具有變號位勢和非線性項的薛定諤方程的無窮多解

呂定洋

（湖南第一師范學院 數學與計算科學學院，湖南 長沙 410205）

具有變號位勢和非線性項的薛定諤方程的無窮多解

呂定洋

（湖南第一師范學院 數學與計算科學學院，湖南 長沙 410205）

本文用不同于已有文獻的方法研究了一類薛定諤方程的無窮多高能解的存在性，其中位勢V（x）允許變號，的原函數所滿足的超二次條件與（AR）型條件互為補充。

薛定諤方程；超二次條件；變號位勢；高能解

引言

本文考慮如下的半線性薛定諤方程：

該方程不但在物理應用方面有重要的作用，也為數學方法的發展提供了一個很好的模型.利用變分法，方程（1.1）的非平凡解的存在性和多重性得到了廣泛研究，參見文獻［1-4］，在大多數參考文獻中，以下的（AR）條件被經常使用：（AR）存在μ＞2，使得其中F（x，u）=（.AR）條件的作用是用來證明（PS）序列的有界性，這對臨界點理論的應用是非常重要的.但有許多函數并不滿足（AR）條件，如在文獻［5，6］中，作者建立了一些新的超二次條件來代替（AR）條件，其中有些比（AR）條件弱，有些與它互為補充.在最近的文獻［7］中，Qingye Zhang等在對V和f做出一些新的假設的情況下，得到了方程（1.1）無窮多非平凡解的存在性結論.在本文中，我們對V和f做如下假設：，且；（）存在一個常數d0，使得

其中meas（.）定義為RN中的勒貝斯格測度.，且存在常數，使得

其中

定理1.1假設（V1），（V2），（f1）-（f4）成立，則問題（1.1）有無窮多解｛uk｝，其對應能量值趨于無窮大.注：1：在我們的假設中V（x）是允許變號的.

2：條件（f3）是由Jeanjean在文［6］中提出的，它比常見的單調性假設弱.有很多函數如前面提到的.滿足 f（3）但不滿足（AR）條件，條件f（2），f（3）與（AR）條件互為補充.

3：我們的定理的證明方法完全不同于文［7］的證法.

1.變分框架

進一步，我們有：

現在，我們在E中定義一個泛函：

定義2.2稱泛函I滿足（C）C條件是指，對任意一列，若滿足和則｛un｝必有收斂子列，其收斂極限是泛函I的臨界點.引理2.3（對稱山路定理 ［2，9］）設X是有限維Banach空間，其中Y是有限維的.如果滿足（C）C條件（c＞0），且

那么I存在無界臨界值序列.

2.定理證明

（1）證明Φ滿足（C）C條件。

那么wn在E中弱收斂于w.

因此，利用Lebesgue控制收斂定理和（2.1）有：

（因為m的任意性）.

因此，利用f（3），

矛盾.所以｛un｝在E中有界.

（2）證明｛un｝有收斂子列.

不妨假設在E中un弱收斂于u，據引理2.1知，在空間.中，un→u.

由un弱收斂于u知，.根據假設（f1），.

（3）驗證泛函Φ滿足引理2.3中的其他剩余條件.

（I1）顯然Φ（0）=0.由（f4）知Φ（-u）=Φ（u）.

故我們可以選擇一個整數m≥1，使得

根據（V1）知，存在一個常數V0＞0，使得

引理2.4問題（1.1）與下列問題是等價的.

讓X=E，Y=Ym，Z=Zm.顯然，滿足 （f1），（f2），（f3），（f4），從而由上面的證明知系統（2.3）具有無窮多高能解.再由引理2.4知，問題（1.1）也具有無窮多高能解.定理證畢。

［1］A.Ambrosetti,P.H.Rabinowitz.Dual Variational methods in Critical point theory and applications,［J］.1973,14（4）：349-381.

［2］T.Bartsch,Z.Q.Wang.Existence and multiplicity results for some suplinear elliptic problems［J］.1995,（20）：1725-1741.

［3］T.Bartsch,M.willem,Infinitely many nonradial solutions of a Euclidean Scalar field equation［J1993,（117）：447-460.

［4］Y.H.Ding,Infinitely many entire solutions of an elliptic system with Symmetry［J］.1997,（9）：313-323.

［5］Y.Ding,A.Szulkin,Bound states for semilinear equations with sign-changing potential［J］.,2007,29（3）：397-419.

［6］L.Jeanjean,On the existence of bounded palais-smale sequences and Application to a Landesman-Lazer type problem set on［J］.1999,（129）：787-809.

［7］Q.Zhang,B.Xu,Multiplicity of solutions for a class of semilinear schrodinger equations with sign-changing potential［J2011,（377）：834-840.

［8］T.Bartsch,Z.-Q.Wang,M.Willem,The Dirichlet problem for superlinear Elliptic equations［A］.M.Chipot,P.Quittner（Eds.Elsevier,2005.

［9］P.H.Rabinowitz,Minimax methods in critical point theory with appiications to differential equations［Z］.in：CBMS Reg.Conf.in Math.,Vol.65.Amer.Math.Soc., Providence,RI,1986.

［責任編輯：胡偉］

Infinitely Many Solutions for a Class of Schrodinger Equations with Sign-changing Potential and Nonlinearity

LV Ding-yang

（Department of Mathematics,Hunan First Normal University,Changsha,Hunan 410205）

Schrodinger equations；super-quadratic；sign-changing potential；high energy solutions

O175

A

1674-831X（2016）02-0097-03

2015-05-12

湖南省自然科學基金項目（14JJ7083）；湖南省教育廳科學研究項目（14C0253）

呂定洋（1968-），男，湖南邵陽人，湖南第一師范學院數學與計算科學學院副教授，主要從事偏微分方程臨界點理論。