樸實(shí)亦有精彩處
——一道浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的深度思考*

●陳金花　計(jì)惠方

(湖州市王勇強(qiáng)名師工作室　浙江湖州　313000)

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樸實(shí)亦有精彩處

——一道浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的深度思考*

●陳金花計(jì)惠方

(湖州市王勇強(qiáng)名師工作室浙江湖州313000)

浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題出題常常表述十分簡(jiǎn)潔，但仔細(xì)思考往往能挖掘出十分豐富的內(nèi)涵，因此好題、好解法、好的推廣形式頻頻出現(xiàn)．由于橢圓、雙曲線、拋物線之間特定的聯(lián)系和區(qū)別，不僅可以將有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題設(shè)計(jì)得形式優(yōu)美，還可以由點(diǎn)及面推廣到圓錐曲線的一般形式，通過(guò)合理的運(yùn)算，進(jìn)而得到完整的結(jié)論．

離心率；斜率；一般化

2016年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有這樣一道試題：

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2)若k1+k2=0,求實(shí)數(shù)k.

1　賽題的評(píng)價(jià)與閱卷體會(huì)

賽題入口平寬，表述簡(jiǎn)潔，表面上樸實(shí)無(wú)華，但仔細(xì)思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)賽題形式優(yōu)美，內(nèi)涵豐富，堪稱(chēng)是一道不可多得的好題．閱卷中筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生均能動(dòng)手作答，但求解完整者較少．究其原因是學(xué)生運(yùn)算能力有待提高，特別是運(yùn)算的合理性，教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)和重視．為了進(jìn)一步說(shuō)明問(wèn)題，特摘錄經(jīng)筆者整理的2種解法，讓我們一窺其中的門(mén)道．

解法11)由已知得

又

即

16a2=25b2,

解得

a2=25,b2=16,

2)由題意知右焦點(diǎn)為(3,0),①當(dāng)斜率k不存在時(shí)，斜率k1,k2均不存在，不合題意.

(16+25k2)x2-150k2x+225k2-400=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

(注：此處能繼續(xù)往下算的學(xué)生很少．)

由y1=k(x1-3),y2=k(x2-3)，得

2)①當(dāng)k=0時(shí)，

(16t2+25)y2+96ty-256=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

即

得

點(diǎn)評(píng)事實(shí)上，解法1中的分母是(x1-3)(x2-3),解法2中的分母是y1y2,顯然選擇直線方程x=ty+3更加合理．關(guān)于直線方程形式的合理選擇，請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[1].

2　賽題的一般化與推廣

受到試題一般化思路的引領(lǐng)，我們將點(diǎn)P放到更一般的位置，結(jié)合文獻(xiàn)[2]的研究以及雙曲線、拋物線的性質(zhì)，不難得到如下幾個(gè)精彩的結(jié)論：

證明①當(dāng)x0≠0,k=0時(shí)，不合題意.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

得k1+k2=0,等價(jià)于

綜上，命題得證．

證明①當(dāng)k不存在時(shí)，不合題意.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

得k1+k2=0，等價(jià)于

2x1x2=(x1+x2)x0,

即

因此

綜上，命題得證．

證明①當(dāng)k=0時(shí)，不合題意.

②當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ty+x0,代入雙曲線方程，得

得k1+k2=0,等價(jià)于

綜上，命題得證．

證明①當(dāng)k不存在時(shí)，顯然不合題意.

②當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為

y=kx+y0(其中y0≠0),

得k1+k2=0，等價(jià)于

2x1x2=x0(x1+x2)，

即

從而

綜上，命題得證．

證明①當(dāng)k=0時(shí)，顯然不合題意.

②當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ty+x0(其中x0>0),代入拋物線方程，得

y2-2pty-2px0=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

y1+y2=2pt,y1y2=-2px0,

得k1+k2=0,等價(jià)于

2y1y2=y0(y1+y2)，

即

-4px0=2py0t,

亦即

綜上，命題得證．

證明①當(dāng)k=0或k不存在時(shí)，顯然不合題意.

②當(dāng)k存在且k≠0時(shí)，設(shè)直線l的方程為

y=kx+y0,

代入y2=2px，得

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

得k1+k2=0，等價(jià)于

2x1x2=x0(x1+x2),

即

得

綜上，命題得證．

值得一提的是,命題6和推論6還有很漂亮的有關(guān)線段長(zhǎng)度的定值性質(zhì)，具體參閱文獻(xiàn)[3].

[1]陳金花，計(jì)惠方．以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略[J]．?dāng)?shù)理化學(xué)習(xí)，2014(4):16-19.

[2]計(jì)惠方.橢圓的共軛直徑的1個(gè)性質(zhì)的三點(diǎn)注記[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2016(3):37-40.

[3]王勇強(qiáng)，計(jì)惠方.一道浙江競(jìng)賽題證法的補(bǔ)充與引申[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2013(8):87-89.

*收文日期：2016-05-09；2016-06-10

陳金花(1984-)女，浙江湖州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-47-04