一道課本習題的思維訓練價值*

●馮克永

(霍邱縣第一中學　安徽霍邱　237400)

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一道課本習題的思維訓練價值*

●馮克永

(霍邱縣第一中學安徽霍邱237400)

數(shù)學教材習題的編寫凝聚了專家、學者的心血，是課堂教學的重要資源.如何提高教材習題的使用效率是一線教師的必修課.數(shù)學是思維的體操，文章通過對教材習題進行多方面、多角度探究，以訓練和提升學生的數(shù)學思維品質(zhì).

教材習題；多解多變；思維訓練

前蘇聯(lián)數(shù)學家奧加涅相說過：“很多習題潛在著進一步擴展其數(shù)學功能和教育功能的可形性.”教材中的習題凝聚了專家、學者的心血和經(jīng)驗[1].數(shù)學是思維的體操，在教學過程中，應充分利用教材上的經(jīng)典習題，采用多層次處理、多角度分析和深挖隱藏于習題背后的豐富內(nèi)容，發(fā)揮其潛在的思維訓練價值，無論從方法上還是內(nèi)容上都起著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同時可培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的能力，使學生的探究能力和創(chuàng)新能力得到發(fā)展.下面就一道課本習題談談其思維訓練價值，整理成文，供讀者參考.

(人教A版《數(shù)學4》(必修)第118頁第4題)

1　一題多解，訓練思維的廣闊性和靈活性

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，多角度審視問題，獲取多種解法，對于訓練學生思維的廣闊性、培養(yǎng)和提高學生思維的靈活性有著重要的意義.

2MC=AM,2MB=DM,

解得

圖1 圖2

從而

解得

于是

點評解法1和解法2采用基向量法：選一組基向量，走基向量的閉合回路(有些題目需走2次，即算2次)出結(jié)果，思路自然，凸顯向量的工具價值.解法3采用坐標法：選適當位置建立平面直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，利用向量的坐標運算出結(jié)果，彰顯向量數(shù)的解題功能.通過一題多解，進一步拓展學生的解題思維，學會用向量方法解決幾何問題.

2　靜動改編，訓練思維的靈動性和求異性

近幾年來，隨著數(shù)學高考的不斷改革，高考命題的一條重要原則是：試題源于教材而高于教材.巧選角度，適度改編，對于訓練學生靈動性思維、培養(yǎng)和提高學生思維的求異性有著深遠的意義.學會改編題目，提升師生的探研能力，體會思維訓練的享受[2].

靜改編聯(lián)系平面向量的核心運算——數(shù)量積，從正六邊形的6個頂點中任取2個頂點構(gòu)造向量，求其中2個向量的數(shù)量積(所構(gòu)向量是確定的，故稱其為靜改編).

動改編1在靜改編的基礎上，讓其中一個向量固定，另一個向量的起點與固定向量的起點重合，終點按逆時針方向在正六邊形的邊上運動一周，求這2個向量數(shù)量積的取值范圍.

動改編2在動改編1的基礎上，聯(lián)系函數(shù)，終點按逆時針方向在正六邊形的邊上運動一周，設終點所走過的路程為自變量，這個向量的模為因變量，求這個函數(shù)的解析式.

圖3 圖4

3　變式解析，訓練思維的批判性和邏輯性

例2為填空題，填空題常用的2種解答方式各有千秋(小題小做，速度快但有局限性；小題大做，邏輯性強但速度慢)，對于訓練學生批判性思維與深刻性思維、培養(yǎng)和提高學生思維的邏輯性及解題能力有著重要意義.

22+2×2cos60°=6>4，

類比例2的小題大做，下面給出例3的解答：

當點M由A→B時，y=x,其中x∈[0,1]；當點M由B→C時，

當點M由D→E時，

當點M由E→F時，

當點M由F→A時，

y=6-x,其中x∈(5,6].

因此

它是對人教A版必修1第112頁復習參考題A組第2題的完善.

類比例2的小題大做，可給出例4的解答：

其中λ∈[0,1],μ∈[0,1].

4　減元增效，訓練思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性

例4的結(jié)果留有余味，聯(lián)系函數(shù)，嘗試減元，創(chuàng)新問題，推其前行，對訓練學生發(fā)散性思維、培養(yǎng)和提高學生思維的創(chuàng)造性大有裨益.

若令μ=λ+k(其中k∈[0,1]上的常數(shù))，則

愛因斯坦說過:解決一個問題好比是在干草堆中尋針，別人往往尋找到一根針時即停止不再費力氣去做了，但我自己卻會去遍尋干草堆中的所有藏針，不達最終目的絕不罷手.我們應向愛因斯坦那樣把一道題變成“一只產(chǎn)金蛋的母雞”，探析其解法及改編，挖掘其潛在的思維訓練價值[4].

教師也常向?qū)W生強調(diào)教材習題的重要性及思維訓練的價值取向，但缺少適當?shù)刂笇Ш褪痉?因此，造成學生無所適從.如果教師在平時的教學中，能多上一些上面這樣的課，相信對學生回歸教材、擺脫“題海”、提升思維有較好的促進作用.

[1]俞新龍.充分發(fā)揮教材的資源作用[J]．中小學數(shù)學：高中版，2009(7/8)：32-33．

[2]馬茂年．高考數(shù)學復習方法與應試技巧透視[J]．中學教研(數(shù)學)，2011(2)：1-6．

[3]羅增儒.由特殊到一般的探究[J]．中學教研(數(shù)學)，2014(10)：25-30．

[4]馮克永.課堂因交流而精彩[J].中學數(shù)學研究，2015(1)：3-4.

*收文日期：2016-04-26；2016-06-01

馮克永(1968-)，男，安徽霍邱人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-26-03