基于DEA模型的最優基金投資策略研究

虞芳，鮑遠娟，陶超，朱家明

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基于DEA模型的最優基金投資策略研究

虞芳1，鮑遠娟2，陶超2，朱家明2

（安徽財經大學 1. 金融學院，2.統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030）

為慈善基金提出了最優投資策略，定義了投資回報率的度量，投資回報率分別由主成分分析以及數據包絡分析模型測量得到，并根據投資回報率選擇了10個最優投資的大學．根據馬克維茨投資組合理論確定高校投資額，用目標院校近5年投資回報率的平均值和標準差構建了投資組合模型，資金分配的具體比例能唯一確定．根據規模報酬估計投資時間，幫助慈善基金實現利益最大化．

投資組合；DEA模型；規模收益

慈善基金會非常關注和支持高等教育事業的發展．二戰之后，雖然美國政府已經逐漸代替基金會成為高校辦學經費的主要來源，但是基金會的捐贈仍然是美國高校特別是私立院校的主要經費來源之一．在為高等教育捐贈之前，基金會要了解這些經費是否有助于達成高等教育整體發展目標，資金分配時需更多地考慮高校的產出和績效．因此，慈善基金會需設立一套完善的績效評估體系來監督院校的效率．

1問題重述

本文數據來源于2016年美國大學生數學建模競賽C題．Goodgrant基金（GG基金）計劃從2016年開始，未來5年每年總計投入1億美元，用來幫助美國高校在讀生提高教育績效．GG基金想知道如何從美國7 000多所高校中尋找合適的投資對象，每所高校應投資多少，如何確定投資的回報率，高校投資實現最大效益所花的時間．這是個優化問題，GG基金要求建立合適的模型確定最優投資策略，包括選擇投資的學校，分配投資額，確定投資具體時間．本文根據GG基金會的要求，結合DEA-CCR模型和主成分分析建立投資回報率指標，以投資回報率為依據確定投資的學校．然后運用馬克維茨投資組合模型確定每個投資學校的資金分配權重，利用DEA-BCC模型中的規模收益指標確定GG基金會對學校的持續投資時間．

２模型準備——數據處理

首先，將不同表格的學校信息進行匹配，得到美國2 936所高校的記分卡數據．為了從114個高校指標中得到合理的指標，對數據進行處理：

（1）刪除某些取值只有0或1的屬性變量，若匹配后的表格中部分指標含缺失值較多，直接刪除該指標．

（2）將多個同類指標合并，如學校授予各學位的百分比可以合并成一個指標．參考美國田納西州高校績效的撥款標準（見于http：//www.state.tn.us/education），在篩選后的指標中繼續刪除部分冗余指標，如25歲以上本科生比例和非居民的外國人本科生比例等．

（3）當高校指標中含有部分缺失值和隱私值時，用同類學校的數據對其填補[1]．

經處理得到13個指標的數據，繼續用SPSS計算它們的相關系數矩陣，剔除2個相關系數較高的指標，最終得到11個指標作為本文的指標體系（見表1）．

表1　評價指標

3模型的建立

3.1利用主成分分析計算高校的績效綜合得分

運用主成分分析對高校11個績效指標降維并計算高校的績效綜合得分．設為11維變量，并且存在二階矩，其均值向量與協方差陣分別為，，需求解線性變換

圖1　平行分析碎石圖

圖1展示了基于觀測特征值的碎石檢驗（由線段和x符號組成）等主成分因子信息，特征根大于1表明選擇2個主成分是合適的，經過提取主成分，主成分旋轉到獲取主成分得分系數等步驟，最終得到２個主成分的表達式

以２個主成分的特征根4.31和2.07為權重，對2個主成分進行加權綜合，得到各高校的綜合得分公式

結合式（1）~（3）計算出各高校的綜合得分，由于主成分得到的原始分數差異比較大，故使用方差分析方法將原始評分數據標準化，然后計算標準偏差和評分數據的歸一化值，最后使用Sigmoid函數計算總積分值，即綜合得分率[2]，結果見表2．

表2　各高校的績效綜合得分情況

由表2可以看出，各高校之間的績效綜合得分差距比較大，其中，標準差為0.184，中位數為0.405．

3.2利用DEA模型計算資金利用有效率

3.3DEA模型的建立與求解

將預處理后的11個指標分為投入和產出2大類，對美國大學生教育投入產出進行評價，所選指標必須能客觀地反映投入與產出中的量變過程，能反映評價目的和評價內容．在遵循指標體系建立的科學性、可比性、可行性和適應性原則下，結合DEA評價方法的特點，選用了能有效評價各大學教育投入產出的相對效率的指標．

教育投入從大學招生人數和學生負債2個方面考慮，其中注冊的本科生人數、平均凈價、獲得佩爾助學金的本科生的比例、獲得聯邦貸款的本科生比例是衡量大學教育投入的重要指標；10年內每月償還債務的中位數、畢業3年內還款率、畢業率、學生工作10年后的收入中位數、工作6年后學生收入超過25 000 美元/年（閾值收益）、授予學位比例是反映教育產出的主要指標．

用MaxDEA軟件讀取指標分類處理后的數據，求解得出各個候補學校的資金利用有效率數據，并將MaxDEA運行結果導出．

3.4投資回報率ROI的定義

基于主成分分析和DEA分析的結果建立一個具有綜合意義的高校投資回報率指標，即

4投資組合模型

馬克維茨組合模型為構建最優投資組合提供了理論依據．該模型用期望收益率來衡量收益表現，用收益的標準差表示投資風險，投資組合的總體收益又可以表示為各項資產期望收益率的加權平均和，組合收益的標準差代表投資組合的總體風險[4]．在給定期望收益率的情況下，馬克維茨組合模型可以轉變為帶約束的二次優化問題，即確定最小方差．為了追求基金預期收益的最大化，本文將10所高校視作10項不同的投資產品，由于每所高校的資金分配權重是未知的，故挑選了目標院校2010—2014年的樣本數據，用式（4）定義的ROI來代表收益率，通過計算最小風險組合確定投資比例，進而得到每所高校的具體投資額．理論投資模型[5]為，其中：是投資組合收益；分別是資產和的收益率；和分別是資產和的權重；是投資組合收益的方差；是2項資產間的協方差．

首先，計算10所高校2010—2014年的ROI，計算每個學校的平均ROI和標準差；其次，求解出樣本期望收益的協方差矩陣，并設置初始權重．將預期收益率、風險以及協方差矩陣作為輸入變量，借助MATLAB軟件獲得不同權重組合下的收益率、風險和收益風險比例．在追求收益風險比例最大化的條件下，最終獲得每所高校的資金分配權重，即

與此相對應的收益風險比例為2.393，由各學校的資金分配比例得到高校具體的資金分配結果（見表3）．

表3　資金分配結果

5基于DEA規模收益改變的BCC模型

為了確定GG基金對10所高校的投資期限，引入規模收益這項指標，建立基于DEA規模收益改變的BCC模型[6]，其中：是第所高校的綜合效率（即投入產出率），它可以分為純技術效率和規模效率．當規模效率時，表明高校的規模收益是連續的（目前處于最優狀態）；當規模效率時，表明高校的規模收益還不是最優狀態，仍需提高．特別是當時，規模收益連續，第所高校已經達到最優規模收益點；當時，規模收益遞減，說明第所高校投入的增加不會帶來更高比例的產出增加，相反地會減少產出比率；當時，規模收益遞增，說明適當投入的增加會帶來更高比例的產出增加[7]．本文以Union College為例并求解BCC模型，結果見表4．

表4　Union College近5年的BCC模型結果

由表4可見，Union College的規模效率從2012年持續增長，規模收益也在遞增，所以GG基金可以連續對Union College進行投資，直到Union College的規模效率（此時規模收益是連續的）．此時，額外的投資不會增加Union College的教育產出，這對學生的績效提高也不會有顯著影響．

綜上可知，GG基金需每年評估已投資高校的規模效率，當高校的規模效率達到1時，可停止投資；當規模效率小于1時，可對高校繼續投資，進一步提高高校的績效表現．

本文為基金組織提供了最優投資方案．在定義ROI的基礎上，確定了有效投資的高校名單，并借助MATLAB軟件得到每所高校的具體投資比例，利用BCC模型幫助基金組織決定投資的期限．DEA-BCC模型不僅適用于確定慈善基金投資的時間問題，也為金融市場選擇資產投資時間提供參考．

[1] 張赤．基于聚類分析的缺失數據填補算法研究[D]．武漢：武漢輕工大學，2013

[2] 楊雪，馮暉．基于主成分分析的高校投入產出績效分析[J]．上海管理學報，2012，9（10）：107-109

[3] 楊博．基于DEA的高校基礎研究績效評論研究[D]．天津：天津大學，2012

[4] 錢駿洲，倪菁菁．馬克維茨投資組合模型的Matlab計算[J]．金融研究，2013（5）：65-66

[5] 黃卉，周萌，白原，等．投資組合管理[M]．北京：清華大學出版社，2005

[6] Andersen P，Petersen N C．A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis[J]．Management Science，1993 （39）：1261-1264

[7] 彭祖英，王建宏．基于PCA-DEA的江蘇高校投入產出效率研究[J]．教育與經濟，2013（5）：55-58

Research on optimal fund investment strategy based on DEA model

YU Fang1，BAO Yuan-juan2，TAO Chao2，ZHU Jia-ming2

（1. School of Finance，2. School of Statistics and Applied Mathenatics，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu 233030，China）

Proposes an optimal investment strategy for charity fund，which mainly includes three parts．First，define a measurement of rate on investment（ROI），the two factors in ROI are measured with principal component analysis （PCA）and data envelopment analysis（DEA）model，respectively．The ten optimal investment universities are selected according to ROI．Second，the investment volume of selected ten universities is determined by Markowitz portfolio theory．Construct the portfolio model with the mean and the standard deviation of ROI during recent 5 years. According to Markowitz portfolio model，the concrete proportion of fund allocation is determined uniquely．Finally， proposes a strategy of estimating the investment time duration based on scale reward to help maximize the fund benefit.

investment portfolio；DEA model；scale return

1007-9831（2016）07-0004-05

O29∶F223

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.002

2016-05-01

國家自然科學基金資助項目（11301001）；安徽財經大學教研項目（acjyzxl201429）

虞芳（1994-），女，安徽安慶人，在讀本科生．E-mail：877415194@qq.com

朱家明（1973-），男，安徽泗縣人，副教授，從事應用數學與數學建模研究．E-mail：zhujm1973@163.com