滲透數(shù)學(xué)史料，弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化朱

田晟驁

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）在“課程基本理念”中指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要求.”

數(shù)學(xué)文化的價(jià)值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)對(duì)于人們觀念、精神及思維方式的養(yǎng)成所起的十分重要的影響，這種影響是潛移默化的.在近年的高考試題、各地的模擬試題中，常出現(xiàn)一類以數(shù)學(xué)文化為背景、滲透數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的問題.例如，2015年高考，全國(guó)一卷第6題的“委米依垣內(nèi)角”、全國(guó)二卷第8題的“更相減損術(shù)”，設(shè)計(jì)思路都來(lái)源于《九章算術(shù)》，湖北卷第2題選自《九章算術(shù)》中的“米谷粒分”問題，滲入其中的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)最樸實(shí)的統(tǒng)計(jì)抽樣的思想方法.2015年北京中考數(shù)學(xué)試題注重對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的考查，意在重視學(xué)生數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)的積累.例如，第4題，在“剪紙”中認(rèn)識(shí)圖形；第8題，利用平面直角坐標(biāo)認(rèn)識(shí)我國(guó)古代文明建筑——故宮；第13題，介紹《九章算術(shù)》，讓學(xué)生了解《九章算術(shù)》在數(shù)學(xué)史中的重要地位.這類試題蘊(yùn)涵著濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，將數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、文化融為一體，考查學(xué)生在新情景下對(duì)知識(shí)的理解及遷移到不同情境中的能力，能夠檢測(cè)學(xué)生思維的廣度、深度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是研究數(shù)學(xué)的歷史，它是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分.在數(shù)學(xué)史中尋找命題背景常被命題者所推崇.這里，以近年出現(xiàn)的以中國(guó)數(shù)學(xué)文化史為背景高考試題（模擬試題）為例，呈現(xiàn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與試題的融合，關(guān)注依托數(shù)學(xué)史料、彰顯數(shù)學(xué)文化的新探索，揭示其數(shù)學(xué)文化背景.

例1（依垣內(nèi)角）（2015年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷1）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ）

解析此題取材于《九章算術(shù)》卷五商功（二五），劉徽注曰：其依垣者，“居圓錐之半也.”其依垣內(nèi)角者，“角，隅也，居圓錐四分之一也.”

例2（更相減損術(shù)）（北京市東城區(qū)2015—2016學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)）右邊程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b，i的值分別為6，8，0，則輸出a和i的值分別為（ ）

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成.后世的數(shù)學(xué)家大都是從《九章算術(shù)》開始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的.唐宋兩代都由國(guó)家明令規(guī)定為教科書.1084年由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書.

《九章算術(shù)》的內(nèi)容十分豐富，全書采用問題集的形式，收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù).這些問題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程及勾股.

《九章算術(shù)》分為九章.它們的主要內(nèi)容分別是：

第一章“方田”：主要講述了平面幾何圖形面積的計(jì)算方法.包括長(zhǎng)方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積的計(jì)算方法.另外還系統(tǒng)講述了分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，以及求分子分母最大公約數(shù)等方法.

第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術(shù).

第三章“衰分”：比例分配問題.

第四章“少?gòu)V”：已知面積、體積，反求其一邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)等；介紹了開平方、開立方的方法.

第五章“商功”：土石工程、體積計(jì)算；除給出各種立體體積公式外，還有工程分配方法.

第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問題.今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論.西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法.

第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般問題的解法.這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大.

第八章“方程”：一次方程組問題；采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，勾股定理求解相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致.這是世界上最早的完整的線性方程組的解法.在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則.這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)——正負(fù)數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時(shí)實(shí)際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法.這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成就，第一次突破了正數(shù)的范圍，擴(kuò)展了數(shù)系.外國(guó)則到7世紀(jì)印度的婆羅摩及多才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù).

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題.勾股章還有些內(nèi)容，在西方卻是近代的事.例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國(guó)外到19世紀(jì)末才由美國(guó)的數(shù)論學(xué)家迪克森得出.

《九章算術(shù)》對(duì)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)發(fā)展有很大影響，這種影響一直持續(xù)到清朝中葉.《九章算術(shù)》的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出解法，不同于西方以演繹為主的敘述方式，中國(guó)后來(lái)的數(shù)學(xué)著作也都是采用敘述方式為主.

《張丘建算經(jīng)》成書于5世紀(jì)，比《孫子算經(jīng)》稍晚.作者張丘建，河北清河人.該書共三卷92題，包括測(cè)量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程、利息等各方面的計(jì)算問題.比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計(jì)算，各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等.

例5（牟合方蓋）“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如下左圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是（ ）

解析：由直觀圖可知，俯視圖是正方形加對(duì)角線，答案為B.

牟合方蓋是一種幾何體，是兩個(gè)等半徑圓柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因?yàn)橄袷莾蓚€(gè)方形的蓋子合在一起，所以被稱作「牟合方蓋」.牟合方蓋被1994年哈佛大學(xué)主編的《微積分》教材收錄，牟合方蓋是中國(guó)古代最被忽略的偉大數(shù)學(xué)成就.

劉徽在他的注中對(duì)“牟合方蓋”有以下描述：

“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸.規(guī)之為圓囷，徑二寸，高二寸.又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣.八棋皆似陽(yáng)馬，圓然也.按合蓋者，方率也.丸其中，即圓率也.”

劉徽希望構(gòu)作一個(gè)立體圖形，它的每一個(gè)橫切面皆是正方形，而且會(huì)外接于球體在同一高度的橫切面的圓形，而這個(gè)圖形就是“牟合方蓋”，因?yàn)閯⒒罩恢酪粋€(gè)圓及它的外接正方形的面積比為π：4，他希望可以用“牟合方蓋”證實(shí)《九章算術(shù)》的公式有錯(cuò)誤.當(dāng)然他也希望從這方面入手求球體體積的正確公式，因?yàn)樗馈澳埠戏缴w”的體積跟內(nèi)接球體體積的比為4：3，只要有方法找出“牟合方蓋”的體積便可.只是劉徽始終不能解決，他只可以指出解決方法是計(jì)算出“外棋”的體積，但由于“外棋”的形狀復(fù)雜，因此沒有成功，無(wú)奈地只好留待有能之士圖謀解決的方法：“觀立方之內(nèi)，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩.判合總結(jié)，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正.欲陋形措意，懼失正理.敢不闕疑，以俟能言者.”

200多年后，中國(guó)偉大數(shù)學(xué)家袓沖之及他的兒子祖暅，他們承襲了劉徽的想法，利用“牟合方蓋”解決了球體體積公式的問題.

例6（祖暅原理）（楊浦區(qū)2015學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研）課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理推導(dǎo)棱錐體積公式的做法.祖暅原理也可用來(lái)求旋轉(zhuǎn)體的體積.現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法：可構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，用這樣一個(gè)幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理（圖1），即可求得球的體積公式.在研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上，解答以下問題：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（圖2），其體積等于 .

解析：祖暅沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論進(jìn)行體積計(jì)算，得出“冪勢(shì)相同，則體不容異”的結(jié)論.“勢(shì)”即是高，“冪”是面積.

為了利用祖暅原理計(jì)算某個(gè)幾何體的體積，常要構(gòu)造一個(gè)幾何體，此幾何體必須符合兩個(gè)條件：①它的計(jì)算公式是已知的；②它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體能夾在兩個(gè)平行平面之間，且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截它們時(shí)，截得的截面面積總相等.

考慮半個(gè)橄欖狀的幾何體，構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2，高為5的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐.如圖所示，

《算數(shù)書》是1983年中國(guó)考古學(xué)家在湖北漢代古墓中發(fā)現(xiàn)的竹簡(jiǎn).經(jīng)過(guò)發(fā)掘，從淤泥中整理出160多件文物，包括從M247號(hào)古墓出土的《算數(shù)書》散亂竹簡(jiǎn)200多枚，其中180枚完整，其余殘缺.《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)，每枚長(zhǎng)約30厘米，寬6至7毫米，上下各有竹節(jié)，上竹節(jié)離開竹簡(jiǎn)上端約1.5厘米，下竹節(jié)在竹簡(jiǎn)下端之上2厘米.《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)的文字為7000余字隸書，用墨書寫在每枚竹簡(jiǎn)正面兩竹節(jié)之間，每枚竹簡(jiǎn)上書寫的字?jǐn)?shù)，從3字到36字，多少不等，其中第六枚竹簡(jiǎn)的背面上書“算數(shù)書”三字.

經(jīng)學(xué)者鑒定，《算數(shù)書》成書于前202年至前186年之間，是中國(guó)最古老的數(shù)學(xué)書，比《九章算術(shù)》早三百余年.《算數(shù)書》的發(fā)現(xiàn)，改寫了中國(guó)古代數(shù)學(xué)史.《算數(shù)書》有68個(gè)算題.在《算數(shù)書》發(fā)現(xiàn)之前，《九章算術(shù)》被認(rèn)為是中國(guó)最古老的數(shù)學(xué)書.《算數(shù)書》的發(fā)現(xiàn)，改寫了中國(guó)古代數(shù)學(xué)史，將中國(guó)古代數(shù)學(xué)的歷史推前了三百年.

將《算數(shù)書》和《九章算術(shù)》共同研究，比較其異同，成為中國(guó)古代數(shù)學(xué)史研究中一個(gè)熱門課題.有些學(xué)者認(rèn)為，《算數(shù)書》和《九章算術(shù)》有許多相同的風(fēng)格、度量衡、算題和方法，《算數(shù)書》很可能是張蒼編寫《九章算術(shù)》時(shí)的母本之一.中國(guó)《算數(shù)書》與古埃及紙草書、巴比倫數(shù)學(xué)泥版、古希臘數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，古印度《圣壇建筑法典》并列為世界五大古文明的數(shù)學(xué)經(jīng)典.

“調(diào)日法”是南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的一種系統(tǒng)地尋找精確分?jǐn)?shù)以表示天文數(shù)據(jù)或數(shù)學(xué)常數(shù)的內(nèi)插法，以有理分?jǐn)?shù)逼近實(shí)數(shù)，發(fā)展了古代的不定分析與數(shù)值逼近算法.調(diào)日法的發(fā)明，為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了貢獻(xiàn)，在天文學(xué)上也有一定的作用.

科學(xué)和人文始終是人類進(jìn)步的雙翼.數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，是人類進(jìn)步的產(chǎn)物，也是推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的動(dòng)力.我國(guó)數(shù)學(xué)文化歷史悠久，有許多不同于西方數(shù)學(xué)文化的鮮明特點(diǎn)：注重歸納、強(qiáng)調(diào)實(shí)用、講究算法.將數(shù)學(xué)文化滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)已成為數(shù)學(xué)課程的目標(biāo).以上試題的編擬，選取了體現(xiàn)中國(guó)古代優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化并與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合緊密的素材，要求考生運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法解決問題.在高考試題（模擬試題）中滲透中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，強(qiáng)調(diào)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的傳統(tǒng)特色，使學(xué)生在考查過(guò)程中，潛移默化地接受我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的熏陶，自覺形成嚴(yán)謹(jǐn)、務(wù)實(shí)的治學(xué)態(tài)度，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，弘揚(yáng)愛國(guó)主義精神.在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化，將數(shù)學(xué)文化自然地滲透于數(shù)學(xué)練習(xí)題，是數(shù)學(xué)教師應(yīng)予思考的課題，值得重視和關(guān)注.