“一次函數”專家診療室

□朱元生

“一次函數”專家診療室

□朱元生

今天是“一次函數”專家門診的日子，這不，主任醫師剛上班，就來了好幾位慕名而來的患者，下面是幾個典型病例診治情況.

一、對函數圖象的意義理解有誤

病例1如圖1，小明在操場上玩耍，一段時間內沿M→A→B→M的路徑勻速散步，能近似刻畫小明到出發點M的距離y與時間x之間關系的函數圖象是（）.

圖1

臨床癥狀：選A或B.

病因診斷：這主要是由于對函數圖象的意義理解有誤，誤認為勻速散步，即速度不變，A、B均是半圓，半圓上的點具有到圓心的距離相等的性質，從而誤以為應選A或B.題目中要求的是近似刻畫小明到出發點M的距離y與時間x之間關系的函數圖象，小明在從點M到點A這段時間內，他離點M的距離在逐漸增加，即y隨x的增大而增大，圖象上升；在從點A到點B這段時間內，小明到點M的距離保持不變，即x增大而y值不變，這時圖象應與x軸平行；在從點B到點M的這段時間內，他離點M的距離在逐漸減少，即y隨x的增大而減小，圖象下降；且從行走的路程上考慮，半圓周長AB要大于直徑AB，所以D也不正確.

處方：選C.

二、實際問題中自變量的取值范圍的確定欠全面

病例2已知等腰三角形的周長為8cm，寫出底邊長y（cm）與腰長x（cm）之間的函數關系式，并畫出函數圖象.

臨床癥狀：底邊長y（cm）與腰長x（cm）之間的函數關系式為y= 8-2x，其函數圖象如圖2所示.

圖2

圖3

病因診斷：實際問題中自變量的取值范圍的確定欠全面.本題既應考慮到腰長x＞0，底邊長y＞0，還應考慮到三角形三邊之間的關系，即2x＞y，解得2＜x＜4.

處方：函數關系式為y=8-2x（2＜x＜4），其函數圖象應是如圖3所示的不包括端點的一條線段.

三、對一次函數定義的理解出錯

病例3已知函數y=（m2-3m）xm2-8+5是關于x的一次函數，試求m的值

臨床癥狀：當m2-8=1時，函數y=（m2-3m）xm2-8+5是一次函數，這時m=±3.

病因診斷：一次函數y=kx+b的定義，不僅要求自變量x的指數為1，同時還要求比例系數即自變量x的系數k≠0，現只考慮到了指數m2-8=1，而遺漏了比例系數m2-3m≠0，事實上，當m=3時m2-3m= 0，這時y=（m2-3m）xm2-8+5就不是一個一次函數.

處方：當函數y=（m2-3m）xm2-8+5是一次函數時，m=-3.

四、忽視分類討論

病例4：當a為何值時，函數y=（a+1）xa2-3+（a-3）x+a是關于x的一次函數？

臨床癥狀：由題意得，a+1=0且a-3≠0，解得a=-1.

病因診斷：這是由于受思維定勢的影響，考慮問題欠周密，忽視了分類討論.

事實上當a2-3=1且（a+1）+（a-3）≠0，以及當a2-3=0且a-3≠0時，都是一次函數.

處方：（1）當a+1=0且a-3≠0時，解得a=-1；

（2）當a2-3=1且（a+1）+（a-3）≠0時，解得a=±2；

（3）當a2-3=0且a-3≠0時，解得a=

五、對一次函數圖象的理解有誤

病例5已知函數y=（m-1）x+（3-2m），y隨x的增大而減小，則函數的圖象大致是下圖中的（）.

臨床癥狀：選A或C

病因診斷：這是由于對一次函數圖象的理解有誤造成的.以為函數y=kx+b，y隨x的增大而減小，即直線下降，忽視了直線與y軸的交點位置.事實上，函數y=kx+b，y隨x的增大而減小，則需k＜0.即m-1＜0，解得m＜1，而當m＜1時，3-2m＞0，即直線與y軸的交點在x軸的上方.

處方：選A.