關于奇完全數素因數的指標

權雙燕

(陜西理工大學 數學與計算機科學學院, 陜西 漢中　723000)

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【數理科學·數論專欄研究】

關于奇完全數素因數的指標

權雙燕

(陜西理工大學 數學與計算機科學學院, 陜西 漢中723000)

對于正整數a, 設δ(a)是a的所有約數之和。如果正整數n滿足δ(n)=2n,則稱n是完全數。設n是奇完全數,p是n的素因數,r是p在n的標準分解式中的次數。此時,I(p)=δ(n/pr)/pr稱為奇完全數n的素因數p的指標。設q是奇素數,s是正整數。文中運用初等數論方法證明了:如果I(p)=qs,則s是適合s≥22的偶數。

奇完全數;素因數;指標

1　預備知識

設N是全體正整數的集合。對于正整數a,設δ(a)是a的所有約數之和。如果正整數n滿足

δ(n)=2n,

(1)

則稱n是完全數。由于奇完全數的存在性是數論中長期未能解決的著名難題,所以有關奇完全數的性質一直是引人關注的研究課題[1]。

設n是奇完全數。已知n的標準分解式必為以下形式

n=παp12β1…pk2βk。

(2)

其中π,p1,…,pk是不同的奇素數,α,β1,…,βk是正整數,而且π≡α≡1(mod 4)。這里的π稱為奇完全數n的Euler因子。設p是奇完全數n的素因數,r是p在n的標準分解式中的次數。此時

(3)

由于δ(a)是積性函數[2],所以從式(1)和式(3)可得

(4)

(5)

2008年,J. A. B. Dris[3]首先將I(p)稱為奇完全數n的素因數p的指標,并且證明了I(p)≥3。此后,文獻[4-7]分別給出了I(p)較好的下界。

設q是奇素數,s是正整數。2012年,陳鳳娟和陳永高[5]證明了:如果I(p)可表成

I(p)=qs,

(6)

則必有s≥5。最近,付瑞琴和楊海[8]證明了:如果I(p)滿足式(6),則s必為適合s≥8的偶數。本文根據高次Diophantine方程的經典結果,運用初等數論方法進一步證明了以下結果:

定 理如果I(p)滿足式(6),則s必為適合s≥22的偶數。

2　定理的證明

首先引入兩個有關奇完全數和高次Diophantine方程的已知結果:

引理1[9]奇完全數n的標準分解式(2)中的k適合k≥9。

引理2[10]方程

僅有解(X,Y,m)=(3,11,5)和(7,20,4)。

從文獻[8]中定理的證明過程可知:如果I(p)滿足式(6),則必有

p=π,r=α=1,q=pk,s=2βk,

(7)

其中π是奇完全數n的Euler因子,pk和2βk分別是n的標準分解式(2)中的某個不等于π的素因數及其次數;而且

π+1=2p12β1…pk-12βk-1,

(8)

(9)

(10)

γ1+…+γk-1=2βk。

(11)

根據上述結果可得以下兩個引理。

引理3 式(10)中γi(i=1,…,k-1)都是奇數。

證 明如果式(10)中的某個γj(1≤j≤k-1)是偶數,則從引理2可知

pj=3,βj=2,pk=11,γj=2。

(12)

于是,從式(8)和式(12)可得

(13)

同時,因為pk=11,所以從式(9)可知

1(mod3),

(14)

與式(13)矛盾。由此可知式(10)中的γi(i=1,…,k-1)都是奇數。

引理4如果γj=1(1≤j≤k-1),則βk+1≡0(modpj)。

證 明如果γj=1,則從式(10)可知

所以

pk≡1(modpj)。

(15)

又從式(9)和式(15)可得

2βk+1(modpj)。

(16)

另外,從式(8)可知

π≡-1(modpj)。

(17)

結合式(16)和式(17)可得2βk+2≡0(modpj);又因pj是奇素數,故有βk+1≡0(modpj)。

定理的證明現假定I(p)滿足式(6)。已知此時式(7)～(11)成立。

如果γ1,…,γk-1中至少有兩個數,設為γj1和γj2(1≤j1

βk+1≡0(modpj1),βk+1≡0(modpj2)。

(18)

因為pj1和pj2是不同的奇素數,所以gcd(pj1,pj2)=1,故從式(18)可得

βk+1≡0(modpj1pj2)。由此可知

βk+1≥pj1pj2≥3×5=15。

(19)

因此,βk≥14,并且從式(7)中最后一個等式可知此時s≥28。

如果γ1,…,γk-1中至多有一個數等于1,則因從引理3可知γ1,…,γk-1都是奇數,所以從式(7)和式(11)可得

s=2βk=γ1+…+γk-1≥1+3(k-2)。

(20)

又因從引理1可知k≥9,故從式(20)可知s≥22。綜上所述即得本定理。

[1]GUYRK.UnsolvedProblemsinNumberTheory,thirdedition[M].Beijing:SciencePress, 2007.

[2]華羅庚.數論導引 [M].北京:科學出版社,1979.

[3]DRISJAB.Solvedtheoddperfectnumberproblem:someoldandnewapproaches[D].DeLaSalleUniversity, 2008.

[4]DRISJAB,LUCAF.Anoteonoddperfectnumbers[EB/OL].ArXiv: 1103.1437v3 [math.NT], 2012.

[5]CHENFJ,CHENYG.Onoddperfectnumbers[J].BulletinoftheAustralianMathematicalSoc, 2012, 86(3):510-514.

[6]BROUGHANKA,DELBOURGOD,ZHOUQZ.ImprovingtheChenandChenresultforoddperfectnumbers[J].Integers, 2013,13(A39): 1-8.

[7]CHENFJ,CHENYG.Ontheindexofanoddperfectnumber[J].ColloqMath, 2014, 136(1):41-49.

[8]付瑞琴，楊海.奇完全數素因數的一個性質 [J].西北大學學報(自然科學版),2015,45(1): 14-16.

[9]NIELSONPP.Oddperfectnumbers,diophantineequations,andupperbounds[J].MathComp, 2015, 84(295): 2549-2567.

(編輯亢小玉)

On the index of prime divisors of odd perfect numbers

QUAN Shuang-yan

(School of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000，China)

For any positive integera, Letδ(a) denote the sum of all divisors ofa. A positive integernis called a perfect number ifδ(n)=2n. Letnbe an odd perfect number, further letpbe a prime divisor ofnandrbe the degree ofpin the factorization ofn. Then,I(p)=δ(n/pr)/pris called the index of prime divisorpof odd perfect numbern. Letqbe an odd prime andsbe a positive integer. By some elementary number theory methods, it is proved that ifI(p)=qs, thensis an even integer withs≥22.

odd perfect number; prime divisor; index

2016-03-11

國家自然科學基金項目(11371291)；陜西省自然科學基金資助項目(2016JQ1041)

權雙燕，女，陜西西安人，西北大學數學學院訪問學者，從事基礎數學的教學與研究。

O156.2

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-004