DTM-Adomian-pade求解非線性分數(shù)階微分方程

劉春鳳，張　滑

(華北理工大學 理學院，河北 唐山　063000)

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·數(shù)理科學·

DTM-Adomian-pade求解非線性分數(shù)階微分方程

劉春鳳，張滑

(華北理工大學 理學院，河北 唐山063000)

為求解R-L定義下的分數(shù)階非線性微分方程近似解析解,將Adomian多項式、Padé逼近法與R-L微分變換法相結合,提出改進的廣義微分變換法。利用Adomian多項式代替方程中的非線性部分,對方程進行廣義微分變換法求出其級數(shù)解,運用Pade法對其級數(shù)解進行逼近。改進的微分變換法不僅計算簡單,具有較小的計算量,而且擴大了級數(shù)解得收斂范圍,具有較高的精度。最后給出數(shù)值算例,驗證了算法的有效性,為計算R-L分數(shù)階非線性微分方程提出新的計算格式。

R-L微分變換法;非線性分數(shù)階微分方程;Adomian多項式;Padé逼近

分數(shù)階理論是研究任意階次微積分算子的特性及應用的數(shù)學理論。近幾十年來,分數(shù)階理論在國內(nèi)外已經(jīng)成為一個研究熱點,一些科學家已成功將其應用到混沌系統(tǒng)、電磁學、信號處理、黏彈性和遺傳性力學、機械工程和機器人控制等方面。研究分數(shù)階方程的解是非常必要的,尤其是非線性問題的分數(shù)維方程,而微分變換法為求解分數(shù)階微積分方程的解析解提供了新的數(shù)學工具。微分變換法(DTM)最初是由我國學者趙家奎[1]提出的,用于求解電路問題中的微分方程,微分變換法計算量小、精度高,這個方法逐漸被應用到了線性和非線性微積分方程。Ayaz[2]在此基礎上推導出了二元函數(shù)的微分變換,并將其應用于求解二維偏微分方程的初值問題;Lal[3]等利用此方法分析了力學中自由振動和屈曲的積分方程;Abdulkawi[4]利用微分變換法求解奇異積分方程的初值問題,并得到了很好的結果;Arikoglu和Ozkol[5]在微分變換方法的基礎上,建立了求解Caputo導數(shù)定義下的分數(shù)階微分方程的廣義微分變換法(FDTM),并將其推廣應用于求解積分方程和分數(shù)階微積分方程問題;Vineet[6]等利用FDTM求解了二維和三維的分數(shù)階電報方程,為求解復雜的分數(shù)維方程提供了一個良好的工具;Corporation[7]把廣義微分變換法應用到求解分數(shù)階混沌系統(tǒng),并和龍格庫塔法進行了比較,驗證了廣義微分變化法的有效性;Matteo[8]把廣義微分變換法應用到了分數(shù)維方程的邊值問題;Abuteen[9]等利用廣義微分變化法求解分數(shù)階Bloch系統(tǒng)。

目前,對Caputo分數(shù)階導數(shù)定義下的廣義微分變換法已經(jīng)逐漸地被應用到分數(shù)維微分方程和積分方程求解中,并得到了很好的結果,而對R-L導數(shù)定義下的廣義微分變換法研究甚少,本文將Adomian多項式、Pade 逼近法與R-L定義下的微分變換法相結合,提出一種改進的微分變換法。

1　預備知識

(1)

定義2Caputo分數(shù)階導數(shù)定義

(2)

分數(shù)階導數(shù)的主要性質(zhì)

(3)

(4)

(5)

2　R-L微分變換法

f(x)=[(x-a)1-αf(x)](a+)(x-a)α-1+

(6)

則式(6)是R-L導數(shù)的廣義Taylor公式。

根據(jù)引理1,設函數(shù)f(x)對變量x的k階導數(shù)存在,定義f(x)關于x的k階導數(shù)在點x0處的R-L廣義微分變換形式為

(7)

通過微分變換法將f(x)近似表示成如下形式:

(8)

函數(shù)的微分變換具有如下基本運算法則:

文獻[12]僅討論了分數(shù)階導數(shù)在0<α<1的微分變換,本文在此基礎上把R-L廣義微分變換法推廣到一般形式。

證 明根據(jù)定義

Fα(k)=

表1　微分變化法的運算

3　改進的微分變換法

微分變換法求解非線性分數(shù)階微分方程的關鍵在于非線性項的處理,利用Adomian多項式去等價代換方程的非線性項，減少了計算量，但是所得級數(shù)解一般只能在其自變量的初值點附近的子區(qū)間內(nèi)與正確結果相符,而對級數(shù)解進行Padé逼近,可以擴大收斂區(qū)間,提高收斂精度。將上述方法相結合,提出改進的微分變化法,稱為DTM-Adomian-Padé法。

3.1Adomian多項式

首先非線性函數(shù)部分由Adomian多項式近似,則

其中An為Adomian多項式(見表2)，Adomian多項式的定義如下:

表2　Adomian多項式

對Adomian多項式進行微分變換(見表3)。

表3　Adomian多項式微分變換

當非線性函數(shù)部分為分數(shù)階導數(shù)f(u(γ))的形式時,則與含有分數(shù)階導數(shù)的函數(shù)等價的Adomian多項式為表4。

表4　廣義Adomian多項式

由式(8)知,

對與分數(shù)階函數(shù)等價的Adomian多項式做R-L微分變換(見表5)。

表5　廣義Adomian多項式的微分變換

綜上所述，Adomian多項式的R-L微分變換歸納為

3.2Padé逼近

Padé逼近是一種關于函數(shù)值的特殊類型的分式逼近法,是以盡量快的速度與Taylor級數(shù)展開式相匹配,逼近效果好。

[L/M]=PL(x)/QM(x)。

(9)

其中PL(x)是一個次數(shù)最高為L的多項式,QM(x)是一個次數(shù)最高為M的多項式。

(10)

(11)

則

(12)

式(12)為函數(shù)f(x)的[L/M]階Padé逼近多項式。

下面給出幾個數(shù)值算例,驗證算法的有效性。

例1Dαy=1+y2,0<α≤1,y(0)=0

(13)

利用Adomian多項式替換式(13)非線性項,并對兩邊進行微分變換

求得式(13)截斷級數(shù)解

y=1.128 4t0.5+1.2734083125t1.5+

1.300 9t2.5+3.177 5t3.5+…

對級數(shù)解使用Padé逼近,則

得到式(13)修正級數(shù)解

0.6981713665675022

圖1　改進的微分變換法，微分變換法與數(shù)值解比較圖Fig.1　Comparison of the solution by different method

例2D1.75y+y3+y′=0,y(0)=1,y′(0)=0，對上式兩邊進行微分變換，則

Y(0)=0,Y(1)=0。

3Y(4)Y2(0)+6Y(0)Y(1)Y(3)+…

得到例2截斷級數(shù)解

y=1-0.621 8t1.75+0.121 7t3.25+0.086 0t3.5-0.012 7t4.75-0.036 6t5-0.121 7t5.25

對解進行修正，則對上式進行Padé逼近，表2是改進的DTM算法DTM方法和精確解對照表。

表6　不同算法結果比照表

例3Dβy-yDαy-1=0,y(0)=0,y′(0)=0,m-1<β

當β=1.5,α=0.5時,則例3的截斷級數(shù)解為

y=1.12838t1.5+0.0625t4-0.0458732t6.5+0.00566209t9。

對上式進行Padé逼近,則

f[3/3]=(947967.451431t+970616t2-63198t3)/(6.3198+15099.13273t+36.1426t2+8.615125t3)

得到例3修正級數(shù)解

y(t)=a1e-2516.497615944428t+a2e-0.1192027785973775e-2tcos(0.2298730050954942e-t)-a3e-0.1192027785973775e-2tsin(0.2298730050954942e-t)+a4e-12i(-285100139160575.3e-0.1192027785973775e-2t

cos(0.2298730050954942e-t)+

a5e-0.1192027785973775e-2t

sin(0.2298730050954942e-t)

其中

a1=157930.3644187159,

a2=64.1355812841353,

a3=186.854566446932

a4=0.3276998864277856,

a5=97857191809355.06。

圖2　例3近似解析解Fig.2　The approximate solutions of example 3

4　結　論

實驗結果證明,改進的R-L微分變換法可以有效的求解非線性分數(shù)階微分方程,算法不僅構造簡單,而且易于編程,具有高精度和較小的計算量,特別是對于求解復雜的分數(shù)階微分方程。在此基礎上可以將改進的R-L微分變換法推廣到二維或者是三維,用來求解非線性分數(shù)階偏微分方程。

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(編輯亢小玉)

DTM-Adomian-pade for solving nonlinear fractional differential equations

LIU Chun-feng, ZHANG Hua

(College of Science, North China University of Science and Technology, Tangshan 063000， China)

An improved generalized differential transformation method is proposed for solving the approximate analytical solution of nonlinear fractional differential equation in the definition of R-L.The method is a combination with differential transformation, Adomian polynomial, Padé approximation. The method is not only simple and has little calculation, but also has higher accuracy. Finally, numerical example is given to verify the effectiveness of the algorithm, which proposes a new calculating scheme for nonlinear fractional differential equations.

differential transformation method; nonlinear fractional differential equations; Adomian polynomial; Padé approximant

2015-07-03

國家自然基金資助項目(61170317)；河北省自然基金資助項目(A2013209295)

劉春鳳，女，河南洛陽人，博士，教授，從事數(shù)值計算及其應用研究。

張滑，女，河北唐山人，從事數(shù)值計算及其應用研究。

O175.2

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-005