三維不可壓Euler方程的動力學

李 丹，鄧大文

（湘潭大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105）

三維不可壓Euler方程的動力學

李 丹，鄧大文

（湘潭大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105）

考慮三維不可壓Euler方程的一些物理量沿質點軌跡的演化情況。Chae已考慮了渦量沿質點軌跡增加的情景，文章考慮令解衰減、系統穩定的另一種情景，進而把系統的演化情況（包括它在兩種情景間的轉化、爆破或衰減）作完整的描述。推廣了Chae已考慮的情景的結果，得到更強的結論。

三維不可壓Euler方程；局部光滑解；爆破；漸近性質

本文考慮在Ω?R3中不可壓流體的Euler方程

三維Euler方程局部光滑解可否在有限時間內損失正則性，是受關注的問題。如果可以，其爆破形態也是研究的中心問題。這方面的研究有文獻［1-3］中的爆破條件。Chae［4］考慮Euler方程組在光滑解存在的時段內的一些相關量沿質點軌跡的演化情況，思路是在光滑解全局存在的假定下，推出矛盾，就可知道全局光滑解不存在。

Guo等［5］利用Euler方程和水波的逼近模型Camassa-Holm（CH）方程的相似性，對CH方程（事實上也對Degasperi-Procesi方程）得到類似于文獻［4］的結果。但因為CH方程是空間一維的，涉及的量較簡單，結果就更清楚明白。更重要的是對CH方程有較完整的全局光滑解存在性和局部光滑解在有限時間爆破的理論［6-8］。利用這些理論，文獻［5］得到CH方程真實出現的全局解的性質和局部解的爆破形態，不單只是爆破條件與羅列所有可能的發展情況。也可以用類似的方法討論SQG方程局部光滑解的爆破問題［9］。

文獻［4］中的方法，是從模型推導物理量沿質點軌跡滿足的常微，從而得到它們沿軌跡的演化情況。……