Arnold變換與Gray碼變換相融合的雙置亂算法研究

宋莉莉　楊　帆　潘國峰

(河北工業大學信息工程學院　天津 300401)

?

Arnold變換與Gray碼變換相融合的雙置亂算法研究

宋莉莉楊帆潘國峰

(河北工業大學信息工程學院天津 300401)

Arnold置亂由于其簡單易懂被應用到數字水印、安全防偽、軍事機密等各個領域，并得到了很好的效果。Gray碼變換由于其在彩色空間和位置空間都能靈活運用等特點在信息安全中也得到了很好實際應用。但是，由于兩種算法相對簡單，很容易被入侵者破解，為了提高信息的加密程度和抗攻擊性，提出一種Arnold與Gray碼變換相融合的雙置亂算法，使得加密信息在位置空間和灰度空間上都得到很好的隱藏。實驗結果表明，該方法能很好地應用在圖像處理方面，為信息隱蔽技術的預處理工作提供更好的保證。

Arnold變換Gray碼變換圖像置亂信息隱蔽

0　引　言

伴隨著互聯網的逐漸普及，多媒體技術、信息存儲技術的不斷發展，越來越多的數字圖像信息在網絡上傳輸，并且成為了人們日常生活中獲取資源信息的主要途徑之一，由此帶來的信息安全問題也受到廣泛關注。面對越來越多的數字產品的版權和數據安全得不到穩定的保護等現代問題，也因此成為一項備受關注的熱點話題和亟待解決的問題。因此對網絡中傳輸的大量數字圖像信息如何進行可靠的加密處理，受到眾多學者的關注，是網絡信息時代一個值得深入研究和探索的課題[1-4]。

圖像傳輸等過程中，為了安全保密，經常對圖像進行編碼然后解碼，編碼的目的是防止信息泄露，這就是圖像加密。圖像加密的方法很多都可以從圖像變換方法中找到[5]。

圖像置亂是通過相關的變換公式進行編碼，從空域改變圖像內部信息的排列分布或者從頻域徹底改變圖像信息內容的一種信息加密技術，主要應用在對數字圖像加密的前期預處理和后續解密當中。在需要信息隱藏的網絡傳輸中，置亂技術能很好地消除隱蔽信息間的相關性，增強通信的隱蔽性，設置相應的秘鑰對隱蔽信息進行加密處理，還能減小錯誤比特率以增強秘密信息的魯棒性[6-9]。目前運用比較廣泛的置亂方法越來越多，如Logistic變換、Hilbert變換、仿射變換、Arnold變換、廣義Gray碼變換、幻方變換、Conway游戲、Fibonacci變換等方法。其中Arnold變換由于簡單易懂等特點受到學者們的廣泛應用。Gray碼變換因應用靈活被運用在圖像處理方面，它不僅可以從位置空間改變圖像信息，還可以從色彩空間上改變圖像灰度值達到處理圖像的目的。但是，由于Arnold變換的簡單性和周期性，破壞者在知道圖像的置亂次數的條件下可以輕易破解加密信息，使得傳輸者的隱蔽信息被泄露，信息安全得不到保證。為了提高加密信息的安全性，提出首先運用Arnold算法進行置亂加密處理，打亂圖像的原始載體信息，然后在此基礎上利用后面提到的Gray碼變換方法，使加密的圖像信息徹底改變，達到雙置亂效果。隱蔽信息能夠得到更深度的加密保護，提高抗攻擊能力，確保隱蔽信息的安全傳輸。

1　Arnold變換與Gray碼變換

1.1Arnold變換

Arnold變換過程可以用矩陣表示如下：

(1)其中x,y∈{0,1,2,…,N-1},N為圖像的長和寬。mod是模運算，目的是確保置亂后的圖像信息的位置范圍不變，仍然落到圖像區域內部。(x′,y′)T是圖像(x,y)T位置的像素點經過置亂得到的新位置的坐標。經過一次Arnold變換后圖像還留有許多原始信息，即并沒有完全達到徹底置亂圖像的作用。在實際應用中，Arnold變換是指經過多次迭代Arnold變換的結果[10]。運用等式(1)，經過多次反復變換，就得到最終理想的加密置亂圖。

設定自然數N>2，Arnold變換公式的周期用mN表示，根據Arnold變換具有周期性的特點，式(2)中的最小自然數n即為Arnold變換的最小正周期：

(2)

圖1是一幅380×380大小的圖像，經過式(2)計算得到圖像的置亂周期為90，對圖1(a)的原始圖像分別進行10次、90次Arnold置亂，得到圖1(b),(c)的變換結果。可見，圖像經過周期變換再次恢復到初始圖像。

圖1　Arnold迭代變換及周期特性

依據Arnold算法的周期性特性，可以較容易實現對信息圖像的加密與解密工作，是信息隱蔽技術的一種很好的預處理方法。但是由于Arnold的周期性強，編程實現簡單，使攻擊者能輕松地破譯加密信息，達到攔截信息或篡改信息的目的。發生在一些政治軍事上就會危害到國家利益，所以Arnold變換還存在被改進的空間。為此需要想辦法加入其他的加密技術，以提高信息的保密度。

1.2Gray碼變換

設定變量u為一個非負整數，其二進制形式的表達式對應為u=(upup-1…u1u0)2，令：

gp=up,gi=ui⊕ui+1i=1,2,…,p-1

(3)

得到一個二進制整數g(u)=(gpgp-1…g1g0)2。式(3)就叫作Gray變換，二進制整數g(u)稱為變量u的Gray碼(格雷碼)。其中運算“⊕”為模2加法。

Gray碼算法的優點是可以對像素編碼進行置亂，從位置空間改變圖像信息；也可以不改變位置，對圖像灰度值編碼進行置亂，也就是從色彩空間上改變圖像信息。此算法也可以推廣到任意進制情況下的廣義Gray碼，適用性非常靈活。

根據Gray碼變換原理對數字圖像進行圖像信息加密，也是一種實現圖像信息隱藏預處理的方法。置亂變換過程也是加解密的過程，要想有效地進行信息的加密與恢復，得到傳輸信息，變換的可逆性是至關重要的，即處理的圖像能夠經過相應的反變換，最終得到復原。

Gray碼變換實際上就是異或變換，同理得到Gray碼反變換公式：

gp=up,gi=ui⊕gi+1

(4)

圖2是經過Gray碼變換與相應的反變換置亂得到的變換圖像。

圖2　Gray碼變換與反變換置亂圖像

2　Arnold和Gray碼相融合的雙置亂算法

前面具體講述了Arnold變換算法的原理，可以改變數字圖像灰度信息的分布，達到了信息加密的目的[11]。但是由于Arnold變換的局限性，其周期性強，容易被非法入侵者破解等弱點，使得Arnold變換在實際應用中受到限制[12]。為了使一些重要信息得到更好的隱蔽，就需要更好的加密技術，使得在原有的簡單技術上實現深度加密，達到算法的簡單易行，又同時提高信息的加密破解難度。本文在運用Arnold變換對圖像進行置亂處理的情況下，又附加上另一種置亂方法—Gray碼算法。此算法不僅是一種色彩空間域上的置亂方法，通過徹底改變圖像的像素灰度值，直方圖的總體分布，達到置亂；也可以從位置空間上，通過改變圖像信息中像素的具體位置坐標，得到加密處理的圖像。基于Arnold和Gray碼變換的雙置亂變換(為了便于描述，后面將簡稱 “A&G” 變換)是基于Gray碼在色彩空間上的置亂方法。

圖3為 “A&G” 變換的流程圖。“A&G” 變換是運用兩者結合，首先圖像的位置空間得到置亂，解除空間相關性，然后解除色彩相關性，達到改變直方圖的效果，提高置亂的均勻度。

圖3　“A&G” 變換流程圖

(5)

其中aij表示像素矩陣中第i行第j列位置上的灰度值，經過σ映射，改變像素坐標的位置。

得到置亂像素新坐標a[i+j,i+2j]N，并得到一次Arnold置亂結果，圖像記作A1；

步驟3對步驟2中得到的置亂結果AN的各像素點的像素值，利用式(3)進行Gray碼變換，得到最終要加密的目標圖像B。

圖像置亂起到對圖像信息隱蔽的作用，而還原操作也是一種置亂操作，是置亂處理的一個逆過程，是保證信息在安全的情況下能準確無誤的傳輸到解密人手中的一種很好的處理方法。根據置亂的步驟要想恢復置亂圖像，首先要對已經置亂的目標圖像B進行Gray碼反變換，解除Gray碼置亂效果，再進行Arnold變換操作，得到原始信息。大體步驟如下：

步驟1首先對得到的加密圖像B利用式(4)給出的Gray碼反變換公式進行置亂，初步處理結果得到圖像AN；

步驟2運用Arnold變換的逆變換公式或者Arnold算法的周期特性等方法，將步驟1中得到的初步還原圖像AN恢復到圖像A′。對比恢復后的圖像A′與原圖A的圖像信息，證明變換是可恢復的。

3　仿真實驗及驗證結果分析

用圖2中的(a)圖作為仿真實驗的原始圖像，在10×10的尺寸大小情況下對圖像進行 “A&G” 算法處理。經過新算法的處理，得到圖4顯示的仿真效果示意圖。其中圖4(a)為原始圖像的像素信息，圖4(b)顯示的是經過Arnold算法后的像素信息，同理圖4(c)則是經過 “A&G” 變換后的像素信息。

由圖4的 “A&G” 變換可知，圖像信息經過Arnold變換處理得到新的圖像信息，新的圖像信息內容沒有發生改變，只是改變了原來信息的存儲位置。但是經過雙置亂變換后的圖像，信息發生了改變，改變了原來圖像攜帶的信息，起到了深度加密的目的，對信息隱蔽的深入研究提供了很好的方法。

圖4　“A&G”變換信息圖

根據Arnold變換與Gray碼變換都具有可逆性的原理，在信息隱藏的后期處理中可以將置亂圖像復原，解除加密隱藏。例如，一個程序員把加密信息發送給指定要接收的人員后，接收人要根據秘鑰原理進行解密處理，實現信息的復原。

運用兩種算法相結合的辦法，不僅改變了圖像的灰度分布，也使圖像的灰度值發生了改變，實現了對圖像深層加密的目的。對研究數字圖像的信息隱蔽技術預處理的后續工作提供了很好的技術前提。

為測試算法的有效性，更加全面地衡量與比較所提算法的置亂效果，進行下面的仿真實驗。圖5給出仿真實驗的原始圖像以及其灰度直方圖信息，圖6為“A&G” 算法對原始圖像的變換效果圖，并顯示圖像置亂后的直方圖，同時還給出Arnold算法和Hilbert算法的兩種置亂變換相對應的處理結果作為參照。

圖5　原始圖像及其直方圖

圖6　參數N=7時，Arnold、Hilbert和 “A&G”方法的置亂效果對比圖

圖6顯示，與作為參考的兩種現有的方法相比，新提出的置亂方法—— “A&G” 變換經過置亂后得到的圖像紋理更細，顆粒更加均勻，更接近于理想的白噪聲狀態。從人類視覺系統的角度來說，加密圖像的相關信息被完全打亂，看不出加密圖像的相關內容，置亂效果最好；對比三種變換方法置亂后的灰度直方圖，Arnold變換和Hilbert變換處理得到的直方圖信息置亂前后沒有發生變化，與原始圖像的直方圖一致，破壞者容易根據截獲的直方圖信息破解加密信息，竊取重要的信息內容，而這個缺點對于所有基于位置空間變化的圖像置亂方法來說也是一個目前急待解決和難以攻克的話題焦點。而經過 “A&G” 變換得到灰度直方圖與前兩種方法相比差距很大，不僅改變了灰度值，而且處理后的灰度值比原來分布的更加均勻，使整體上得到的置亂圖像的灰度值在整個灰度空間上均勻分布。這就證明了在數字水印等需要進行信息隱藏的技術預處理中，新的置亂方法可以將加密信息更加均勻的嵌入到宿主信息中，使后續工作中得到的水印透明性更好，信息隱藏的更加難以察覺[13]。

下面根據文獻[13]中定義的比較置亂程度的三個變量，從三個角度來衡量圖像的置亂效果。

(6)

從像素的位置空間上說，當變換后的圖像像素位置與原圖像的像素信息完全一樣時，置亂均勻度ED=m2-1-E，此時歸一化置亂均勻度ED為1；當變換得到的最終結果達到“均勻”的最佳狀態時，此時ED=0。依據概率分布形式歸一化處理，ED的取值范圍：0≤ED≤1。ED越接近0仿真得到的置亂圖像越均勻，加密效果越好，越接近1則效果越差。

(7)

絕對值距離D的值越大說明兩個向量的相異度越大，置亂處理后得到的圖像的均勻度就越差；反之D的值越小，置亂圖像就越接近于置亂“均勻”狀態，置亂達到的整體水平就越好。這是針對相異測量的方法。它的歸一化形式為：

(8)

歸一化后D的范圍：0≤D≤1。

根據式(8)的原理，同理也可以運用兩個向量夾角的余弦值來體現圖像置亂前后變換的相關性，作為相似度進行比較：

(9)

S越小說明兩個向量的相似度越小，置亂均勻度越差，得到的加密效果就越不明顯；S越大說明兩個向量的相似度就越大，置亂就越接近“均勻”的理想狀態，得到的評比結果就越好。S的取值范圍為0≤S≤1，這是針對相似測量的方法[14]。

依據圖6得到的置亂效果圖，運用上述三種衡量置亂程度的變量比較三種置亂算法的置亂程度，結果見表1所示。

表1　不同算法的置亂度比較

從表1中可知，隨著加密次數的逐漸增加，圖像越接近置亂“均勻”狀態，只是三種方法的置亂速度不同，顯示的效果也就不同。 “A&G” 變換ED趨近0、S趨近1遠遠好于其他兩種方法，D的值也比其他兩種方法更加趨近于零。可見，新提出的 “A&G” 算法的置亂效果，遠遠超出已有的Hilbert和Arnold兩種算法所達到的最佳效果。充分證明了新提出的置亂算法能很好地實現對圖像的均勻加密處理。且該算法與人類視覺的評價結果一致，能夠更好地實現信息加密的目的，對以后在信息隱蔽的實際應用中有重要作用。

4　結　語

在圖像置亂技術的研究中，Arnold變換算法因其方法簡單、運用方便等特點，被學者們廣泛應用于圖像加密技術的研究中。通常使用Arnold變換可以實現圖像基于像素位置空間的變換，但不會改變圖像攜帶的像素信息，使得加密圖像的置亂效果不能達到理想的要求。而且，由于Arnold算法本身存在周期性強、易破解性等缺點，本文在上述方法的基礎上又加入Gray碼變換算法，提出一種新的置亂方法—— “A&G” 變換，達到對圖像進行雙層置亂處理的目的。實驗證明，運用Gray碼變換在色彩空間上的應用，在Arnold置亂處理的基礎上，采用兩者相融合的方法，在保持原來優點的同時，很大程度上增加了信息的破譯難度，實現了對加密圖像的雙重置亂處理。充分說明了本方法能更好地運用在信息隱蔽技術的預處理中，具有較高的實際應用價值。

[1] 張博.基于新型Arnold反變換的雙彩色圖像水印算法[J].計算機與數字工程,2013,11(41):1819-1822,1834.

[2]MoulinP,MihcakMK.Aframeworkforevaluatingthedata-hidingcapacityofimagesource[J].IEEETransactionsonImageProcessing,2002,11(9):1029-1042.

[3] 朱桂斌.數字圖像信息隱藏的理論與算法研究[D].重慶:重慶大學,2004.

[4]BienerG,NivA,KleinerV,etal.Space-variantpolarizationscramblingforimageencryptionobtainedwithsubwavelengthgratings[J].OpticsCommunications,2006,261(1):5-12.

[5] 于萬波.基于MATLAB的圖像處理[M].2版.北京:清華大學出版社,2011.

[6]LiShanshan,ZhaoYinghai.ImageScramblingbasedonChaosTheoryandVigenereCipher[C].USA:IEEEComputerSociety,2011:555-558.

[7] 吳成茂,田小平.三維不等長Arnold變換及其在圖像置亂中的應用[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2010,22(10):1831-1840.

[8]RavankarAA,SedukinSG.ImageScramblingbasedonNewLinearTransform[C].USA:IEEE,2011:3105-3108.

[9] 彭靜玉,趙鶴鳴.彩色圖像置亂方法研究[J].通信技術,2012,40(5):57-62.

[10] 孫燮華.圖像加密算法與實踐基于C#語言實現[M].北京市:科技出版社,2013.

[11] 劉學,張化祥.基于秘鑰的Arnold-Hilbert變換在圖像置亂中的應用[J].信息技術與信息化,2009(6):100-102,106.

[12] 梁婷,李敏,何玉杰,等.基于Arnold變換的改進圖像加密算法研究[J].計算機工程與應用,2013,49(11):204-207,219.

[13] 譚永杰,馬苗.圖像置亂及其效果評價方法研究[D].陜西:陜西師范大學,2009.

[14] 吳曾珍,蔡利棟.數字圖像置亂均勻度研究及其在圖像安全中的應用[D].暨南大學,2007.

ONDOUBLESCRAMBLINGALGORITHMINTEGRATINGARNOLDTRANSFORMATIONANDGRAYCODEPERMUTATION

SongLiliYangFanPanGuofeng

(College of Information Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China)

Arnoldscrambling,duetoitseaseofunderstanding,hasbeenwidelyappliedinthefieldsofdigitalwatermarking,securityandanti-counterfeiting,militaryencryption,etc.,andachievesgoodeffect.Graycodepermutationalgorithmhasalsobeenwellappliedininformationsecurity,sinceitcanbeflexiblyimplementedinboththecolourspaceandthepositionspace.However,eitherofthemiseasilycrackedbytheintruders,fortheyarerelativelysimple.Inordertoimprovethedegreeofinformationencryptionandanti-attackproperty,weproposedadoublescramblingscheme,itisessentiallyacombinationoftheArnoldscramblingandtheGraycodepermutationalgorithm,andmakestheencryptedinformationbewellhiddeninboththepositionspaceandthegreyspace.Experimentalresultsshowedthatthisnewschemecouldbewellappliedinimageprocessingasabetterpreprocessorforinformationhidingtechniques.

ArnoldtransformGraycodepermutationImagescramblingInformationhiding

2014-07-29。國家科技重大專項項目(2009ZX02308-004)。宋莉莉，碩士，主研領域：智能信息處理，圖像處理。楊帆，教授。潘國峰，教授。

TP391

ADOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.03.072