《比的意義》教學實錄與評析

陳秋容 林慧慧

一、創設情境，引出“比”的概念

（一）創設情境，激發興趣

（多媒體播放運動員孫楊400米游泳比賽的視頻。）

師：在2012年倫敦奧林匹克運動會上，孫楊的表現，讓世界泳壇感受到了中國游泳隊的力量。

（二）提出問題，討論關系

（多媒體課件出示印在泳帽上的國旗。）

師：孫楊戴的泳帽上印有一面國旗，國旗的長是6厘米，寬是4厘米。比較國旗的長和寬，你能提出什么樣的數學問題？怎樣列式呢？

生1：長比寬多幾厘米？列式是6-4。

生2：寬比長少幾厘米？列式是6-4。

生3：長是寬的幾倍？列式是6÷4。

生4：寬是長的幾分之幾？列式是4÷6。

（三）引出概念，揭示課題

師：我們可以用減法表示長與寬的相差關系，也可以用除法表示它們的倍數關系。關于倍數關系，我們還有一種新的表示方法，那就是“比”。今天，我們一起來認識什么是“比”。

【評析】執教老師選取“國旗”這個素材作為教學載體，既富有愛國主義教育意義，又很自然地引出同類量和異類量兩種情形的“比”。

二、分層遞進，建立“比”的概念

（一）理解同類量的比，建立比與包含除的聯系

1.遷移學習，理解“比的倍數關系”

師：長是寬的幾倍，我們可以用“6÷4”表示。現在，我們還可以把長與寬的關系說成“長與寬的比是6比4”，寫成“6∶4”，“∶”是比號，這就好像除號抽掉了中間的一橫，比號要寫在兩個數的正中間。那么，“6∶4”表示什么意思呢？

生：長是寬的幾倍。

師：如果寬是長的幾分之幾，你能用比來表示嗎？

生：寬與長的比是4∶6。

師：請大家和老師一起來寫一寫。

師：“4∶6”是什么意思？

生：表示寬是長的幾分之幾。

師：“6∶4”和“4∶6”表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。

師：看來，“比”是有順序的，我們要按照敘述的順序來表示，前后的數字可不能顛倒。

【評析】學生學習同類量的比，是一個同化學習的過程，教師將“比”納入學生已知的“倍比關系”知識體系中，使“比的意義”與“包含除”二者建立起了聯系。

2.數形結合，體會“比能體現圖形的形狀大小”

師：小海和小珍為了給運動員加油，分別做了兩面旗子。（多媒體課件出示兩面旗子及其長與寬的比。）

長和寬的比是2∶1 長和寬的比是3∶2

師：誰來說一說“2∶1”“3∶2”分別表示什么意思？

生1：“2∶1”表示長是寬的2倍。

生2：“3∶2”表示長是寬的1.5倍。

師：觀察泳帽上的國旗和這兩面旗子的形狀以及長與寬的比，你有什么發現？

生3：泳帽上的國旗與②號旗一樣，長都是寬的1.5倍，看不出差別；而①號旗的長是寬的2倍，看上去顯得長一些。

生4：雖然泳帽上的國旗和②號旗的大小不一樣，但是它們的長和寬的倍數關系是一樣的。

師：看來大家都感受到了長與寬的比可以反映出長方形不同的形狀。

【評析】“比”源于度量。長與寬的比，不僅能夠反映物體可度量屬性（即長度）的可比性，還可以表征事物不可度量屬性的可比性，如形狀。執教老師借助直觀圖，引導學生初步感受“長與寬的比能夠確定圖形的形狀”，即長方形的長與寬的比也是一種“形狀比”，凸顯了比的本質。

（二）理解異類量的比

（多媒體播放運動員孫楊游400米大約用時4分鐘的視頻。）

師：你認為視頻中出現的兩個量能用比來表示嗎？為什么？先獨立思考，再與同桌交流。

生1：兩個量的單位名稱不一樣，不能用比來表示。

師：聽起來似乎有道理，我看到許多同學點頭了。誰有不同的意見？

生2：我認為兩個量可以用比來表示。400÷4，得到每分鐘游100米，400和4是相除關系，可以用“比”來表示。

師：這位同學提到了一個很關鍵的詞，誰聽懂了？

生3：相除，意思是400÷4也可以寫成400∶4。

師：你說對了。因為路程和時間是相除關系，所以路程和時間的關系也可以說成“路程和時間的比是400∶4”。

（三）抽象比的意義

師：觀察這兩個例子，說說它們有什么聯系與區別？（多媒體課件出示比的算式。）

生1：這些比都表示相除關系。

生2：前兩個比式中，兩個量都表示長度，即表示兩個長度的倍數關系。

生3：第三個比中的兩個量，一個表示路程，一個表示時間，它們相除得到速度。

生4：我發現兩個數相除可以寫成比的形式。

師：是的。兩個數的比表示兩個數相除，這就是“比的意義”。

【評析】在游泳情境中，學生理解了異類量“比”的內涵，而在兩個例子的對比中，學生進行求同思維，抽象出了“比的意義”，順利地從概念的引入走向概念的建立。

三、自主學習，理解“比”的知識

（一）自學比的相關知識

1.自學比的相關知識

師：自學教材里“做一做”這部分內容，思考問題：比各部分的名稱分別叫什么？怎樣求一個比的比值？

2.匯報交流

學生匯報比的各部分名稱，說明比值的意義。

3.比較比和比值

師：比和比值有什么區別？

生：比表示一種關系，而比值是一個數，通常用分數表示，也可以用小數或整數表示。

【評析】執教老師將學習的主動權交還給學生，引導學生在概括出比的意義的基礎上自主學習比的相關知識，促進了學生自主探究能力的發展。

（二）溝通比與舊知的聯系

師：請同學們思考以下幾個問題：比與除法、分數之間有什么聯系？比的前項、后項和比值分別相當于分數算式和除法算式中的什么？比的后項可以是0嗎？

學生填寫下表并進行交流。

師：請你嘗試用字母表示比和除法、分數之間的內在聯系。

板書：a∶b=a÷b=（b≠0）

師：根據分數與除法的關系，兩個數的比還可以寫成分數的形式，如6∶4可以寫成，讀作6比4。

【評析】在討論交流環節，執教老師引導學生進一步認識比和除法、分數之間的聯系與區別，體會數學知識的內在聯系。

四、放眼生活，深化“比”的概念

（一）辨析比賽中“比分”的含義

師：剛才大家說比的后項不能為0，但我們在很多比賽中常常看到2∶0的情況，這是怎么回事呢？這個比分是我們數學上講的比嗎？

生1：“2∶0”表示每個隊的得分是多少，是一種相差關系。

師：你善于利用比的意義分析問題，非常好！

生2：因為比的后項不能為0，所以比分不是比。

師：從后項的取值范圍分析問題，我們也能夠得出結論。現在，我們知道了比分雖然借用了比的書寫形式，但它不具備比的本質屬性，因此，它不是數學上所說的比。

（二）用比表示生活中兩種數量的關系

多媒體課件出示題目：下面每一組的兩個信息能用比來表示嗎？能的話請寫出比，并求出比值；不能的，請說明理由。

（1）在2012年倫敦奧林匹克運動會上，中國代表隊一共獲得88枚獎牌，德國代表隊一共獲得44枚獎牌。

（2）小敏買6本練習本，一共花了1.8元。

（3）小亮每分鐘打32個字，總共打了10分鐘。

生1：中國代表隊和德國代表隊的獎牌數的比是88∶44，比值是2。

生2：小敏花的錢和練習本的數量的比是1.8∶6，比值是0.3。

生3：第（2）（3）題中兩個量的單位名稱都不同，既然第（2）題可以寫成比的形式，那么第（3）題也可以寫成比的形式。

生4：我認為第（3）題不能寫成比。用每分鐘打的字數乘以時間可以得到總共打了多少個字，這兩個量是相乘關系，不是相除關系，而比表示的是兩個數相除，所以它們不能用比來表示。

師：同學們能夠緊扣比的意義中的關鍵詞進行判斷，分析得很到位。

【評析】深入理解數學概念需要用到適量的反面例子，執教老師列舉了兩個反面例子：比分和相乘關系的兩個量，讓學生進行比較、辨析，突出了比的本質屬性是相除關系，促進了學生對比的概念的理解。

（三）生活中的比

師：在生活中，比的應用十分廣泛。（播放視頻介紹黃金比、比例尺、正反比例。）

師：比“創造”了生活中的美，其實，比的價值遠不只于此，后面我們將會了解到更多比的價值。

【評析】從黃金比的美學價值到比例尺、正反比例等數學知識的逐步滲透，執教老師從知識整體性的角度出發，體現了新知識產生的必然性、發展性，達到了一種“言有盡而意無窮”的教學效果。

【總評】《比的意義》是人教版數學六年級上冊的內容。學生在學習這部分內容之前，已經掌握了除法的意義與商不變的性質、分數的意義與基本性質、分數與除法的關系等知識。在本課教學中，教師充分利用學生已有的知識和學習經驗，遵循概念學習的認知規律，幫助學生形成比的概念。

一、遵循認知發展規律，促進同化，建構比的概念

認知心理學家皮亞杰指出，同化與順應是兩種最重要的學習概念的形式。利用已有的數學認知結構對新的知識內容進行改造，使新內容納入到原有的數學認知結構中，這個過程就是同化。比的意義的學習就是一個同化學習的過程。教師從學生熟悉的生活事例出發，遵循兒童的認知發展規律，先學習“同類量”，再認識“異類量”，設計了“實例—感知—抽象—認知”的學習路徑，如在描述“長方形長與寬之間的關系”時，引入比的概念，建立比與包含除的聯系；在討論“路程與時間的關系”時，建立比與當量除的聯系，再次感知比的內涵。最后，在教師的啟發下，學生進行觀察、分析，比較同類量和異類量的比，歸納得出兩類比的共同屬性，抽象出比的概念。學生一旦將比的概念納入到“兩個數相除”的知識結構中，就完成了概念的同化學習。

二、感悟知識的內在聯系，自主學習，理解比的意義

學生要理解概念，必須密切聯系相關舊知，做到知識的融會貫通。教學時，執教老師為學生創設了自主探索、合作交流的學習氛圍，為學生搭建了思考的平臺，如在理解了比的意義的基礎上，讓學生自學比的各部分名稱，并進行交流、展示，最后通過獨立思考、小組交流等方式，理解比與除法、分數的聯系及區別。這一過程，落實了“讓學于生”的理念，學生在學習中參與知識的重構。

三、精心選取學習素材，運用反例，深化比的概念

在概念教學中，教師除了從正面揭示概念的內涵，還可以運用反例來突出概念的本質屬性，甚至可以通過對比正例與反例的差異，突出對概念本質屬性的理解。為了突出“比表示兩個數相除”這一本質屬性，教師精心選取了兩個反例。一是在學生確定了比的后項不能為0后，提出了“賽場上常常有2∶0這樣的比分是怎么回事”這一問題，引發學生的討論。通過辨析，學生明確了體育比賽中的比分表示的是相差關系，不是相除關系，并非數學中所說的比。二是對“小亮每分鐘打32個字，打了10分鐘”兩個數量的討論，圍繞這兩個量能否用比來表示，學生再次展開討論。正是這些反例，促使學生圍繞比的概念本質進行深入思考，也正因為深刻理解了比的本質屬性，學生的辨析才富有生命成長的氣息。

（注：本課例在廣西第十一屆小學數學課堂教學展評活動中榮獲一等獎。）

（責編 歐孔群）