包含廣義Fibonacci數列倒數積的恒等式

吳振剛

(西北大學 數學學院, 陜西 西安　710127)

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【數理科學·數論專欄研究】

包含廣義Fibonacci數列倒數積的恒等式

吳振剛

(西北大學 數學學院, 陜西 西安710127)

Fibonacci數列; 不等式; 倒數積; 恒等式; 取整函數

但是想要計算出s取奇數時的精確值是相當困難的,對此類問題的研究主要是判斷其是否為無理數。1978年,法國數學家RogerApery證明了ζ(3)是無理數。2000年,TanguyRivoal證明了存在無限多個ζ(2n+1)均為無理數。2001年,WadimZudilin證明了ζ(3)，ζ(5)，ζ(7)，ζ(9)和ζ(11)中至少有一個為無理數。

對RiemannZeta函數作一替換可得到Fibonaccizeta函數與Lucaszeta函數

其中Fn與Ln表示Fibonacci數列及Lucas數列。為了研究ζF(s)和ζL(s)的均值問題,2008年,Ohtsuka和Nakamura[4]得到了關于Fibonacci數列倒數的無窮和的取整公式:

近年來,多位學者對上式進行了多種形式的推廣,例如吳振剛[5]將Fibonacci數列推廣為m階線性遞推序列;徐哲峰[6]將倒數和的次數推廣為3次。

2016年,林馨[7]將倒數和取整問題中的線性遞推序列換為正整數序列,給出了RiemannZeta-函數中s取2和3時的取整公式:

定理1對任意整數n≥2及m≥1,

定理2對任意整數n≥2,

1　若干引理

引理1對任意整數n≥2及m≥1,

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

證 明我們只證明式(1)和式(3),其他等式可采用類似的方法得到。首先證明式(1),注意到關于廣義Fibonacci數列和廣義Lucas數列的恒等式:

LmLn=Lm+n+(-1)nLm-n,

FmLn=Fm+n+(-1)nFm-n=

Fm+n-(-1)nFn-m。

對任意整數n≥2及m≥1,有

(Fmn-1)(Fmn-Fmn-m)(Fmn+m-Fmn-1)-

Fmn(Fmn+m-Fmn)(Fmn-Fmn-m-1)=

Fmn+Fmn-mFmn+m-Fmn-mFmn-

Fmn-Fmn-m≥Fmn-Fmn-m-

(αmn-αmn-m-α2m-βmn+βmn-m-β2m)=

(-1)mn+(-1)mn-mαm-αmn-2m)>0。

式(1)證畢。對任意整數m≥1及偶數n≥2,式(3)等價于

當n為偶數且n≥2時,上式顯然成立，式(3)證畢。

引理2對任意整數n≥1,

(7)

(8)

證 明 式(7)等價于

n3((n+1)2+n2)(n2+(n-1)2-1)≤

(n3-1)(n2+(n-1)2)((n+1)2+n2-1),

n3(n+1)2-n3(n-1)2-n2(n+1)2-

n4+n2-(n-1)2(n+1)2-

n2(n-1)2+(n-1)2≥0,

即為n2-n≥0,對任意整數n≥1顯然成立。

式(8)等價于

n3((n+1)2+n2+1)(n2+(n-1)2)>

(n3-1)(n2+(n-1)2+1)((n+1)2+n2),

n3((n-1)2-(n+1)2)+(2n2+1+

2n)(2n2+1-2n)>0,

對任意整數n≥1顯然成立。

2　定理的證明

定理1問題1)的證明根據式(1)可知

根據式(2)可知

因此

故有

定理1問題1)證畢。

定理1問題2)的證明當n為偶數時,根據式(3)可知

根據式(4)可知

因此

故有當n為偶數時,

利用同樣的方法可得到，當n為奇數時,

定理1問題2)證畢。

定理2問題1)的證明對任意整數n≥1,

定理2問題2)的證明對任意整數n≥1,根據式(7)，可知

根據式(8)，可知

因此

故有

定理2問題2)證畢。

[1]APOSTOL T M. Introduction to Analytic Number Theory, Springer[M].New York：Springer-Verlag,1976.

[2]IVIC A.The Riemann Zeta-function, Wiley[M].New York: Springer-Verlag,1985.

[3]FERGUSSON R P. An application of Stieltjes integration to the power series coefficients of the Riemann zeta-function[J].American Mathematical Monthly, 1963, 70:60-61.

[4]OHTSUKA H, NAKAMURA S. On the sum of reciprocal Fibonacci numbers[J].The Fibonacci Quarterly, 2008/2009, 46/47:153-159.

[5]WU Z, ZHANG H. On the reciprocal sums of higher-order sequences[J].Advances in Difference Equations, 2013, Article ID 189.

[6]XU Z, WANG T. The infinite sum of the cubes of reciprocal Pell numbers[J].Advances in Difference Equations, 2013, Article ID 184.

[7]LIN X. Some identities related to Riemann Zeta-function[J].Journal of Inequalities and Applications, 2016, Article ID 32.

(編輯亢小玉)

SeveralidentitiesrelatingtoreciprocalproductsofgeneralizedFibonaccinumbers

WUZhen-gang

(SchoolofMathematics,NorthwestUniversity，Xi′an710127，China)

Fibonaccinumbers;inequality;reciprocalproducts;identity;floorfunction

2016-03-11

國家自然科學基金資助項目(11371291)；陜西省自然科學基礎研究計劃基金資助項目(2016JQ1041)；陜西省教育廳基金資助項目(15JK1744)

吳振剛,男，陜西漢中人,博士,從事數論及其應用研究。

O156.4

ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-002