參數未知的超混沌系統的反同步與參數辨識

吳淑花，容旭巍，劉振永

(石家莊學院 物理與電氣信息工程系,河北 石家莊　050035)

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·數理科學·

參數未知的超混沌系統的反同步與參數辨識

吳淑花，容旭巍，劉振永

(石家莊學院 物理與電氣信息工程系,河北 石家莊050035)

基于混沌同步的主動控制法,提出反對稱結構的直接構造法，利用該方法設計了反同步控制器和參數追蹤規則,構建了反同步控制器的電路實驗,實現了參數未知的超混沌耦合發電機系統的反同步與未知參數的辨識。數值模擬和電路仿真結果證明了該方法的有效性。

超混沌耦合發電機系統;反對稱結構;反同步;參數辨識;電路實驗

1990年,Pecora和Carroll[1]提出的驅動-響應同步方法,其開創性的工作極大地推動了混沌同步的研究。在隨后的十余年里,人們發現了各種不同類型的同步現象,如廣義同步[2]、相同步[3]、延遲同步[4]、射影同步[5]等。最近,人們研究了混沌系統的反同步現象,即處于同步的兩個混沌系統,狀態變量的絕對值相同，但符號相反。目前,實現混沌同步或反同步的方法主要有主動控制法[6]、自適應控制法[7-8]、滑膜控制法[8-9]、有限時間同步法[10-11]等。以往文獻主要是圍繞參數已知的低維混沌系統的同步研究,而參數不確定的高維混沌系統的反同步研究較少。與低維混沌系統相比,高維混沌系統具有更加復雜的動態行為和更廣泛的應用,所以,近年來超混沌系統的同步研究逐漸受到關注[6,10,12]。

文獻[7,13-15] 分別采用不同的有效措施對耦合發電機系統進行有效控制;文獻[16]在[15]的基礎上構建了超混沌耦合發電機系統,利用非線性控制器實現了超混沌耦合發電機系統的自結構和異結構同步。然而,上述方法對于參數未知的超混沌耦合發電機系統的同步控制是無法實現的。主動控制法雖具有簡單有效且不需要確定Lyapunov函數的優點,但構造控制器的盲目性使得人們較少使用。部分文獻中用此方法實現了參數已知的混沌系統的同步或反同步[6,8]。為避免主動控制法的盲目性,本文對主動控制法做了進一步的改進,引入反對稱結構的反同步直接構造法,為響應系統設計了適當的控制器;在上述方案設計的基礎上,設計了未知參數的追蹤規則;構建了超混沌耦合發電機系統的反同步電路和參數辨識電路,實現了不確定參數的超混沌耦合發電機系統的反同步和未知參數的辨識。數值模擬和電路仿真的結果具有高度的一致性,證實了這種同步方案的有效性。

1　問題描述與系統模型

考慮混沌系統由以下狀態方程描述

(1)

式中,x∈Rn為系統的狀態向量,α為系統參數。構造如下的響應系統

(2)

這里,U(α,x,y)為控制輸入。定義系統(1)和系統(2)的反同步誤差為e=x+y,則由式(1)和式(2)可得誤差系統為

(3)

eT[F(x,α)+F(y,α)+U(α,x,y)]。

(4)

從定義1可以看出,系統(1)和系統(2)的反同步問題,已轉化為誤差系統(3)的狀態在原點的漸進穩定性問題。

2006年王興元和武相軍提出了變形耦合發電機系統[15],在此基礎上文獻[16]提出了超混沌耦合發電機系統

(5)

這里x,y,z和w是系統的狀態變量,μ,α,c,d為參數。當μ=2,α=3,c=2,d=1時,系統(5)為超混沌系統。圖1為系統(5)的超混沌吸引子。

以超混沌耦合發電機系統為驅動系統,其數學模型可寫為

(6)

其中,x1,x2,x3,x4為狀態變量,系統參數的取值分別為μ=2,α=3,c=2,d=1時,系統(6)處于超混沌狀態。構造下面的響應系統,其數學模型為

(7)

其中，y1,y2,y3,y4為狀態變量，系統參數μ,α,c,d的取值同式(6)相同。令反同步誤差ei=yi+xi(i=1,2,3,4)，得到誤差系統

(8)

從定義2可以看出,超混沌系統(6)和(7)的反同步問題,已轉化為誤差系統(8)的狀態在原點的漸進穩定性問題。

2　參數未知的超混沌耦合發電機系統的反同步

2.1反同步控制器的設計

圖1　系統(5)的超混沌吸引子Fig.1　The hyperchaotic attractors of (5)

定理1考慮如下的非線性系統

由定義2和定理構造如下的控制器，

u1=-x2x3-y2y3,

u2=-x1x3-y1y3,

u3=-2e3+x1x2+y1y2,

u4=(c-1)e2-(1+d)e4。

(9)

在驅動系統(6)的基礎上,構造如下參數未知的響應系統，

(10)

式中μ′,α′,c′和d′是在驅動系統(6)與響應系統(10)反同步過程中需要辨識的未知參數。選擇式子(9)所示的控制器，未知參數的追蹤規則為

(11)

β為主動增益常數，改變其大小可以調節參數辨識的過程。

2.2數值模擬

通過數值模擬反同步的有效性和未知參數的辨識過程,采用四階Runge-Kutta法求解方程(6)和(10)。驅動系統參數的取值分別為μ=2,α=3,c=2,d=1,驅動與響應系統狀態變量的初始值分別選取經x(0)=[10，-1，20，-10],y(0)=[6，7，8，9], 響應系統(10)未知參數的初始值分別取1，2，-3，-4，主動增益常數取值β=1,模擬結果如圖2，3，4，5所示。

圖2為超混沌耦合發電機系統(6)與參數未知的響應系統(10)在相空間中的軌跡及其狀態曲線。圖上可以看見,相軌跡的投影和狀態曲線是反對稱的,說明式(9)給出的控制器使兩個系統達到了反同步。圖3為超混沌耦合發電機系統的未知參數的辨識過程。由圖可見,隨著t的增加,未知參數μ′,α′,c′,d′的值漸近穩定在常數2,3,2和1上,適當減小β的取值,可以縮短未知參數的辨識過程。可見，利用式(11)給出的參數追蹤規則，能夠在實現系統(6)和系統(10)反同步的同時，辨識出響應系統的未知參數。

圖2　超混沌耦合發電機系統反同步圖Fig.2　Anti-synchronization of hyperchaotic coupled dynamos system

圖3　響應系統(10)的未知參數辨識過程Fig.3　Parameters identification on the responser (10) with uncertain parameters

2.3電路設計

應用Multisim軟件建立電路模型,主要由乘法器AD633、運算放大器LF353、線性電阻和電容構建而成。運算放大器的供電電源采用±12V雙電源供電,為了可靠不失真地完成電路的仿真,把系統的輸出電壓調小到了原來的1/10,所以乘法器的增益設為0.1。根據電路原理及電路中各個元件特性,設計驅動系統(6)的電路原理圖(如圖4(a)所示);加入反同步控制器(9)后設計了參數未知的響應系統(10)的電路原理圖(如圖4(b)所示);按照未知參數的追蹤規則(11)設計了圖4(c)的電路原理圖。

2.4電路仿真

利用Multisim軟件分別對電路4進行仿真,分別得到混沌吸引子和兩個系統解的振蕩曲線。如圖5(a)～(d)所示,可以觀察到它們的相圖和時序圖是對稱的,與數值模擬得到的圖2具有高度的一致性。圖5(e)～(h)是對電路4(a)和圖4(b)仿真的反同步圖像,進一步說明系統(6)和系統(10)確實達到了反同步。

如圖6是電路圖4(c)的仿真結果,圖中顯示了4個估計參數隨時間的演化圖,從圖中可以判斷，估計參數μ′，α′，c′，d′時域的穩態值分別為2V,3V,2V,1V。所以采用Multisim軟件搭建的硬件電路和Matlab軟件理論分析仿真的效果一致,說明設計的未知參數追蹤規則是正確的。

3　結　論

超混沌系統比混沌系統具有更強的不穩定性,所以實現參數未知的超混沌的反同步具有較多困難,尋找一種既簡單又適用的方法就更加困難。本文對主動控制法做了進一步的改進, 提出了反對稱結構的直接構造法, 實現了參數未知的超混沌耦合發電機系統的反同步與參數未知的辨識。該方法具有簡單易行、計算量小、而且靈活多變等優點。采用Multisim軟件搭建了超混沌耦合發電機系統及其未知參數的反同步的硬件電路,電路仿真了反同步相圖、時序圖和未知參數辨識過程。電路仿真和數值模擬達到了高度的一致性,結果證實了本文所提出的方法的有效性,而且這種方法同樣適用于其他參數未知的混沌系統的反同步控制。

圖4　電路原理圖Fig.4　Circuit diagrams

圖5　電路圖4(a)和(b)的仿真結果Fig.5　Circuit simulation of figure 4(a) and 4(b)

圖6　電路圖4(c)的仿真結果Fig.6　Circuit simulation of figure 4(c)

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(編輯李靜)

Anti-synchronization and parameter identification on a hyperchaotic system with uncertain parameters

WU Shu-hua, RONG Xu-wei, LIU Zhen-yong

(Department of Physics and Electrical Information Engineering, Shijiazhuang University, Shijiazhuang 050035， China)

Based on active synchronization control, the anti-symmetric direct construction method is proposed. By using this method, an anti-synchronization controller and a parameter tracking rule are designed, several circuit experiments with an anti-synchronization controller are built. Hyperchaos anti-synchronization and parameters identification on a hyperchaotic coupled dynamos system with uncertain parameters are realized. The results of numerical simulation and circuit simulation verify the effectiveness of the proposed method.

hyperchaotic coupled dynamos system; anti-symmetric structure; anti-synchronization; parameter identification; circuit experiment

2015-03-05

河北省教育科學研究“十二五”規劃課題基金資助項目(1412091)；河北省高?？萍佳芯炕鹳Y助項目(ZC2016062)；石家莊學院科研基金資助項目(XJPT002, XJTD004)

吳淑花，女，河北石家莊人，副教授，從事非線性研究。

O545

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-007