民間剪紙藝術中的數學文化

王　培，王彭德

（大理大學數學與計算機學院，云南大理　671003）

民間剪紙藝術中的數學文化

王培，王彭德*

（大理大學數學與計算機學院，云南大理671003）

剪紙是中國傳統的民間藝術，通過對中國民間剪紙圖案的研究和分析，挖掘民間剪紙藝術中蘊含的幾何曲線、幾何變換、黃金分割等數學元素，探析民間剪紙藝術與數學文化的共通性，保護和傳承民俗文化，為數學課堂教學提供更多教學案例。

剪紙藝術；數學文化；幾何曲線；幾何變換

［DOI］10. 3969 / j. issn. 2096-2266. 2016. 06. 004

剪紙是一門有著悠久歷史和深厚文化底蘊的民間藝術。剪紙藝術是中國優秀民族傳統文化的一部分，在2006年國務院公布的第一批國家級非物質文化遺產名錄中就有蔚縣剪紙、豐寧滿族剪紙、中陽剪紙、醫巫閭山滿族剪紙、揚州剪紙、樂清細紋刻紙、廣東剪紙、傣族剪紙、安塞剪紙等〔1〕。剪紙隨著社會的發展形成了一定特征的數學文化，其中許多數學元素至今仍被廣泛使用。鑒于人類學的研究方法，通過剪紙中的幾何曲線、幾何變換、黃金分割以及剪紙中的數字等對數學文化作粗略探析，挖掘民間剪紙藝術與數學文化的共通性。為數學文化應用方面，提供更多傳統數學文化的相關例子，并引入到現實應用中，有利于民俗文化的深入了解、傳承和保護以及數學文化的認識和探索。

1　民間剪紙及數學文化

1.1民間剪紙中國民間剪紙是以中國廣大勞動人民群眾為主體而創造的一種富有生命力的藝術，產生于漢代，它有著悠久的歷史，是千百年農耕文明所形成的藝術體系，是人類非物質文化的重要組成部分〔2〕。民間剪紙大致可分為五大區域：東北長白山、黃河流域、長江流域、東南沿海及西南少數民族地區。我國的山東、河北、陜西等各個地方均分布著具有各自地方特色的剪紙能手，他們用自己的手傳承著民間剪紙文化，為我國的非物質文化做出了巨大的貢獻。隨著全球化趨勢日益加強，非物質文化遺產受到越來越大的沖擊，其中民間剪紙藝術也瀕臨消亡，亟待搶救保護。對民間剪紙的深入探析和了解，有助于非物質文化的傳承和保護，并產生民族自豪感。

1.2數學文化數學文化，狹義上來說，是指數學的觀點、方法、思想、精神，及它們的形成和發展；廣義上來說，它除以上內涵外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的關系、數學與各種文化的關系等〔3〕。深入了解數學文化，可以初步了解數學與人類社會發展的密切關系，體會數學的科學價值、應用價值和人文價值，在實際的生活中發現與欣賞數學之美，從而更好的學習運用數學文化以及享受生活。

2　剪紙中的數學元素

2.1剪紙中的幾何曲線

2.1.1蝴蝶曲線蝴蝶曲線，是一種可用極坐標函數表示的蝴蝶型曲線，是由美國南密西西比大學Temple H·Fay發現的，大多數應用于數學方面及個人計算機領域。

蝴蝶是剪紙中常見的題材（如圖1～2），一是蝴蝶的造型比較漂亮，二是蝴蝶在剪紙藝術中象征夫婦好合、情深意長和幸福。數學上的蝴蝶曲線（如圖3）是一種很美的平面上代數曲線，具有對稱美，可用一個特定的極坐標公式表達：

圖1　蝴蝶

圖2　花叢中的蝴蝶

圖3　蝴蝶曲線

2.1.2心形線這是數學家笛卡爾的愛情故事。相傳笛卡爾流浪到瑞典，認識了公主克里斯汀，后成為她的數學老師，兩人日日相處彼此產生愛慕之心，國王知道后勃然大怒并將笛卡爾遣回法國，他回法國后，日日給公主寫信，信件因被國王攔截公主無法收到，不久笛卡爾染上重病，在寄出第十三封信后就去世了，這封信只有短短的一個公式：r=a（1-sinθ），國王看不懂，覺得并不是說情話的就轉交給公主，公主看到信，馬上著手把方程的圖形畫出來，就看到一顆心的形狀圖案，這就是著名的“心形線”。

心形圖形是愛的象征，是由兩個相同圖案的軸對稱而形成，代表了人們對美好生活的熱愛以及好事成雙的寓意。圖4雙鹿的連接處形成了心形線，為整幅圖增添了愛的寓意；圖5是“同心樂園”的剪紙，“同”取的是同心協力的意思，此剪紙將“同”字的“口”剪成心形，更形象的表明了寓意；“心”字也是一個心形圖案，用兩個對稱的人頭像表示出來，就有了好事成雙的寓意，使整幅圖表示出更好的寓意。

圖4　雙鹿剪紙

圖5　同心樂園

心形線（圖6）為一個圓上的固定一點在它繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周滾動時所形成的軌跡，因為其形狀像心形而得名。心形線參數方程為：

圖6　心形線

2.1.3星形線星形線，1836年正式定名，因其有4個尖端，又稱為四尖內擺線，Johann Bernouli是最先研究星形線的人。

圖7“福”字旁邊的兩朵花連接到一起，連接處中間呈星形線；圖8中心圖案呈星形線，都使整幅圖具有美感；數學上星形線（圖9）的參數方程：

圖7　福字剪紙

圖8　方形剪紙

圖9　星形線

2.1.4玫瑰線玫瑰線，其說法源于歐洲海圖，又稱羅盤線。希臘神話里的風神都被描繪在這些線上，看做方向的記號。葡萄牙水手稱他們的羅盤盤面為風的玫瑰，并根據太陽的位置估計風向，再與風的玫瑰對比找出航向。所以玫瑰線被用來指引方向。

圖10剪紙中人物所穿衣物上有玫瑰線狀的裝飾，它為整個人物的服飾增光添彩。數學上定義的玫瑰線形如圖11，其極坐標方程為：

若k是偶數，玫瑰線就有2k個花瓣，稱為2k葉玫瑰；若k是奇數，玫瑰線有k個瓣，稱為k葉玫瑰。

圖10　人物剪紙

圖11　玫瑰線

2.1.5四葉草曲線四葉草又稱幸運草，它有4片葉子：分別代表財富、榮譽、愛情和健康，剪紙采用四葉草曲線來表達廣大人民群眾對財富、榮譽、愛情和健康這些美好事物的向往之情。

圖12是四葉草剪紙，由兩個不同的四葉草圖案組成，為剪紙增添了美感。圖13是四葉草剪紙，圖案分3層，深色部分呈四葉草，中間有四朵花，整幅剪紙炫目多彩。數學上四葉草曲線（圖14）極坐標方程：ρ=sinθ·cosθ。

圖12　四葉草剪紙

圖13　四葉草剪紙

圖14　四葉草曲線

2.2剪紙中的幾何變換

2.2.1圖形的相似和全等兩個圖形形狀相同，大小不一定相等，那么這兩個圖形相似；全等是相似的一種特例。當相似比為1時，兩圖形全等。

圖15和圖16分別以最中間的八角形和六葉形為基準開始往外延伸，一共延伸了6種八角形，任兩種八角形間形成了固定的比例，也就是數學上的相似比。圖17以“福”為中心，“福”字外圍有3層圖案，任一層以其中任一個不重復的獨立個體為樣本，其余都為樣本的全等圖形，故每層所有的圖案都是全等圖形。

圖15　八角團花

圖16　六葉形團花

圖17　福

2.2.2圖形的對稱民間剪紙藝術中最突出的數學文化就是對稱美，數學中的對稱有：軸對稱和中心對稱。很多剪紙圖案都呈對稱性，有些圖案既是軸對稱又是中心對稱，直接體現出數學的對稱美。

圖18為魚形剪紙，“魚”在剪紙中大多和別的圖形結合在一起，代表連年有余的意思；圖19為雙鹿剪紙，“鹿”與“祿”同音，而且所有的事物都以偶數形式呈現，有好事成雙的寓意，為整個圖案增添吉祥的氛圍；“囍”是傳統吉祥圖案，由兩個喜組成的圖符。大紅“囍”字剪紙，在中國幾乎無人不知，無人不曉。結婚辦喜事時，總是在門窗、房間、嫁妝上貼上大紅“囍”字。“囍”字剪紙基本上采用對稱手法，既能減少工作量，也能保持美觀性，寓意好事成雙，圖20為喜鵲圍繞的囍字，整體嚴格軸對稱，民間稱為“喜迎吉慶”，一般貼在家里的電視、音響電器上。

圖18　魚

圖19　雙鹿剪紙

圖20　喜鵲雙囍

2.2.3圖形的平移在平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的移動，這樣的圖形運動稱為圖形的平移運動，簡稱平移。圖形平移的方向，不限于水平方向。

圖21和圖22都是以圖中任一個物體為基本圖形，再水平平移得到的；圖23〔4〕是以圖中任一個體為基本圖形，再通過水平平移和上下平移得到的。通過圖形的平移可以大大減少工作量，只需要將紙對折數次剪出一個基本圖形即可。

圖22　熊貓剪紙

圖23　花樣剪紙

2.2.4圖形的旋轉在平面內，將一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度，這樣的圖形變換稱為圖形的旋轉。其中，這個定點稱為旋轉中心，旋轉的角度稱為旋轉角。

圖24是以五角星為基礎所構成的剪紙。五角星可以由一個基本圖形（五角中的任意一角）繞中心至少4次旋轉、每次旋轉72°得到。圖25以圖形中心為旋轉中心，以任一只動物作為基本圖形繞旋轉中心至少經過3次旋轉、每次旋轉90°得到。圖26將最中間的圖形看作一個整體，當做旋轉中心，旋轉過程和方法與圖25類似。圖形的旋轉在剪紙藝術中的應用十分廣泛。

圖24　五角星剪紙

圖25　方形剪紙

圖26　圓形剪紙

2.2.5圖形的鑲嵌從數學的角度看，用不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，用形狀和大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪；通常把這類問題叫做平面鑲嵌。

圖27中背景的一部分是用正六邊形鑲嵌形成的，給人一種整齊有序的美感。

圖27　墻與蠅

2.2.6圖形的連續紋樣連續紋樣是將單位紋樣根據條理與反復的規律，作重復排列，構成循環的圖案。由于重復的方向不同，分為兩方連續（圖21和圖22）和四方連續（圖23）。剪紙圖案雖繁多和錯綜復雜，但用了圖形的連續紋樣，使整個剪紙圖案清晰明了、有規律可循。

兩方連續：將一個單位紋樣向上下或左右兩個方向反復連續循環的排列，形成可無限延長和伸展的條形連續紋樣，又稱帶狀紋樣。

四方連續：四方連續是由一個紋樣或幾個紋樣組成一個單位，向四周重復地連續和延伸擴展而成的圖案形式〔4〕。常見排法有梯形連續、菱形連續和方形連續，四方連續圖案廣泛應用于剪紙藝術中。

圖28中有一對放風箏的孩子、一條龍和一條奔跑的小狗在草地上，整幅剪紙營造了一種其樂融融的氛圍，表達了廣大人民對美好生活的向往和憧憬。現在以龍身為全段，龍頭到風箏頭部位置為短段，從風箏頭部到尾部前為長段，經測量，全段約為11.3 cm，短段約為4.3 cm，長段約為7.0 cm，其比值7.0/11.3≈0.619接近黃金分割取值，使整幅圖更添美感。

圖28　春風得意

2.4剪紙中的數字剪紙的題材源于生活，用于生活，生活又與數字分不開。

一年365天、4個季節、12個月。中國生肖源于古人以十二種動物與十二地支相配紀年，即子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬。圖29剪紙以十二生肖為圖案，以福字鑲嵌其中，寓意健康長壽、福如東海和富貴呈祥。

圖29　十二生肖

圖30為三陽開泰剪紙〔2〕。《說文解字》上這樣解釋“三”：三，數名也；天地人之道也；老子曰：一生二，二生三，三生萬物。“三”與古人崇敬且追求的“道”“王”“皇”有著相通的含義，有宇宙觀、皇權王道的象征等。因此，“三”被認為是至高無上的吉祥數字。“陽”和“羊”同音同調，羊在中國古代又被當成靈獸和吉祥物，詞語大概意思是冬去春來，陰消陽長，剪紙正是取了其吉祥寓意。

圖30　三陽開泰

圖31為迎奧運剪紙〔2〕，在整幅圖中，2008處于最顯眼位置，很鮮明的表達了這幅剪紙上舉國歡慶的時間，也向人們傳遞了2008年北京舉辦奧運會這個事件，整幅圖的氛圍喜氣洋洋。所以數字總是能用最少的話語傳遞出最大的信息量，這是數字的獨特性。

圖31　迎奧運

3　剪紙方法與數學

剪紙藝術源于生活，色彩多數為大紅色，剪紙圖案蘊含了吉祥美好的寓意，代表人民對美好生活和安居樂業的憧憬。不同的剪紙手工藝人所創作的剪紙都有自己獨特的風格，這說明了剪紙方法的重要性。剪紙方法從大的方面可分為對稱剪法和不對稱剪法。對稱剪法又可分為中心對稱剪法、左右對稱剪法和上下對稱剪法。

中心對稱剪紙又名喜相逢、單對稱或旋轉對稱。中心對稱剪法是傳統剪紙常用的形式之一，它是由兩個或幾個同一方向的圖形巧妙組合，形成具有轉動感的圖形，人物、動物、花草、蟲魚等題材都適合這種類型的剪法，其中以花草和動物為最多，剪時應該突出圖形的動態曲線，這樣所剪的圖形動感、節奏感比較強。

左右對稱剪法是比較廣泛的一種形式，也是對初學者而言最重要的剪法。首先要統籌規劃，想到剪成后的展開效果。幾乎所有剪紙題材都適合左右對稱剪法。左右對稱剪紙有祥和、莊重之感，是人們普遍喜歡的常見的剪紙形式。

上下對稱剪紙也是常見的剪紙方法，上下對稱和左右對稱的剪法原理大致是相同的。剪紙時，首先應先確定主題內容，然后留意連接邊的取舍。物體在水面上具有倒影，或者是一些概念性的現代剪紙作品大多數采用上下對稱剪法。

4　結語

以民間剪紙為研究個案，從數學角度研究民間傳統剪紙藝術是一種新的方式。深入流行剪紙的地區，訪問調查采集圖片，研究相關文獻，粗略挖掘民間剪紙藝術中形成和運用的數學元素〔5-9〕。通過用數學的觀點對民間傳統剪紙藝術的研究，從民間剪紙所蘊含的幾何曲線、幾何變換、黃金分割等數學元素為出發點，深入探析民間剪紙藝術與數學文化之間的聯系，有利于民間剪紙藝術文化的傳承和保護，促進多元文化的健康發展和數學文化的交流融合。最后以數學中對稱性作為民間剪紙的重要方法予以說明，希望能為中小學數學課堂提供一些教學素材。

本文大多圖片由作者手機拍攝所得，剪紙創作者無從查證，在此表示衷心的感謝。

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〔2〕王伯敏.中國民間剪紙史〔M〕.杭州：中國美術學院出版社，2006：10-200.

〔3〕顧沛.數學文化〔M〕.北京：高等教育出版社，2008：45-222.

〔4〕四方連續剪紙教程〔EB/OL〕.（2014-09-12）〔2015-12-12〕.http：//www.shougongke.com/course/54109.html.

〔5〕楊豐羽.試析陶藝設計中的數學模型〔J〕.中國陶瓷工業，2012，19（8）：17-19.

〔6〕王念祥.民間老剪紙〔M〕.北京：北京工藝美術出版社，2009：2-10.

〔7〕崔錦，王鶴.民間藝術教育〔M〕.北京：人民出版社，2008：135-144.

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〔9〕代欽.中國彩陶上的數學文化：以幾何圖案的解析為中心〔J〕.數學通報，2014，53（6）：1-5.

〔Abstract〕Paper cutting is a traditional Chinese folk art.Through the research and analysis of Chinese folk paper-cut patterns，this paper aims at excavating mathematical elements of folk paper-cut art including curve geometry，geometry transform and golden section，exploring the commonality between folk paper-cut art and mathematics culture，protecting and inheriting the folk custom culture，providing more case teaching for maths class teaching.

〔Key words〕paper-cut art；mathematical culture；geometry curve；geometric transformation

（責任編輯袁霞）

Mathematical Culture in Folk Paper-cutting Art

Wang Pei，Wang Pengde*
（College of Mathematics and Computer，Dali University，Dali，Yunnan 671003，China）

J528.1：O119

A

2096-2266（2016）06-0013-06

國家自然科學基金資助項目（41464004）；大理大學第五期教育教學改革項目（JGV-77）

2016-05-04

2016-05-19

王培，數學與應用數學專業2012級本科生.

王彭德，教授.