關于一類特殊二次高斯和的四次均值

任剛練

(咸陽師范學院 數學與信息科學學院, 陜西 咸陽　712000)

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【數理科學·數論專欄研究】

關于一類特殊二次高斯和的四次均值

任剛練

(咸陽師范學院 數學與信息科學學院, 陜西 咸陽712000)

該文利用解析方法及三角和的性質，研究了一類特殊二次高斯和的四次均值的計算問題,并得到了一個精確計算公式。

特殊二次高斯和;四次均值; 解析方法;計算公式

設q≥3是一個正整數,對于任意的整數m,經典二次高斯和G(m,χ;q)定義為:

其中,e(y)=e2πiy,χ是模q的Dirichlet特征。

很多學者都對G(m,χ;q)的性質進行過研究，并且得到了一系列重要結果[1-7]。例如,G.I.Perel′muter[5]證明了下面的結論:設p是奇素數,R1(x)和R2(x)是模p的有理函數,χ是模p的任意非主特征,并且滿足χ(R1(a))和χ(R2(a))中至少有一個不為常數。那么有估計式

T.Cochrane和鄭志勇[2]得到了

這里,w(q)表示q的所有不同素因子的個數。

張文鵬和韓迪[8]研究了二項指數和的六次均值問題,證明了

對任意的素數p>3且(3,p-1)=1,有

另一方面,如果q=p是奇素數,A.Weil(參閱D.A.Burgess[1])得到了下面的重要結論:

設χ是模p的q階特征,如果f(x)不是模p的完全q次方,那么有估計

和

(1)

這里,A?B表示存在某一常數c，使得|A|

當然，式(1)中的估計是最好的。事實上,張文鵬和易媛[6]找到了形如f(x)=(x-r)m(x-s)n的多項式,使得

這里,(r-s,q)=1,m,n和χ滿足一些特殊條件。

本文考慮一類特殊二次高斯和的2k次均值

(2)

這里,p是奇素數,k≥2,m和n是整數,且(m,p)=1。

我們考慮式(2)是否存在一個精確的計算公式或漸近公式?對于這一問題,至今似乎沒有人研究過,至少現在我們還沒有見過相關結論。由于該問題和經典二次高斯和有密切的聯系,因此對該問題進行研究是非常有意義的。本文利用解析方法及三角和的性質研究了式(2)的計算問題,并得到了當k=2時式(2)的一個精確計算公式。具體地說,我們證明了下面的結論。

定 理設p是奇素數,那么對模p的任意非主特征χ,m,n為整數,且(m,p)=1，有

對于模p的任意非主特征χ,設誤差項E(χ,p)為

p2(2p-3)。

那么,由定理我們可得到下面兩個推論。

推論1設p是奇素數,那么對模p的任意非主特征χ，有估計

E(χ,p)=O(p2)

或漸近式

2p3+O(p2)。

推論2設p是奇素數,那么，有恒等式

對任意整數k>2,式(2)是否存在精確的計算公式或漸近公式?

對一般的整數q>2,四次均值

是否存在一個精確的計算公式或漸近公式?這兩個問題仍然是沒有解決的公開問題,我們今后將繼續研究。

1　若干引理

這一部分,我們將給出證明定理所需要的幾個引理。以下,我們將會用到三角和及模p簡化剩余系的性質,這些知識可參閱文獻[9],所以這里不再贅述。首先,有

引理1設p是奇素數,χ是模p的任意非主特征,那么有恒等式

證 明因為1≤a≤p-1,有(a,p)=1,若c通過模p的簡化剩余系,那么,ca也通過模p的簡化剩余系。由此及模p特征的性質,有

(3)

2p-3。

這就證明了引理1。

引理2設p是奇素數,χ是模p的任意非主特征,那么有恒等式

證 明利用證明引理1的方法,模p簡化剩余系的性質，有

(p-1)(χ(1)+χ(p-1))+

(4)

如果χ是模p的奇特征(也就是說, χ(-1)=-1),那么,有1+χ(-1)=1-1=0和

因此，由式(4)有

(5)

如果χ是模p的非主偶特征,那么1+χ(-1)=2。因此，由式(4)有

(6)

結合式(5)和式(6),立刻得到恒等式

這就證明了引理2。

引理3[4]設p是奇素數,χ1,χ2,…,χr是模p的Dirichlet特征,且χ1,χ2,…,χr中至少有一個是模p的非主特征,設f(x)∈Fp[X]是次數為d的任意多項式。那么對于成對不同的a1,a2,…,ar∈Fp，有估計

2　定理的證明

這一節,我們將完成定理的證明。注意到三角恒等式

有

(7)

如果χ(-1)=-1,那么由式(7),引理1和引理2，有

(8)

如果χ(-1)=1,那么由式(7),引理1，2，有

(9)

結合式(8)和式(9),可立刻得恒等式

現在,證明推論1。顯然,只需證明估計

(10)

事實上,如果χ(-1)=-1,那么,容易證明

(11)

如果χ是模p的非主特征且χ(-1)=1,那么存在模p的特征χ1,使得χ=χ12。此時,由引理3，有

(12)

結合式(11)和式(12),可立刻推出式(10)。這就證明了推論1。

為了證明推論2,首先,我們注意到

(此公式可參閱文獻[10]第7.8節,定理8.2),由式(11),定理和模p特征的正交性，有

-2p2(p-3)-p(p-1)(p-3)+

這就證明了推論2。

[1]BURGESS D A.On Dirichlet characters of polynomials [J]. Proceeding of the London Mathematical Society, 1963, 13(1): 537-548.

[2]COCHRANE T, ZHENG Z. Bounds for certain exponential sums [J]. The Asian Journal of Mathematics, 2000, 4(4): 757-774.

[3]GRANVILLE A, SOUNDARARAJAN K. Large character sums: Pretentious characters and the Pólya-Vinogradov theorem [J]. Journal of the American Mathematical Society, 2007, 20(2): 357-384.

[4]BOURGAIN J,GARAEV M Z, KONYAGIN S V,et al. On the hidden shifted power problem [J]. SIAM Journal on Computing, 2012, 41(6): 1524-1557.

[5]PEREL′MUTER G I. Evalution of a sum containing primes [J]. Soviet Mathematics-Doklady, 1962, 3: 663-667.

[6]ZHANG W P, YI Y. On Dirichlet characters of polynomials [J]. Bulletin of the London Mathematical Society, 2002, 34(3): 469-473.

[7]WEIL A. On some exponential sums [J]. Proceedings of the National Academy of Sciencs of the United States of America, 1948, 34(5): 204-207.

[8]ZHANG W P, HAN D.On the sixth power mean of the two-term exponential sums [J]. Journal of Number Theory, 2014,136: 403-413.

[9]APOSTOL T M. Introduction to Analytic Number Theory [M]. New York: Springer-Verlag, 1976.

[10] HUA L K. Introduction to number theory [M]. Beijing: Science Press, 1979.

(編輯亢小玉)

On the fourth power mean of one kind special quadratic Gauss sums

REN Gang-lian

(College of Mathematics and Information Science, Xianyang Normal University, Xianyang 712000， China)

The main purpose of this paper is using the analytic methods and the properties of trigonometric sums to study the computational problem of the fourth power mean of one kind special quadratic Gauss sums, and giving an exact computational formula for it.

special quadratic Gauss sums; fourth power mean; analytic method; computational formula

2016-03-11

國家自然科學基金資助項目(11371291);陜西省教育廳科研專項基金資助項目(15JK1794);咸陽師范學院科研專項基金資助項目(09XSYK104)

任剛練，男，陜西乾縣人，咸陽師范學院副教授,博士,從事基礎數學的教學與研究。

O156.4

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-003