Dn中完全正則半群的結構

周紹艷

（大理大學數學與計算機學院，云南大理　671003）

Dn中完全正則半群的結構

周紹艷

（大理大學數學與計算機學院，云南大理671003）

正則元；完全正則元；冪等元；置換陣

［DOI］10. 3969 / j. issn. 2096-2266. 2016. 06. 001

1　引言及預備知識

非負n×n實矩陣D稱為雙隨機矩陣，如果D的每行、每列元素之和為1；全體n×n雙隨機矩陣構成的集合關于矩陣的乘法構成一個半群，稱為雙隨機矩陣半群，記為Dn。每行、每列只有一個非零元1的雙隨機矩陣稱為置換矩陣；所有n×n置換矩陣構成的集合關于矩陣的乘法構成一個群，稱為置換群，記為Pn。

設S是半群，元a∈S稱為正則元，如果存在x∈S，使得axa=a成立；元x∈S稱為a∈S的逆元，如果axa=a與xax=x均成立；元a∈S稱為完全正則元，如果存在x∈S，使得axa=a及ax=xa均成立。如果半群S中的所有元均為正則元，則S稱為正則半群；若半群S中的元均為完全正則元，則稱S為完全正則半群。在本文中P′是指P的轉置矩陣，E（Dn）是指Dn中所有冪等元集。其他未說明的符號及概念參見文獻〔1-3〕。

文獻〔2〕與〔4-6〕研究了Dn中的冪等元與正則元，不僅給出了冪等元的結構、形式及冪等元之積仍是冪等元的充要條件，還給出了Dn帶的結構等結論，從中易得如下引理。

引理2 設E、F∈E（Dn），若EF∈E（Dn），則EF= FE。

引理3如果A∈Dn是正則元，那么A′是它唯一的逆元〔3〕。

引理4A∈Dn是正則元當且僅當存在P∈Pn及E、F∈E（Dn），使得A=EP=PF〔5〕。

2　主要結果

定理1設A∈Dn是正則元，下列條件等價：

（1）A是完全正則元；

（2）AA′=A′A；

（3）A=EP=PE，其中E=AA′，P∈Pn。

證明：由定義及引理3易知（1）與（2）等價。

下證（2）與（3）等價即可。

“（2）?（3）”因A是正則元，由引理4、文獻〔6〕知：

存在P∈Pn及E=AA′∈E（Dn），使得A=EP。

故AA′=EP（EP）′=EPP′E=E，A′A=（EP）′EP= P′EEP=P′EP。

由AA′=A′A得：E=P′EP，從而PE=EP，即A= EP=PE。

“（3）?（2）”由A=EP=PE得：

AA′=EP（EP）′=EPP′E=E，

A′A=（PE）′PE=EP′PE=E。

即AA′=A′A。

定理2 2設A=EP=PF，其中P∈Pn及E、F∈E（Dn）。如果E≠F，則A不是Dn中的完全正則元。

證明：因為A=EP=PP′EP=PF，由冪等元及置換矩陣的性質知P′EP=F。

若E≠F，即P′EP≠E，則PE≠EP。

由引理4、定理1知A不是Dn中的完全正則元。

注1 1Dn中的冪等元是完全正則元，但Dn中的完全正則元未必是冪等元。如：

即A不是冪等元。

注2A∈Dn是正則元，若A=A′，則A顯然是完全正則元；但若A∈Dn是完全正則元，則未必有A=A′。如注1，A是完全正則元，但A≠A′。

注3完全正則元是正則元，但正則元未必都是完全正則元。如：

但AA′≠A′A，即A不是完全正則元。

定理3Dn中的完全正則元集為：｛PE|PEP′= E，P∈Pn，E∈E（Dn）｝。

證明：由定理1、2及置換陣的性質知結論顯然成立。

定理4設E∈E（Dn），GE=｛P∈Pn|EP=PE｝，則GE是Pn的子群。

證明：（1）GE非空且有單位元I，因為Pn中的單位矩陣I∈GE。

（2）對?P、Q∈GE有EP=PE及EQ=QE，從而有P′EP=E及Q′EQ=E。

于是PQE=PQQ′EQ=PEQ=PP′EPQ=EPQ，故PQ∈GE。

（3）對?P∈GE有EP=PE，從而（EP）′=（PE）′，即EP′=P′E。

所以P′∈GE，即P有逆元P′∈GE。

再由矩陣乘法滿足結合律知GE是Pn的子群。

證明：（必要性）

對?E、F∈Bn，若EF?Bn，則由引理1知EF不是正則元。

這與（CR）n是完全正則半群矛盾。故EF∈Bn，即Bn是帶。

由引理2知Bn是半格。

（充分性）

由定理1、3知（CR）n中的元均為完全正則元。

要證明（CR）n是完全正則半群，只需證明（CR）n是半群即可。

從而AB=P1E1E2P2，BA=P2E2E1P1。

由Bn是半格知E1E2=E2E1∈Bn，記為E。

故AB=P1EP2=P1EP1′P1P2=EP，其中P=P1P2。

即AB∈（CR）n，故（CR）n是半群，從而是完全正則半群。

〔1〕HOWIE J M.An Introduction to Semigroup Theory〔M〕. London：Academic Press，1976.

〔2〕ZHOU Shaoyan，ZHANG Ronghua.The Semilattice of Semigroup of Doubly Stochastic Matrices Dn〔J〕.Journal of Applied Algebral and Discrete Structures，2003，1（2）：119-133.

〔3〕BERMAN A，PLEMMONS R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Science〔M〕.New York：Academic Press，1979.

〔4〕ZHOU Shaoyan，ZHANG Ronghua.A Relation of Idempotent Matrices in Dn〔J〕.Journal of Mathematical Study，2003，36（4）：384-387.

〔5〕周紹艷，張朝元.Dn與正則元有關的兩類半群的結構〔J〕.大理學院學報，2015，14（6）：11-12.

〔6〕周紹艷，張榮華.Dn中Clifford半群的結構〔J〕.西南大學學報（自然科學版），2008，30（6）：7-9.

〔Key words〕regular；completely regular element；idempotent；permutation matrix

（責任編輯袁霞）

The Structure of the Completely Regular Semigroup in Dn

Zhou Shaoyan
（College of Mathematics and Computer，Dali University，Dali，Yunnan 671003，China）

O152.7

A

2096-2266（2016）06-0001-03

云南省教育廳科學研究基金資助項目（2012Y151）

2015-11-26

周紹艷，副教授，主要從事代數研究．