《比的意義》教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

陳秋容 林慧慧

一、創(chuàng)設(shè)情境，引出“比”的概念

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

（多媒體播放運(yùn)動(dòng)員孫楊400米游泳比賽的視頻。）

師：在2012年倫敦奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上，孫楊的表現(xiàn)，讓世界泳壇感受到了中國(guó)游泳隊(duì)的力量。

（二）提出問題，討論關(guān)系

（多媒體課件出示印在泳帽上的國(guó)旗。）

師：孫楊戴的泳帽上印有一面國(guó)旗，國(guó)旗的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米。比較國(guó)旗的長(zhǎng)和寬，你能提出什么樣的數(shù)學(xué)問題？怎樣列式呢？

生1：長(zhǎng)比寬多幾厘米？列式是6-4。

生2：寬比長(zhǎng)少幾厘米？列式是6-4。

生3：長(zhǎng)是寬的幾倍？列式是6÷4。

生4：寬是長(zhǎng)的幾分之幾？列式是4÷6。

（三）引出概念，揭示課題

師：我們可以用減法表示長(zhǎng)與寬的相差關(guān)系，也可以用除法表示它們的倍數(shù)關(guān)系。關(guān)于倍數(shù)關(guān)系，我們還有一種新的表示方法，那就是“比”。今天，我們一起來認(rèn)識(shí)什么是“比”。

【評(píng)析】執(zhí)教老師選取“國(guó)旗”這個(gè)素材作為教學(xué)載體，既富有愛國(guó)主義教育意義，又很自然地引出同類量和異類量?jī)煞N情形的“比”。

二、分層遞進(jìn)，建立“比”的概念

（一）理解同類量的比，建立比與包含除的聯(lián)系

1.遷移學(xué)習(xí)，理解“比的倍數(shù)關(guān)系”

師：長(zhǎng)是寬的幾倍，我們可以用“6÷4”表示。現(xiàn)在，我們還可以把長(zhǎng)與寬的關(guān)系說成“長(zhǎng)與寬的比是6比4”，寫成“6∶4”，“∶”是比號(hào)，這就好像除號(hào)抽掉了中間的一橫，比號(hào)要寫在兩個(gè)數(shù)的正中間。那么，“6∶4”表示什么意思呢？

生：長(zhǎng)是寬的幾倍。

師：如果寬是長(zhǎng)的幾分之幾，你能用比來表示嗎？

生：寬與長(zhǎng)的比是4∶6。

師：請(qǐng)大家和老師一起來寫一寫。

師：“4∶6”是什么意思？

生：表示寬是長(zhǎng)的幾分之幾。

師：“6∶4”和“4∶6”表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。

師：看來，“比”是有順序的，我們要按照敘述的順序來表示，前后的數(shù)字可不能顛倒。

【評(píng)析】學(xué)生學(xué)習(xí)同類量的比，是一個(gè)同化學(xué)習(xí)的過程，教師將“比”納入學(xué)生已知的“倍比關(guān)系”知識(shí)體系中，使“比的意義”與“包含除”二者建立起了聯(lián)系。

2.數(shù)形結(jié)合，體會(huì)“比能體現(xiàn)圖形的形狀大小”

師：小海和小珍為了給運(yùn)動(dòng)員加油，分別做了兩面旗子。（多媒體課件出示兩面旗子及其長(zhǎng)與寬的比。）

長(zhǎng)和寬的比是2∶1 長(zhǎng)和寬的比是3∶2

師：誰來說一說“2∶1”“3∶2”分別表示什么意思？

生1：“2∶1”表示長(zhǎng)是寬的2倍。

生2：“3∶2”表示長(zhǎng)是寬的1.5倍。

師：觀察泳帽上的國(guó)旗和這兩面旗子的形狀以及長(zhǎng)與寬的比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：泳帽上的國(guó)旗與②號(hào)旗一樣，長(zhǎng)都是寬的1.5倍，看不出差別；而①號(hào)旗的長(zhǎng)是寬的2倍，看上去顯得長(zhǎng)一些。

生4：雖然泳帽上的國(guó)旗和②號(hào)旗的大小不一樣，但是它們的長(zhǎng)和寬的倍數(shù)關(guān)系是一樣的。

師：看來大家都感受到了長(zhǎng)與寬的比可以反映出長(zhǎng)方形不同的形狀。

【評(píng)析】“比”源于度量。長(zhǎng)與寬的比，不僅能夠反映物體可度量屬性（即長(zhǎng)度）的可比性，還可以表征事物不可度量屬性的可比性，如形狀。執(zhí)教老師借助直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生初步感受“長(zhǎng)與寬的比能夠確定圖形的形狀”，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比也是一種“形狀比”，凸顯了比的本質(zhì)。

（二）理解異類量的比

（多媒體播放運(yùn)動(dòng)員孫楊游400米大約用時(shí)4分鐘的視頻。）

師：你認(rèn)為視頻中出現(xiàn)的兩個(gè)量能用比來表示嗎？為什么？先獨(dú)立思考，再與同桌交流。

生1：兩個(gè)量的單位名稱不一樣，不能用比來表示。

師：聽起來似乎有道理，我看到許多同學(xué)點(diǎn)頭了。誰有不同的意見？

生2：我認(rèn)為兩個(gè)量可以用比來表示。400÷4，得到每分鐘游100米，400和4是相除關(guān)系，可以用“比”來表示。

師：這位同學(xué)提到了一個(gè)很關(guān)鍵的詞，誰聽懂了？

生3：相除，意思是400÷4也可以寫成400∶4。

師：你說對(duì)了。因?yàn)槁烦毯蜁r(shí)間是相除關(guān)系，所以路程和時(shí)間的關(guān)系也可以說成“路程和時(shí)間的比是400∶4”。

（三）抽象比的意義

師：觀察這兩個(gè)例子，說說它們有什么聯(lián)系與區(qū)別？（多媒體課件出示比的算式。）

生1：這些比都表示相除關(guān)系。

生2：前兩個(gè)比式中，兩個(gè)量都表示長(zhǎng)度，即表示兩個(gè)長(zhǎng)度的倍數(shù)關(guān)系。

生3：第三個(gè)比中的兩個(gè)量，一個(gè)表示路程，一個(gè)表示時(shí)間，它們相除得到速度。

生4：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)相除可以寫成比的形式。

師：是的。兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除，這就是“比的意義”。

【評(píng)析】在游泳情境中，學(xué)生理解了異類量“比”的內(nèi)涵，而在兩個(gè)例子的對(duì)比中，學(xué)生進(jìn)行求同思維，抽象出了“比的意義”，順利地從概念的引入走向概念的建立。

三、自主學(xué)習(xí)，理解“比”的知識(shí)

（一）自學(xué)比的相關(guān)知識(shí)

1.自學(xué)比的相關(guān)知識(shí)

師：自學(xué)教材里“做一做”這部分內(nèi)容，思考問題：比各部分的名稱分別叫什么？怎樣求一個(gè)比的比值？

2.匯報(bào)交流

學(xué)生匯報(bào)比的各部分名稱，說明比值的意義。

3.比較比和比值

師：比和比值有什么區(qū)別？

生：比表示一種關(guān)系，而比值是一個(gè)數(shù)，通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示。

【評(píng)析】執(zhí)教老師將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生在概括出比的意義的基礎(chǔ)上自主學(xué)習(xí)比的相關(guān)知識(shí)，促進(jìn)了學(xué)生自主探究能力的發(fā)展。

（二）溝通比與舊知的聯(lián)系

師：請(qǐng)同學(xué)們思考以下幾個(gè)問題：比與除法、分?jǐn)?shù)之間有什么聯(lián)系？比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值分別相當(dāng)于分?jǐn)?shù)算式和除法算式中的什么？比的后項(xiàng)可以是0嗎？

學(xué)生填寫下表并進(jìn)行交流。

師：請(qǐng)你嘗試用字母表示比和除法、分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

板書：a∶b=a÷b=（b≠0）

師：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，兩個(gè)數(shù)的比還可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，如6∶4可以寫成，讀作6比4。

【評(píng)析】在討論交流環(huán)節(jié)，執(zhí)教老師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)比和除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

四、放眼生活，深化“比”的概念

（一）辨析比賽中“比分”的含義

師：剛才大家說比的后項(xiàng)不能為0，但我們?cè)诤芏啾荣愔谐３？吹?∶0的情況，這是怎么回事呢？這個(gè)比分是我們數(shù)學(xué)上講的比嗎？

生1：“2∶0”表示每個(gè)隊(duì)的得分是多少，是一種相差關(guān)系。

師：你善于利用比的意義分析問題，非常好！

生2：因?yàn)楸鹊暮箜?xiàng)不能為0，所以比分不是比。

師：從后項(xiàng)的取值范圍分析問題，我們也能夠得出結(jié)論。現(xiàn)在，我們知道了比分雖然借用了比的書寫形式，但它不具備比的本質(zhì)屬性，因此，它不是數(shù)學(xué)上所說的比。

（二）用比表示生活中兩種數(shù)量的關(guān)系

多媒體課件出示題目：下面每一組的兩個(gè)信息能用比來表示嗎？能的話請(qǐng)寫出比，并求出比值；不能的，請(qǐng)說明理由。

（1）在2012年倫敦奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上，中國(guó)代表隊(duì)一共獲得88枚獎(jiǎng)牌，德國(guó)代表隊(duì)一共獲得44枚獎(jiǎng)牌。

（2）小敏買6本練習(xí)本，一共花了1.8元。

（3）小亮每分鐘打32個(gè)字，總共打了10分鐘。

生1：中國(guó)代表隊(duì)和德國(guó)代表隊(duì)的獎(jiǎng)牌數(shù)的比是88∶44，比值是2。

生2：小敏花的錢和練習(xí)本的數(shù)量的比是1.8∶6，比值是0.3。

生3：第（2）（3）題中兩個(gè)量的單位名稱都不同，既然第（2）題可以寫成比的形式，那么第（3）題也可以寫成比的形式。

生4：我認(rèn)為第（3）題不能寫成比。用每分鐘打的字?jǐn)?shù)乘以時(shí)間可以得到總共打了多少個(gè)字，這兩個(gè)量是相乘關(guān)系，不是相除關(guān)系，而比表示的是兩個(gè)數(shù)相除，所以它們不能用比來表示。

師：同學(xué)們能夠緊扣比的意義中的關(guān)鍵詞進(jìn)行判斷，分析得很到位。

【評(píng)析】深入理解數(shù)學(xué)概念需要用到適量的反面例子，執(zhí)教老師列舉了兩個(gè)反面例子：比分和相乘關(guān)系的兩個(gè)量，讓學(xué)生進(jìn)行比較、辨析，突出了比的本質(zhì)屬性是相除關(guān)系，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)比的概念的理解。

（三）生活中的比

師：在生活中，比的應(yīng)用十分廣泛。（播放視頻介紹黃金比、比例尺、正反比例。）

師：比“創(chuàng)造”了生活中的美，其實(shí)，比的價(jià)值遠(yuǎn)不只于此，后面我們將會(huì)了解到更多比的價(jià)值。

【評(píng)析】從黃金比的美學(xué)價(jià)值到比例尺、正反比例等數(shù)學(xué)知識(shí)的逐步滲透，執(zhí)教老師從知識(shí)整體性的角度出發(fā)，體現(xiàn)了新知識(shí)產(chǎn)生的必然性、發(fā)展性，達(dá)到了一種“言有盡而意無窮”的教學(xué)效果。

【總評(píng)】《比的意義》是人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容。學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，已經(jīng)掌握了除法的意義與商不變的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的意義與基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系等知識(shí)。在本課教學(xué)中，教師充分利用學(xué)生已有的知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，遵循概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律，幫助學(xué)生形成比的概念。

一、遵循認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，促進(jìn)同化，建構(gòu)比的概念

認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰指出，同化與順應(yīng)是兩種最重要的學(xué)習(xí)概念的形式。利用已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行改造，使新內(nèi)容納入到原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，這個(gè)過程就是同化。比的意義的學(xué)習(xí)就是一個(gè)同化學(xué)習(xí)的過程。教師從學(xué)生熟悉的生活事例出發(fā)，遵循兒童的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，先學(xué)習(xí)“同類量”，再認(rèn)識(shí)“異類量”，設(shè)計(jì)了“實(shí)例—感知—抽象—認(rèn)知”的學(xué)習(xí)路徑，如在描述“長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬之間的關(guān)系”時(shí)，引入比的概念，建立比與包含除的聯(lián)系；在討論“路程與時(shí)間的關(guān)系”時(shí)，建立比與當(dāng)量除的聯(lián)系，再次感知比的內(nèi)涵。最后，在教師的啟發(fā)下，學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，比較同類量和異類量的比，歸納得出兩類比的共同屬性，抽象出比的概念。學(xué)生一旦將比的概念納入到“兩個(gè)數(shù)相除”的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，就完成了概念的同化學(xué)習(xí)。

二、感悟知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，自主學(xué)習(xí)，理解比的意義

學(xué)生要理解概念，必須密切聯(lián)系相關(guān)舊知，做到知識(shí)的融會(huì)貫通。教學(xué)時(shí)，執(zhí)教老師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)氛圍，為學(xué)生搭建了思考的平臺(tái)，如在理解了比的意義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自學(xué)比的各部分名稱，并進(jìn)行交流、展示，最后通過獨(dú)立思考、小組交流等方式，理解比與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系及區(qū)別。這一過程，落實(shí)了“讓學(xué)于生”的理念，學(xué)生在學(xué)習(xí)中參與知識(shí)的重構(gòu)。

三、精心選取學(xué)習(xí)素材，運(yùn)用反例，深化比的概念

在概念教學(xué)中，教師除了從正面揭示概念的內(nèi)涵，還可以運(yùn)用反例來突出概念的本質(zhì)屬性，甚至可以通過對(duì)比正例與反例的差異，突出對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解。為了突出“比表示兩個(gè)數(shù)相除”這一本質(zhì)屬性，教師精心選取了兩個(gè)反例。一是在學(xué)生確定了比的后項(xiàng)不能為0后，提出了“賽場(chǎng)上常常有2∶0這樣的比分是怎么回事”這一問題，引發(fā)學(xué)生的討論。通過辨析，學(xué)生明確了體育比賽中的比分表示的是相差關(guān)系，不是相除關(guān)系，并非數(shù)學(xué)中所說的比。二是對(duì)“小亮每分鐘打32個(gè)字，打了10分鐘”兩個(gè)數(shù)量的討論，圍繞這兩個(gè)量能否用比來表示，學(xué)生再次展開討論。正是這些反例，促使學(xué)生圍繞比的概念本質(zhì)進(jìn)行深入思考，也正因?yàn)樯羁汤斫饬吮鹊谋举|(zhì)屬性，學(xué)生的辨析才富有生命成長(zhǎng)的氣息。

（注：本課例在廣西第十一屆小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)展評(píng)活動(dòng)中榮獲一等獎(jiǎng)。）

（責(zé)編 歐孔群）