球形靶標中心成像點的高精度定位

劉書桂，宋宣曉，韓振華

(天津大學 精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津 300072)

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球形靶標中心成像點的高精度定位

劉書桂*，宋宣曉，韓振華

(天津大學 精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津 300072)

為提高球形靶標中心在像平面上成像點的定位精度，研究了球形靶標成像理論及球心成像點定位方法。建立了空間球在攝像機系統下的投影模型，結合空間解析幾何理論，證明了球形靶標的透視投影特性。推導出了球心成像點坐標的精確表達式，并結合測量實際給提出了球心成像點的高精度定位方法。利用仿真實驗建立了球心投影畸變誤差模型并分析了相關影響因素。最后, 結合陶瓷標準球進行了視覺系統位姿參數標定實驗。結果表明，該定位方法求得的空間球球心重投影誤差比傳統的球心成像坐標定位方法產生的重投影誤差平均減少了36%，位姿參數穩定性相對提高了40%。得到的結果驗證了該球形靶標中心成像點定位方法精度高，魯棒性強，可應用于基于球形靶標的視覺標定或測量中。

球形靶標；視覺測量；球心成像定位；透視變換；相機標定

*Correspondingauthor,E-mail:sgliu@tju.edu.cn

1　引　言

隨著現代化測量技術的不斷發展，基于機器視覺的測量應用越來越廣，這得益于其精度好、非接觸、效率高等優點[1]。在利用視覺系統進行高精度測量之前，必須精確地標定相機參數，因為標定精度直接影響系統的測量精度。球形靶標由于輪廓連續性好、對拍攝角度要求低、能適應一定的遮擋[2]以及視覺測量特性良好，所以常常用來標定視覺系統參數[3-5]。

文獻[3]提出一種基于三坐標測量機(CMM)和標準球的相機內參標定法，通過將球靶標放在CMM測量平臺上，相機由CMM測量臂帶動進行精準位移并攝取球圖像完成標定。在相機外參數即相機坐標系和其他坐標系的位姿轉換關系標定中，球靶標也有著廣泛應用，例如在多相機系統標定中，相機光軸間常常存在一定夾角[6]，利用球作為標定靶標，可以彌補平面靶標在標定中由于擺放位置或姿態導致的成像特征點提取性較差、定位精度低的缺陷，提升相機間位姿關系的標定精度。此外，在智能防碰撞CMM系統[7-8]中，球形靶標可用于標定相機坐標系和CMM坐標系之間的旋轉平移關系，通過拍攝若干幅CMM坐標系下精確定位的球并提取其中心像點位置，然后基于透視變換模型即可求得兩坐標系之間的變換關系。

在利用球形靶標進行視覺標定和測量的應用中，球形靶標中心成像點的定位精度將直接影響系統的標定精度和測量精度?？臻g球在攝像系統中成像，只有當球心位于光軸上時，投影圖像為標準圓，其他情況下為橢圓[9]，并且橢圓幾何中心點和球心投影點并不重合，將這個偏差定義為球心投影畸變誤差。然而大多數應用中，往往將空間球投影成像的橢圓中心作為球心的投影點[3-5,8]，忽略了球心投影畸變誤差，這會給系統的精度造成一定的影響。文獻[10]針對這種球心投影定位誤差提出了一種補償模型，該模型是針對理想誤差模型的一種近似，模型參數求解時需要提前拍攝至少6個空間位置已知的球，除此之外還要求球半徑與球心到光心的距離比值在一定范圍內，否則模型失效。這種方法不僅復雜、適用性差，而且精度不高。

本文通過建立空間球在攝像系統中的投影模型，結合空間解析幾何相關理論，推導出球形靶標在像面上投影特性的一般性結論，提出了一種球心成像點高精度定位方法。該方法僅根據球形靶標圖像的邊緣信息，便可精確求出球心成像點坐標。對球心投影畸變誤差模型及其影響因素進行了仿真分析，然后結合陶瓷標準球進行了視覺系統位姿參數標定實驗。實驗結果驗證了該定位方法的可行性和正確性。

2　球形靶標成像模型

本文基于針孔成像原理建立了空間球在攝像系統中的投影模型，如圖1所示。O-XYZ為攝像機坐標系，原點O為攝像機光心，OZ為光軸，XUOUYU為像平面，記為π，原點OU為光軸與像平面π的交點，X、Y軸分別平行于像平面的橫軸XU和縱軸YU。空間球球心記為S0，根據球的空間旋轉對稱性，可推知球面與攝像機中心形成的射線錐面O-C1是一個正圓錐面，準線C1是射線錐與球面形成的切線圓?？臻g球的圖像可視為圓C1在像面上的投影。此外，圓C1所在平面與過攝像機中心O和球心S0的直線垂直，即OS0⊥C1。O1為圓C1的圓心，O11為O1在面XOY上的投影點。空間球在像平面的成像輪廓為C2，形心為O2，球心S0在像平面的投影點為S2。當球心S0位于光軸上時，C2為標準圓，O2和S2重合；其他情況下，C2為橢圓，O2和S2不重合。

圖1　空間球成像模型Fig.1　Imaging model of spherical target

設過球心S0和光軸OZ組成的面為π1，則平面π1是圓錐O-C1的一個軸截面，如圖2所示，ON為該截面內原點到球面的切線，由于O1在直線OS0上，所以OO11所在直線為軸截面π1的橫軸。S0N表示空間球S0的半徑，O1N表示圓C1的半徑，由圖2可知，球心S0并不位于截面圓C1所在平面。

圖2　過光軸的圓錐軸截面π1Fig.2　Tapered shaft section plane π1 through optical axis

根據上述成像模型，并結合空間解析幾何理論，歸納出空間球在攝像系統中成像的一般性定理，表述如下：

定理：位于攝像機視場范圍內任意位置的空間球，在像平面上的投影為一橢圓，且滿足以下特征：(1)橢圓長軸所在直線通過像面中心；(2)空間球中心成像點位于橢圓長軸線段上。

證明：已知空間球球心S0坐標為(xs0,ys0,zs0)，半徑R0=|S0N|，攝像系統焦距|OOU|=f。設圓C1的圓心O1坐標為(x0,y0,z0)，半徑為|O1N|=R，|OS0|=L0，|OO1|=L，圓C1所在平面的單位法向量為(m,n,p)，投影圓錐半頂角為α，OS0與面XOY的夾角為φ，如圖2所示。根據幾何關系，則有：

論證時只考慮m2+n2≠0，φ∈(0,π/2),即球心不在光軸上的情況，因為球心在光軸上時，定理顯然成立。

設圓C1的空間方程為FC1(x1,y1,z1)=0，則有：

(1)

錐面O-C1可表示為：

(2)

將z=f與式(2)聯立化簡可得空間球的投影曲線C2：

FC2(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 ，

其中：

(3)

故C2為二次曲線。根據空間解析幾何理論，C2可為橢圓、圓、雙曲線或拋物線等，由于空間球的投影圖像應滿足輪廓連續的條件，因此，C2為橢圓或圓，又m2+n2≠0，結合式(3)知a11=a22和a12=0不可能同時成立，即C2不是圓，所以C2為橢圓。

然后證明C2為一長軸所在直線過原點的特征橢圓。這種特征橢圓是由一個長軸位于軸上的橢圓繞原點旋轉某一角度得到的。如圖3所示，像平面π內，橢圓C由橢圓C0旋轉θ得到，θ記為轉向角且θ∈(-π,π]，逆時針為正。設C0半長軸為a，半短軸為b，中心為(d,0)，且d>0，記為偏心距。將C0繞原點旋轉θ，結合坐標系旋轉變換關系，可得橢圓C方程為：

(4)

圖3　長軸所在直線過原點的橢圓Fig.3　Ellipse with major axis through origin

令橢圓C的參數為：

(5)

將式(5)代入式(4)可得：

F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 ，

其中：

(6)

比較橢圓參數式(3)和式(6)可知，它們只差一個系數k。若k≠0，則說明C2為一長軸所在直線過原點的特征橢圓。

綜上所述，空間球像面投影為一長軸所在直線經過像面中心的橢圓，長軸所在直線為y=xtanθ，由式(5)可知θ=arctan (n/m)。當像面中心點位于成像橢圓內時，則它位于長軸線段上；當像面中心點位于成像橢圓外時，則它位于橢圓長軸的延長線上。

球心S0的空間坐標為(xS0,yS0,zS0)，設其投影點S2坐標為(xS2,yS2,f)，根據投影關系有：

由于球心投影點肯定在橢圓內，所以S2位于橢圓C2的長軸線段上。

證畢。

3　球形靶標中心成像點定位

上節得到的球形靶標成像特性對球心成像點定位算法具有指導意義?；谏鲜龆ɡ淼亩ㄎ凰悸窞椋菏紫葘η蛐伟袠顺上襁吘夵c進行長軸所在直線過原點的特征橢圓擬合，得到特征參數(a,b,θ,d)；然后根據這些參數并結合透視投影幾何模型，求出位于長軸線段上的球心成像點位置。

如圖1所示，O11為O1在面XOY上的投影點，則有∠XOO11=θ，說明橢圓C2的長軸在平面π1內。設長軸兩端點分別為P，Q，由上文知球心投影點S2位于長軸線段PQ上，如圖4所示，其中O2是橢圓C2的形心，線段PQ的中點。

若特征橢圓參數：半長軸|PO2|=|QO2|=a、轉向角θ、偏心距|OUO2|=d均已求得，設原點OU到S2的距離|OUS2|=l，因為OS2是∠POQ的角平分線，則有：

(7)

由于球心投影點S2位于直線y=xtanθ上，所以其坐標為：

(8)

式(7)和式(8)即為球形靶標中心投影點坐標的理論表達式。

圖4　球心投影點和橢圓形心的位置關系Fig.4　Position relationship between projection point of sphere center and center of projection ellipse

由于特征橢圓參數的求解需要橢圓的輪廓信息，所以靶標圖像邊緣提取精度直接影響到球心成像點的定位精度，因此高精度的邊緣提取至關重要。一般用于視覺系統標定的球靶標常常選取面型精度較高的陶瓷標準球，如圖5所示。

圖5　陶瓷標準球Fig.5　Ceramic standard ball

根據光學系統的成像特性，球形靶標成像橢圓邊緣灰度值變化理論上服從高斯分布[11]，所以采用高斯插值思想提取橢圓邊緣信息。首先進行像素級邊緣定位，利用Canny算法對目標橢圓進行邊緣檢測，然后用輪廓跟蹤法將邊緣信息提取出來。然后進行亞像素提取，對Canny算法提取的像素級邊緣點及其沿梯度方向的鄰近點進行灰度值的高斯曲線擬合，求出亞像素級邊緣坐標，并進行曲率濾波[12]，剔除邊緣噪聲點，進而實現橢圓邊緣的高精度定位。圖像邊緣定位結果如圖6所示。

圖6　球形靶標圖像邊緣定位Fig.6　Edge positioning of spherical target image

綜上所述，球形靶標中心成像點定位方法的步驟如下：

(1)處理圖像，基于高斯插值算法提取橢圓邊緣亞像素坐標，并進行相機畸變補償；

(2)根據邊緣坐標擬合長軸所在直線過原點的特征橢圓，標準方程為式(4)，采用基于廣義逆的最小二乘算法求解特征橢圓參數(a,b,θ,d)；

(3)結合相機焦距f，代入式(7)和式(8)求解球心投影的精確坐標值。

4　球心投影畸變誤差仿真

由于空間球與攝像機光心組成的空間曲面是一個正圓錐，其投影圖像可視為該正圓錐內任意位置內切球的圖像，所以正圓錐的形狀參數半頂角α是影響球心投影畸變誤差的一個重要參數。由上節可知，半頂角α=arcsin(R0/L0)，其大小由空間球的半徑和它到相機的距離決定，此外，空間球相對攝像機的視場位置也會影響球心投影畸變誤差。

基于針孔成像模型，分別仿真半徑為10，20 mm的球在距離相機1 mm處平面內，以及半徑為20 mm球在距相機1.5 m處平面內時，球心投影畸變誤差的情況。相機焦距f設為8 mm，仿真結果如圖7所示，x軸和y軸代表球所處的視場位置，橫縱視場角在[-π/4,π/4]，z軸代表畸變?？梢钥闯?，仿真條件下球心投影畸變誤差平均能達到μm級，與目前常用圖像傳感器的像元尺寸是同一個數量級，所以要實現精準測量和標定，球心投影畸變誤差不可忽視。

通過比較圖7(a),7(b)和7(c)可知：

(1)當空間球大小和其與相機的距離固定時，球心投影畸變大小與其所處視場角有關，視場角越大，畸變越大；

(2)當空間球與相機距離及所處視場角一定時，球的半徑越大，球心投影畸變越大；

(3)當空間球尺寸及所處視場角一定時，球與相機的距離越小，球心投影畸變越大。

根據上述仿真結果，并結合基于球形靶標的測量和標定，可以得到以下結論：(1)測量或標定過程中，應當盡量減小空間球所處的視場角，一方面是由于視場角較小時，球形畸變誤差本身會比較??； 另一方面， 相機鏡頭在小視場處的畸變較小，有助于提高精度。(2)雖然減小球半徑和增大球到相機的距離會減小球心投影畸變誤差，但同時會造成空間球在像面上的投影范圍過小，參與成像的有效像元數較少，圖像邊緣信息受噪聲影響相對較大，球心投影點定位精度也將受到影響。所以當系統精度要求較高，需要對球形靶標中心投影誤差進行精確補償時，除了要盡量減小視場角外，還可以在不影響測量的條件下適當增大球半徑或減小球到相機的距離，使空間球在像面上的投影范圍增大，獲得豐富的圖像信息，以便于橢圓邊緣的準確提取及球心投影點的精確定位。

(a)空間球半徑為10 mm，距離相機1 m(a) Sphere radius of 10 mm and distance to camera of 1 m

(b)空間球半徑為20 mm，距離相機1 m(b) Sphere radius of 20 mm and distance to camera of 1 m

(c)空間球半徑為20 mm，距離相機1.5 m(c) Sphere radius of 20 mm and distance to camera of 1.5 m圖7　球心投影畸變誤差仿真Fig.7　Simulation of projection distortion error of sphere center

5　實　驗

為驗證本文球心投影定位方法的效果，進行了相機和三坐標測量機位姿關系的標定實驗，標定系統示意圖如圖8所示。相機采用德國Ximea的MQ013MG-E2，分別率為1 280×1 024，鏡頭型號為VTS0614-M，標稱焦距為6 mm，相機內參提前完成標定[14]；CMM平臺是?？怂箍倒镜腉lobal classic SR07-10-07，測量范圍為700 mm×1000 mm×660 mm；靶標球采用的是直徑為25 mm的RENISHAW陶瓷標準球，直徑變動量小于0.5 μm。

圖8　相機和三坐標測量機位姿關系標定系統示意圖Fig.8　Schematic diagram of calibration system for altitude relation between camera and CMM

首先，調整相機位姿使CMM工作區位于相機視場內，然后把標準球依次擺放于CMM平臺上10個位置，使其均布于相機視場內，并用CMM對每個位置下的球心坐標(xMi,yMi,zMi)(i=1,2,…,10)進行精確的定位測量，同時拍攝各個位置下球靶標的圖像，提取球心在像面的投影點坐標(xUi,yUi)(i=1,2,…,10)。

設相機和CMM坐標系之間的旋轉平移矩陣分別為R、T，球心在相機坐標系下的坐標為(xci,yci,zci)，則有:

(9)

其中:(α,β,γ)為旋轉角，(tx,ty,tz)為平移量。式(9)可表述為，以右手螺旋方向為正旋轉CMM坐標系，先繞x軸旋轉角度α，再繞y軸旋轉角度β，最后繞z軸旋轉角度γ，再沿當前坐標系平移(-tx,-ty,-tz)，此時CMM坐標系與相機坐標系重合。由于：

(10)

其中f為相機焦距。聯立式(9)和式(10)，基于廣義逆的最小二乘算法可求得相機坐標系和CMM坐標系之間的旋轉平移關系[R|T]=(α,β,γ,tx,ty,tz)，完成標定。

5.1定位方法精度實驗

保持CMM工作平臺位于相機視場內，依次調整相機位姿重復10組標定實驗，分別利用傳統方法(忽略球心投影畸變誤差)和本文方法定位球心投影點坐標，參與求解相機和CMM之間的位姿關系。

根據標定出的位姿關系，可求解出各標準球球心依次在相機坐標系下的坐標：

定義標準球球心在像面上的重投影誤差為：

計算球心重投影誤差FRT，實驗結果如圖9所示。

圖9　球心重投影誤差Fig.9　Re-projection error of sphere center

從圖9可以看出，本文的球心成像點定位方法要比傳統定位方法的重投影誤差小。經計算，基于傳統定位方法求出的平均重投影誤差為0.916 μm，基于本文方法求出的平均重投影誤差為0.585 μm，平均誤差減少了36%左右。

實際上，FRT大小同時反映了兩坐標系之間位姿關系求解的精度高低，FRT越小，位姿參數求解精度越高。上述實驗驗證了在相同測量條件下，本文定位方法的精度明顯優于傳統方法。

5.2定位方法重復性實驗

保持相機位姿固定，即其與CMM坐標系的旋轉平移關系保持不變，重復10組標定實驗，組與組之間保證球的位置隨機分布。然后，分別采用本文方法和傳統方法求解相機和CMM坐標系之間的位姿關系，并求取10組[R|T]=(α,β,γ,tx,ty,tz)各個參數的標準差(σα,σβ,σγ,σtx,σty,σtz)。定義位姿參數穩定性為：

標定實驗結果如表1所示。

表1　本文方法RT標定結果

表2　傳統方法RT標定結果

根據表1數據并結合上述穩定性指標的定義計算得出，本文定位方法RT參數穩定性為(1.768×10-7rad,0.317 mm)，傳統定位方法RT參數穩定性為(2.893×10-7rad,0.501 mm)。對比兩組數據，相同測量條件下，本文方法求解出的旋轉參數和平移參數穩定性較傳統方法均大約提升了40%，由此表明該定位方法的魯棒性較強。

6　結　論

本文建立了球形靶標在攝像機系統下的透視投影模型，結合空間解析幾何理論，證明了空間球像面投影為一長軸所在直線過圖像中心的特征橢圓，并且球心投影點位于長軸上；推導出球心投影點坐標的計算公式，然后結合測量實際提出球形靶標中心成像點的高精度定位方法；仿真分析了球心投影畸變誤差的影響因素；最后進行了相機坐標系與CMM坐標系之間的位姿關系標定實驗。實驗結果表明，相同測量條件下，與傳統球心投影點定位方法相比，本文方法的球心重投影平均誤差減少了36%，位姿參數穩定性提高了40%。該定位方法具有精度高、魯棒性強的優點。

本文提出的定位方法消除了球心投影畸變誤差的影響，與現有的畸變誤差補償方法相比，克服了模型建立復雜、適用性差、精度低的缺點，可廣泛應用于存在球形靶標中心投影點定位問題的視覺測量中。不過需要說明的是，雖然該定位方法在理論上不存在誤差，但實際應用中球心成像點的定位精度還會受圖像質量和攝像系統參數精度的影響，所以要進一步提高精度，還需考慮多方面因素并進行綜合優化。

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劉書桂(1954-)，男，湖南華容人，教授，博士生導師，1982年于陜西機械學院獲得學士學位，1988年于日本東京工業大學獲得博士學位，主要從事智能坐標測量、自動測量與控制、傳感與信息處理等方面的研究。E-mail: sgliu@tju.edu.cn

宋宣曉(1992-)，男，河南新鄉人，碩士研究生，2014年于長春理工大學獲得學士學位，主要從事機器視覺、大尺寸坐標測量方面的研究。E-mail: songxuanxiao@tju.edu.cn

(版權所有未經許可不得轉載)

High-precision positioning of projected point of spherical target center

LIU Shu-gui*, SONG Xuan-xiao, HAN Zhen-hua

(StateKeyLaboratoryofPrecisionMeasuringTechnology&Instruments,TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

To improve the positioning precision of the projected point for a spherical target center, the imaging theory of spherical target and positioning method of the spherical target center were investigated. By establishing the imaging model of spherical target and combining spatial analytic geometry theory, the perspective projection properties of spherical target were verified and an exact expression for the position of projection point of sphere center was deduced. Finally, by combining with an actual measurement, the precision positioning method for the projected point of spherical target center was given. Furthermore, an error model for projected spherical central distortion was established on the basis of the simulation experiment, and corresponding effect factors were analyzed. With the use of a ceramic standard ball, calibration experiments of the pose parameters of a vision system were implemented. It shows that the re-projected error of the spherical target center from the proposed method has less 36% averagely than that of the traditional method, and the stability of the pose parameters is increased by 40% relatively. These results verify that the proposed positioning method for the projected point of spherical target center has high precision and robustness, and it can be widely used in visual calibration or measurement based on spherical targets.

spherical target; visual measurement; positioning of spherical center projection; perspective transformation; camera calibration

2016-04-27；

2016-06-14.

天津市自然科學基金重點項目(No.13JCZDJC34500)；國防科工局技術基礎渠道科研項目(No.JSJL2014206B001)

1004-924X(2016)08-1861-10

TP391；TP242.6

A

10.3788/OPE.20162408.1861