從一道中考題談相似三角形的單元試題命題

張先進

2011年三明中考數學第23題：在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF（如圖①）.

（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖②），求PC的長；

（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止.在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：

（1）tan∠PEF的值是否發生變化？請說明理由；

（2）直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經過的路線長.

中考是初中學生學習的終結性考試，近年來中考數學試題在關注基礎知識和基本技能的考查的同時，也強調了在較復雜的幾何圖形中分解出簡單的基本圖形能力.有一些基本圖形，需要在教師的指導下，讓學生觀察、思考、概括、提煉才能形成模型.下面我就以這道相似題為例談談對相似三角形單元試題命題的一些看法.

試題中第一問考什么呢？考相似三角形的判定.這在相似三角形單元教學中，是一個常見的基礎題.

荷蘭著名教育家弗賴登塔爾認為：“學習數學的唯一正確方法是實行‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行這種‘再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生.”

一題多變可引導學生積極思考，可挖掘思維深度.我們可把這常見的題型進行如下改變.

一、改變題目的形式

和全等三角形教學類比，有這樣一題：如圖②，∠B=90°，∠D=90°，C為BD上一點，且AB=CD，BC=DE，求證：AC=CE.

四、進行變式訓練

1.如下圖，小明為了測量一高樓MN的高，在離N點20m的A處放了一個平面鏡，小明沿NA后退到C點，正好從鏡中看到樓頂M點，若AC=1.5Mm，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請你幫助小明計算一下樓房MN的高度（精確到0.1m）.

2.（2012朝陽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上一動點（不與B、C重合）.連接AE，過點E作EF⊥AE，交DC于點F.

（1）求證：△ABE∽△ECF；

（2）連接AF，試探究當點E在BC什么位置時，∠BAE=∠EAF，請證明你的結論.

在相似三角形單元試題命題時，抓住基礎題型，基本圖形，適當進行延伸、拓展，有助于教學，有利于學生理解，有助于我們理清平時的教學思路，調整平時的教學重點，彌補平時的教學不足之處.

在相似三角形單元試題命題時，從基礎入手，把握教材、理解教材，通過對習題的編制，為學生提供更廣闊的學習、研究數學的空間，提高學生綜合運用數學知識解決實際問題的能力.

從2011年中考這道題中，體現了基礎的重要性，雖然是一道綜合題，但分解開來，是一個個基礎的問題，這就要求我們在單元試題命題時，從課程標準出發，從教材入手，進行延伸、拓展，對于這次我們所說的這道基礎題，通過對它的改編、測試、講評與類比，學生對一般性結論的探尋有了自己的思考；對于相似、相近知識之間的銜接點有了更清晰的認識；更利于學生形成屬于自己的知識網絡.當然學生知識經驗、基本數學思想的形成是一個長期過程，要在今后的學習中慢慢積累.

在掌握基礎題型、基本圖形后，對于試題命題的研究還是不夠的，我們還要進行串聯不同的問題，類比編題等.

串聯不同的問題：

（2015漢陽區校級模擬）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF（如圖①）.

（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖②），PC的長為？搖？搖；

（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止.在這個過程中（如圖①是該過程的某個時刻），請你觀察、猜想，并解答：∠PEF的值是否發生變化？請簡單說明理由.

（3）連接PB，如圖③，在直角尺旋轉過程中，隨著點E和F位置的改變，我們容易發現，當BE=PE時，EF垂直平分PB，請計算求出這時點E在距離A點多遠處？

類比編題：

2009-2010年安岳縣九年級上數學期末試題：

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺（曲尺）MPN的直角頂點P在AD上滑動到某點（點P與A、D不重合），射線PN經過點C，身線PM交直線AB于點E，交直線BC于點F.

（1）求證：Rt△AEP∽Rt△DPC；

（2）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的4倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由；

（3）在點P的運動過程中，點E能與B重合嗎？若能，求出重合時DP的長，若不能，說明理由；

（4）認為線段FC的長有最大值嗎？有最小值嗎？（直接回答，不必說明理由）

命題與課堂教學一樣，是一門藝術，章建躍教授提出數學教學的三個理解：理解數學，理解學生，理解教學.這在單元試題命題時，要符合好的數學題目的標準，依據學生的認知規律，從簡單的、特殊的問題入手，將問題向一般進行拓展、變式，引導學生先對簡單的、特殊的問題進行分析獲得靈感來解決一般的、變化的、拓展的問題.單元試題命題不僅關注學習的結果，更關注學習的過程，讓學生處于熟悉而陌生的情景中，把知識、經驗、方法、思想結合起來分析探索，找到解題的思路，從而達到章建躍教授提出數學教學的三個理解.

好的單元試題命題對教學起了良好的導向作用，加深了學生對數學的理解.從這道中考題中得到啟發，平時單元試卷的命題，以教材為本、從基礎入手，符合學生的實際，理解數學，理解學生，理解教學.