一種基于協方差矩陣重構的魯棒波束形成方法

鄧成晨，謝少彪，鄒興，倪濤（.上海衛星工程研究所 上海 0040；.上海航天技術研究所 上海009）

一種基于協方差矩陣重構的魯棒波束形成方法

鄧成晨1，謝少彪2，鄒興1，倪濤1
（1.上海衛星工程研究所 上海 200240；2.上海航天技術研究所 上海201109）

針對魯棒Capon波束形成算法中采用牛頓迭代求解對角加載因子時，運算量大且算法旁瓣增益高的問題，提出了一種改進的穩健波束形成算法。首先對干擾協方差矩陣進行重構，然后將重構的協方差矩陣投影到噪聲子空間，使期望信號導向矢量在噪聲子空間投影最優，最后精確求解對角加載因子。該方法的運算量低于RCB算法中牛頓迭代和最差性能最優（WCPO）算法中凸規劃運算，并且提高了加載因子的計算精度。實際仿真結果表明，改進算法有效克服了信號方向估計誤差，具有更低且穩定的旁瓣增益，輸出信干噪比性能優于現有其他方法。

魯棒波束形成；協方差矩陣重構；對角加載；導向矢量誤差；方向圖畸變

常規波束形成算法在導向矢量和協方差矩陣準確已知的條件下，可以得到最優的輸出信干噪比，但在實際情況下，導向矢量和采樣協方差矩陣往往都存在一定的誤差。而較小的誤差便會引起波束形成性能的嚴重下降，特別是在訓練數據中含有目標信號時，這種現象更為明顯［1-2］。目前其解決辦法多數集中在針對訓練序列中改善數據協方差矩陣特性，而這類方法的代表則是對角加載技術。對角加載技術發展至今已經涌現了大量的自適應求解加載因子方法。其中，以Jian.L［3-5］為代表，首次提出了基于信號方向矢量球面不確定集約束的魯棒波束形成（RCB）算法，這給穩健波束形成算法提供了新的求解思路。該類算法將期望信號導向矢量約束于各種不確定集中，包括多錐面不確定集［6］、球形不確定集［7-9］、橢球體不確定集［10-13］等，然而諸多方式要么采用牛頓法進行反復迭代，要么借助數學工具——凸規劃來求解，使得算法計算過程復雜，計算量大大增加，不利于工程實現。

針對上述問題，本章提出了一種新的穩健波束形成方法，首先對干擾協方差矩陣進行重構，并將重構協方差矩陣投影到噪聲子空間，使期望信號導向矢量在噪聲子空間投影最優，并精確求解對角加載因子λ。該方法的運算量低于現有的牛頓迭代法和凸規劃法，提高了加載量λ的計算精度。

1　魯棒Capon波束形成（RCB）算法

Capon波束形成器的最優權重向量為

式（1）RX表示采樣協方差矩陣，a為期望信號導向矢量，ωopt表示輸出權矢量。從式（1）可知，權重向量的求解需要準確的知道信號的方向向量，但在實際的環境中，信號方向向量往往會存在偏差，波束形成器的性能會急劇下降［1］。魯棒Capon波束形成算法代價函數為［3］

式（2）的最優解是利用Lagrange因子的方法求解得到方向向量的估計值為

式（3）中，λ為Lagrange因子，且λ＞0。從上式可以看出，求取最優導向矢量a?的關鍵在于加載因子λ的求解。為此，把式（3）代入式（2）的約束條件中，可得

對R進行特征分解RX=UΛUH，其中U為特征向量矩陣，Λ為特征值矩陣，令

將式（3）、式（5）代入式（4）可得

式（6）給出了λ的求解方程，λ的求取采用牛頓迭代法。然而，這一運算過程收斂速度較慢，增加了計算復雜度。下面本文將提出一種新的穩健方法，精確自適應計算加載因子。

2　改進的穩健Capon波束形成算法

2.1改進算法的基本原理

眾所周知，當接收數據中包含期望信號分量時，自適應波束形成器主瓣性能將會降低，如果能將期望信號分量從接收數據中濾除，就可以提高算法的魯棒性?；谶@一思想，文獻［14］提出了一種干擾加噪聲協方差矩陣重構方法。干擾加噪聲協方差重構矩陣表示如下

式中，RX為采樣數據協方差矩陣，a（θ）為導向矢量，R?i+n為重構后的干擾加噪聲協方差矩陣，Ω為波束旁瓣區間 （保證主瓣不在此區域）。這樣通過重構干擾加噪聲協方差矩陣，期望信號得到濾除，降低了大信噪比下波束主瓣增益的損失。但對于導向矢量誤差，算法的性能并沒有得到改善。為此，本文將引入不確定集約束的思想，基于RCB算法約束方程來求解最優導向矢量。首先，利用式（7）求解重構后的協方差矩陣R?i+n代替約束方程式（2）中的RX，那么最優化問題可描述成如下

在進行分析之前，假定天線陣接收端總共有p+1＆lt;M個信號源，對重構的協方差矩陣R?i+n進行矩陣特征分解，則有

式（9）中，γ1≥γ2≥…γP+1≥γP+2≈…γM=δ2M表示R?i+n對應的M個特征值，ΛS=diag（γ1，γ2，…γP+1）和ΛN=diag（γP+2，…γM）分別為對應的特征值組成的對角陣US=［u1，u2，…uP+1］，UN=［uP+2，…uM］分別為信號子空間和噪聲子空間，ui表示對應的特征向量。

根據矩陣特征分解理論，實際上信號導向矢量aˇ由信號子空間生成。因此aˇ可以表示成信號子空間Us的各列向量的線性組合

上式中a表示組合系數組成的列向量。把上式代入式（9）中，可得

由于UHSUS=I，而由于γ1≥式（11）中，ΛN=δM2I。這樣上述最優化問題可以進一步描述成如下形式

其中，δ2M表示噪聲功率。由于真實的導向矢量aˇ模值為根據矩陣與向量范數相容性理論，‖USα‖V滿足‖USα‖V=‖US‖F×‖α‖2。由于‖US‖F等價Tr（UHSUS）1/2，因此向量α的范數滿足這里值得注意的是僅僅與陣列天線陣元數目相關，因此式（13）可以描述成如下形式

采用Lagrange因子的方法求解上式，可得最優導向矢量如下

這樣問題的關鍵就轉變成Lagrange因子的求取。將式（14）代入式（13）中的約束方程，則

由于信號子空間US和噪聲子空間UN滿足UNUHN+USUHS= I，因此，對式（15）中進行變換

將（16）代入（15），求解λ得：

這樣便得到了不確定約束集下λ的準確閉式解，將式（17）代入式（14）求得最優導向矢量ˇ。至此，干擾加噪聲協方差矩陣R?i+n及最優導向矢量都得到求解。將其代入Capon波束形成器權值表達式，最終求得改進算法的最優權值。

從改進算法的推導過程可知，改進算法首先需要對干擾協方差矩陣進行重構，并將重構協方差矩陣投影到噪聲子空間，使期望信號導向矢量在噪聲子空間投影最優，并采用式（17）精確求解對角加載因子。顯然，該方法的運算量低于牛頓法，提高了加載量λ的計算精度。

2.2改進算法實現步驟

既然改進算法已經得到了準確的閉式解，因而很容易得出其計算步驟，這里需要注意的是，新的穩健算法需要準確知道噪聲子空間的維數。因此當干擾信號功率較強時，可以由協方差矩陣特征值的大小來準確分離出信號子空間和噪聲子空間；當干擾信號功率較弱時，由于協方差矩陣特征值差異模糊，無法直接判斷，這時則可以通過信源估計方法［15］。改進的穩健算法實現步驟如下

3）利用式（17）求解Lagrange因子λ；

3　數字仿真及分析

仿真中，采用50陣元的均勻線陣，并設定陣元間距固定為半波長。兩個干擾信號來波方向分別為-60°和40°，其干噪比分別為40 dB和50 dB，假定期望信號來波方向為0°。改進算法中設定期望信號主瓣區間Ψ=［-3°，3°］，干擾區間Ω=［-90°，-3°］∪［3°，90°］。以下所有仿真結果均是基于200次蒙特卡洛實驗。

實驗一：最優導向矢量估計對波束主瓣影響分析

首先，假定期望信號真實來波方向為θ=2°，這樣也就意味著導向矢量方向誤差為2°。將本文算法和標準Capon算法（SCB）、WCPO算法、RCB算法進行對比，如圖1所示。其中圖1為4種不同算法波束方向圖，圖2為圖1中主瓣區域局部放大圖。圖中可以看到，SCB方法在真實期望信號方向θ=2°上形成凹陷，而最差性能最優（WCPO）方法、RCB算法和本文算法均在此方向上形成峰值。這主要原因是SCB算法并未采取任何對協方差矩陣補償措施，而其他3種方法均采用自適應對角類優化方法，可以較好地估計最優導向矢量，從而在真實期望信號方向上形成主瓣峰值，以保證期望信號最大化被保留。

圖1　指向誤差為θ=2°時波束圖對比

圖2　圖1中主瓣局部放大

實驗二：快拍數、輸入信噪比、主瓣寬度對波束旁瓣的影響

圖3　輸入信噪比對波束旁瓣的影響

將采樣快拍數固定為L=50，輸入信噪比分別設為-10 dB、0 dB、10 dB、20 dB的條件下，對比本文算法在不同輸入信噪比下波束方向圖幫幫性能的變化情況，如圖3所示。從仿真結果可以看到，隨著輸入信噪比的增加，波束旁瓣增益略微有所變化，但基本維持在相對穩定的較低增益。這表明本文算法的波束旁瓣對輸入信噪比的變化并不敏感，從而針對較大輸入信噪比時，仍具有良好的低旁瓣增益。

圖4　快拍數對波束旁瓣的影響

圖4為固定輸入信噪比為0 dB時，快拍數分別為10，20，50，100情況下，本文算法的波束方向圖對比。仿真結果可以看到，波束方向圖的旁瓣隨著快拍數增加而趨于穩定，且維持較低的增益。當快拍數不足時，旁瓣增益明顯較大，然而隨著快拍數增加到50時，波束旁瓣增益已經趨于穩定?？炫臄挡蛔銜r，由于采樣點數的缺失，而采樣數據的協方差矩陣得不到有效補償，從而波束圖旁瓣增益較大。

固定輸入信噪比0 dB、快拍數50時，針對協方差矩陣重構中波束主瓣區域選擇不同的主瓣寬度進行仿真，如圖5所示。如圖所示，實驗中，對采樣協方差矩陣重構時，分別選擇主瓣寬度為2、4、6、8。從仿真結果可以看出，隨著波束主瓣寬度變寬，波束旁瓣增益降低，旁瓣逐漸變小。因此可以通過改變主瓣寬度來優化旁瓣特性。

圖5　主瓣寬度對旁瓣的影響

實驗三：輸入信噪比、波束指向偏差、快拍數對輸出信干噪比（SINR）的影響

實驗中，將本文算法與SCB、常規對角加載（LSMI）、WCPO、RCB算法進行對比。圖6為輸入不同SNR對輸出SINR影響。仿真中固定采樣快拍數50，并考慮指向誤差θ=2°。本文算法選擇波束旁瓣區間Ω=［-90°，-3°］∪［3°，90°］。LSMI算法中采用常用對角因子λ=10δ2M，其中δ2M=1表示噪聲方差。

圖6　輸入SNR對輸出SINR的影響

從圖6仿真結果可以看出，所有5種算法在低輸入信噪比時，性能接近或一致，尤其是在輸入SNR為 0 dB以下時，更為明顯。當輸入信噪比逐漸增大時，SCB算法輸出SINR最先下降，主要原因期望信號的存在對波束性能造成嚴重影響。LSMI算法采用固定的對角載入因子作為對協方差矩陣的補償，性能要優于SCB，但隨著信噪比增大，其補償因子不能實時調整，因而造成輸出信干噪比性能也急劇下降。WCPO算法和RCB算法均采用基于球形不確定約束方法，對指向偏差進行最優估計，因而克服了波束指向誤差帶來的問題，從而其輸出 SINR性能相對較好，均優于傳統的 SCB和WCPO方法。本文算法基于不確定集約束的思想上，實現采樣數據協方差矩陣的重構，因而去除了期望信號對波束性能的影響，從而獲取了最好的輸出信干噪比性能。

圖7　采樣快拍數對輸出SINR的影響

圖7給出了采樣快拍數對波束輸出信干噪比的影響。仿真中固定輸入信噪比SNR=0 dB，其他條件不變。從仿真結果中可以看到，當采樣快拍數不足（快拍數小于50）時，5種算法性能均較差，此時，本文算法與RCB、WCPO算法性能接近一致，并優于LSMI和SCB方法。隨著快拍數的增加，5種算法輸出SINR性能均有所增加，其中WCPO和RCB性能接近，且均優于LSMI和SCB算法，緣于二者都采用了自適應補償對角加載因子，而本文算法輸出SINR性能均優于其他4種方法，且接近于理想值。

圖8　波束指向誤差對輸出SINR影響

圖8反映了波束指向偏差對輸出SINR性能影響。仿真中固定輸入信噪比SNR=0 dB，采樣快拍數50，指向誤差由0°至6°。觀察仿真結果，可知隨著波束指向誤差的增大，5種算法輸出SINR均有所下降；但就整體趨勢來講，SCB性能下降最陡峭，對波束指向誤差最為敏感；其次是LSMI算法，雖然采用固定對角載入因子作為補償，但不能實時跟蹤并估計最優導向矢量；緊接著WCPO和RCB算法對指向誤差具有較好的魯棒性，這依然歸功于其自適應最優導向矢量估計；而本文算法性能雖然有所下降，但下降很緩慢，且始終優于其他幾種算法，因而對指向誤差具有很強的魯棒性。

4　結　論

針對信號方向估計誤差波束方向圖畸變問題，提出了一種基于協方差矩陣重構的穩健波束形成算法。該方法首先對干擾協方差矩陣進行重構，并將重構協方差矩陣投影到噪聲子空間，使期望信號導向矢量在噪聲子空間投影最優，并精確求解對角加載因子。該方法的運算量低于RCB和WCPO，因而比RCB和WCPO方法具有更簡單的處理流程，運算量也大大減少。最后，針對新的穩健算法進行了實驗仿真。仿真結果表明新的穩健算法性能優于現有的其他主流算法。

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A robust beamforming algorithm based on covariance matrix reconstruction

DENG Cheng-chen1，XIE Shao-biao2，ZOU Xing1，NI Tao1
（1.Shanghai Institute of Satellite Engineering，Shanghai 200240，China；2.Shanghai Academy of Spaceflight Technology，Shanghai 201109，China）

In view of the robust Capon beamforming algorithm，the Newton iterative method is utilized to obtain the diagonal loading factor，which leads to problems of large amount of computation and high side lobe gain.This paper propose new robust beamforming algorithm.Firstly，the interference covariance matrix is reconstructed，and then the reconstructed covariance matrix is projected to the noise subspace，so that the optimum projection of the desired signal steering vector in the noise subspace can be achieved，and the diagonal loading factor is accurately solved.The computation of the proposed algorithm is less than RCB and WCPO method，which improve calculation accuracy of the load factor.Practical simulation results show that the proposed method overcomes the problem of signal direction estimation errors effectively，has a lower beam side-lobe gain than RCB and WCPO algorithm，and outcomes other existing methods.

robust beamforming；covariance matrix reconstruction；diagonal loading；steering vector error；beam pattern distortion

TN911

A

1674－6236（2016）11-0021-05

2016-03-03稿件編號：201603032

航天科技創新基金（CASC2015021）

鄧成晨（1986—），男，江蘇鹽城人，碩士，工程師。研究方向：衛星總體方案設計。