝葉斯方法的特點在于先驗分布和后驗分布形式相同，即后驗分布融合了先驗信息與樣本信息之后只是相應地改變了其分布參數值，仍然與先驗分布屬于同一分布函數形式。另外，每一次信息融合后得到的后驗分布可以作為后續評定的先驗信息，如此反復應用，可以使測量信息得到持續更新。

3.1共軛先驗分布

(6)

3.2共軛先驗下的后驗分布及不確定度

設樣本的觀測值為(X11,X12,…,X1n1)，其似然函數為：

(7)

結合式(6)，由貝葉斯公式獲得μ和σ2聯合后驗密度函數為：

(8)

即后驗分布服從：

由GUM和式(1)可知，基于共軛先驗分布下的后驗分布最佳估計值及其標準不確定度為：

(9)

4　基于最大熵原理的貝葉斯不確定度評定

針對隨機變量概率分布難以確定，且通常只能獲得測量結果的均值和方差等特征值的局限性，采用最大熵原理確定先驗分布和樣本信息概率密度函數(probabilitydensityfunction，PDF)，能夠降低對隨機變量概率分布的預測風險，使測量不確定度評定結果更加客觀合理。

4.1最大熵原理確定先驗分布和樣本分布

假設一個隨機變量x，其唯一的PDF即f(x)可以由最大熵函數H(x)獲得：

f(x)約束條件為：

(10)

在熵函數中引入Lagrange乘子λi(i=1,2,…,n)，得到：

圖1　爬山算法程序流程

結合式(10)，整理得：

(11)

記殘差ri為：

4.2最大熵先驗下的后驗分布及不確定度

(12)

其中：Θ為參數空間。

由GUM可知，基于最大熵原理的后驗分布最佳估計值及其標準不確定度表示為：

(13)

基于式(12)獲得的后驗分布，可作為后續評定的先驗信息。結合式(13)，可隨著測量過程不斷融入測量系統的最新信息，實現不確定度評定的連續更新。

5　MATLAB仿真

假設一個隨機變量X服從正態分布N(30,0.022)，利用MATLAB對X～N(30,0.022)隨機抽樣，按照抽樣順序得到8組隨機數，見表1。

表1　MATLAB仿真隨機抽樣數據

5.1無信息先驗貝葉斯不確定度評定

5.2共軛先驗貝葉斯不確定度評定

以第1組數據為先驗信息，計算其均值μ0、標準差σ0、方差S0及標準不確定度u0為：

μ0=30.000 15； σ0=0.012 3； S0=0.001 35； u0=0.012 3。

根據第2組數據得到S1=0.003 34，由式(9)求得融合先驗數據和第1組數據的測量信息標準不確定度u1=0.016 7。

以第1次信息融合后的后驗分布作為先驗信息，根據第3組數據即新樣本數據得到S2=0.003 25，由式(9)求得融合前3組數據的測量信息標準不確定度u2=0.019 7。重復上述計算過程，獲得共軛先驗貝葉斯不確定度評定與更新的仿真結果，見表2。

5.3最大熵先驗貝葉斯不確定度評定

以第1組數據為先驗信息，確定其積分區間為[29.979 4,30.019 0]。

f1(x)=exp(221.962 8-19.315 4x+0.7x2-0.01x3)。

通過式(13)確定先驗數據標準不確定度為：

u0=0.018 5。

將第2組數據作為樣本信息，獲得當前樣本似然函數。首先確定其積分區間為[29.976 5,30.033 6]，利用式(10)求得樣本數據前3階樣本矩m′i=[30.028 4,900.950 3,27 015.105 4]。令

λ′0=-164.486，從而得出樣本似然函數為：

f2(x)=exp(-164.486-21.430 7x+0.9x2)，

代入式(12)求得后驗分布PDF：g1(x)=exp(57.476 8-40.746 1x+1.6x2-0.01x3)。根據式(13)求得后驗分布標準不確定度u1=0.022 6。

以融合前兩組數據的后驗分布g1(x)作為先驗信息，同理獲得第3組數據樣本似然函數：f3(x)=exp(256.857 7-17.481 4x+0.9x2-0.02x3)。通過代入式(12)求得融合前3組數據的后驗分布PDF：g2(x)=exp(315.614 5-56.227 5x+2.5x2-0.03x3)。根據式(13)求得后驗分布標準不確定度u2=0.025 3。重復上述過程，獲得最大熵先驗貝葉斯不確定度評定與更新的仿真結果，見表2。

表2　3種貝葉斯不確定度評定方法仿真結果

5.4仿真結果分析

分析對比3種貝葉斯不確定度評定方法的仿真結果，如圖2所示。

無信息先驗貝葉斯不確定度只是通過貝葉斯統計推斷獲得每一組測量數據的不確定度，并沒有將各組測量數據進行信息融合,該方法仿真結果波動大，適用于無任何先驗信息或先驗信息極少的情況。

共軛先驗貝葉斯不確定度仿真結果波動較大，通過多次信息融合，能夠逐漸趨于標準不確定度理論值。這種方法可利用歷史數據和當前樣本數據作為先驗信息，即以后驗分布作為進一步試驗的先驗信息，再進行評定試驗，獲得新的后驗分布仍與先驗分布屬于同一個分布類型，可為后續不確定度評定提供合理前提。但共軛先驗方法要求已知先驗信息的具體分布類型，對于實際測量信息需要假定服從某種分布，產生一定主觀風險。因此，共軛先驗方法適用于已知測量信息分布類型的不確定度評定。

圖2　3種貝葉斯不確定度評定方法仿真結果對比

最大熵先驗貝葉斯不確定度評定仿真結果波動較小，通過信息融合能夠趨近于標準不確定度理論值。這種方法不需要確定測量信息的具體分布類型，可有效避免因人為假定而引起的主觀因素影響，提高先驗分布和后驗分布的可靠程度。引入最優化算法，利用計算機編程可以解決測量不確定度評定的最優化問題，使不確定度評定工作效率得到提高。實時融入最新測量數據，可實現評定結果的連續更新。最大熵先驗不確定度評定方法對算法和編程能力有很高的要求，并且需要不斷探索更加高效的最優化算法。

6　結束語

貝葉斯不確定度評定方法能夠充分融合歷史先驗信息和當前樣本信息，使測量信息的不確定度隨測量過程實時連續更新，及時反映測量系統狀態的最新信息。其中，無信息先驗下的貝葉斯不確定度評定方法并沒有融合實際測量數據，其不確定度評定和更新結果波動很大；而共軛先驗和最大熵先驗建立的貝葉斯不確定度動態評定模型，通過多次數據融合，不確定度趨于理論值，這兩種方法下的不確定度評定和更新結果更加客觀合理。

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國家自然科學基金項目(51275148);合肥工業大學青年教師創新基金項目(JZ2014HGQC0126)

姜瑞(1991-),女,山西霍州人,碩士生;陳曉懷(1954-),女,安徽懷寧人,教授,博士,博士生導師,主要研究方向為現代精度理論與應用.

2016-06-12

1672-6871(2016)06-0021-07

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.06.005

TB92

A