“數學建模”在物理學習中的運用

■天津市瑞景中學 周耀才

“數學建模”在物理學習中的運用

■天津市瑞景中學 周耀才

一、問題的提出

高中學生普遍反映，物理內容課上能聽懂但題不會做，遇到問題不知從何處入手。學生所缺少的是研究物理問題的思維方法，而方法是隱性的，它的形成需要一段較長的時間，我們的目的就是幫助學生建構解決物理問題的方法。

為此，我們認真分析了高中物理難學的原因：

（一）思維離不開具體經驗

學生由初中升入高中，從認知角度看，開始由具體運算階段進入形式運算階段，開始從具體事物中解脫出來，能在頭腦中將形式和內容區分開來，能初步運用語詞或符號進行邏輯思維，抽象思維能力有些發展。但是，思維還常常與具體事物相聯系，離不開具體經驗，缺乏概括能力，抽象推理能力尚未發展，不能很好地進行命題運算。

（二）高中數學知識的編排明顯落后于物理的學習進度

高一物理開始后，很快學習矢量這一概念，而數學上向量的概念在高中必修四才講述，學生理解物理矢量的概念很困難；高一物理用V-t圖求加速度，卻無法直接用直線的斜率來描述加速度，因為數學課本上的直線方程的斜率放在高二上學期才進行講述。數學知識的編排明顯落后于物理學習的節奏，致使學生理解物理概念不到位，較快接受比值定義法、極限法、微元法處理物理問題很困難。

（三）物理學習的一個特點就是數學運算

進入高中后，物理學習上量化計算陡然增多，而學生的數學應用能力往往較差，不能很好地推理、分析和綜合。有時，即使學生對題目考查的物理知識點非常了解，但由于學生數學知識運用水平低，不能很好地使用題目給出的已知條件，找到各個量之間的函數關系，快速地解決問題，導致物理學習很困難。

二、理論依據

斯皮羅認為，建構包含兩方面的含義：其一，對新信息的理解是通過運用已有經驗，超越所提供的信息而建構成的；其二，從記憶系統中所提取的信息本身，也要按具體情況進行建構，而不單是提取。學習者主動創造意義而不是獲得意義，而教學的作用則是向學習者展示如何建構知識，促進互相合作，分享交流不同認識。幫助學生建構意義就是要幫助學生對當前學習內容所反映的事物的性質、規律以及該事物與其他事物之間的內在聯系達到較深刻的理解。

課堂教學在幫助學生獲得信息、知識、技能、思維方式及表達方式時，也在教學生如何學習；教學追求的目標和結果，應由學生的“學”體現出來；教學效果的好壞，不僅要看它是否達到了具體的目標（如知識、技能、信息），而且要看它是否能夠提高學生的學習能力。

在此理念的基礎上，我們簡化并歸納出同類問題的研究模式，提煉出“數學建模”解決物理問題的思想方法，歸納出建模法的若干環節，使同類問題的思維程序化，從而有目的地培養和提升學生運用“數學建模法”解決物理問題的能力。

三、創新過程與方法——跨學科建構知識、解決問題、形成能力

（一）指導學生正確認識數學知識與物理學習之間的聯系，強調數學為“物理學習的語言和工具”

上課伊始，我從初中物理測距談起。測量較近、較小的物體間距我們常常用刻度尺，而要測更大更遠的距離用尺子就不行了，需要用數學方法。比如，我們想測量地球與月球相距多遠，可以通過雷達對準月亮發一個脈沖信號，等到信號從月亮上反射回來，記下信號往返的時間△t，利用數學方法S=c△t，

可以較快計算出地球到月亮的距離。再如，測高大建筑物的高度，可以根據太陽光照射留下的影子，利用相似三角形對應邊成比例求得。我告訴學生，物理學研究的是物質最普遍、最基本的運動形式及其相互轉化規律，自然界各種物質的運動，在量上都是守恒的，在質上也是守恒的，于是才有了機械能守恒定律、能量守恒定律，它們最簡潔的描述就是用數學等式表達出來；而通過數學運算與邏輯推理再返回物理世界，才能解決大量的物理問題；高中物理中，大量微觀粒子組成的系統在一定條件下表現出來的不確定性，也是通過數學表征出來的。

我進一步告訴學生，數學為考察物理對象提供簡潔精確的形式化語言，提供數學分析和數值計算的方法，提供嚴密推理和邏輯證明的工具和抽象思維的能力。伽利略最早嘗試采用精確的數學分析和結合實驗數據來研究物理問題；牛頓則第一個大量地運用數學方法來系統地整理物理理論，這些物理大師們的成功都離不開數學，從而讓學生認識到數學知識對物理學習的重要性，引起學生思想上對數學知識學習的高度重視。

（二）跨學科建構模型解決物理問題

1.積極開展研究性學習。在講述新的物理概念前，把新章節中要用到的數學知識，指導學生從數學教材中一一找出來，弄明白這些知識點的數學意義，為建構數學模型做好鋪墊。

在講述矢量及運算前，我要求學生找到數學必修四課本，指導學生復習數學上的向量概念和運算法則；學習V-t圖、X-t圖前，指導學生認識直線斜率的意義；在學習力的合成與分解前，告知學生任意角的三角函數與反三角函數……在講述物理內容前，引導學生了解新章節中的數學知識，借助數學理解物理概念。

2.在物理教學過程中，對用到的數學知識，給學生做準確的示范和描述，啟發學生學會用數學語言表述物理概念，用數學方法探尋物理規律。

在講述通電導體于磁場中受安培力方向時，我恰到好處地展現空間幾何模型，尤其是帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡更是與圓的知識緊密聯系，遇到這樣的情況，我適時講解圓、弦、切線的幾何性質，給學生做準確的示范，通過加強數學基礎知識的教學為物理學習服務。

3.選取典型例題、習題，指導學生嘗試利用“數學建模”簡化物理問題、引導學生進行嚴密的邏輯推理，然后給予合理的解釋。

如追及與相遇問題，用到一元二次不等式的解法，可以建立“一元二次方程模型”，也可以由V-t圖通過計算面積、建立“圖像模型”來判斷是否追上。通過典型問題，啟發學生的思維向縱深發展，依次是：

4.創設開放性實驗室，讓學生進行實地測量、分析，在具體的情景中學會構建數學模型，體驗用建模法解決問題。

實驗室內存有生物標本，如何推算生物死亡的年代。對于這一問題，可以利用放射性衰變的規律求得。14C是β衰變核素，半衰期T=5730年，大氣中的14C與12C之比近似為一常數，由于活的生物體通過呼吸和光合作用與大氣進行碳交換，使生物體內14C和12C與大氣中有相同的比例，一旦生物體死亡，這種碳交換停止，在生物體內的碳只有衰變，沒有生成，其放射性活度將按指數規律下降。所以，只要測得死亡生物體每克碳的放射性活度，就可算出標本死亡的年代。利用放射性衰變的規律也可推算出落到地球上隕石的年齡，進而估算太陽系的年齡。

5.利用活動課，讓學生逐步嘗試構建多種數學模型，鼓勵學生交流和討論，利用建模法解決學習和生活中遇到的問題。

如圖所示，把一個真空罐放于光滑水平面上，當其右側被刺破一個小孔時，罐子將做什么運動？

對于這樣一個活生生的具體問題，如果不進行簡化是很難描述的，那么，應如何識別并建構數學模型呢？

分析可知，罐子的運動情況與跟它相互作用的空氣有關，若以真空罐和最終進入罐內的空氣組成的系統為研究對象，這一系統合外力為零，遵守動量守恒定律，可通過構建“二體碰撞”模型來處理。若沒有“人船模型”的概念，很難思考此類問題。

四、創新成果

（一）探索出解決物理問題的一個方法——“數學建模法”

歸納出“數學建模法”解決物理問題的四個環節“探究—數學建模—邏輯推理—物理解釋”。

1.探究：尋清實際問題，包括分析原型的結構、要達到什么目的以及能給我們提供什么信息，由學生對情景所反映的性質、規律以及事物之間的內在聯系達到較深刻的理解。

2.數學建模：分析處理資料，確定現實原型的主要矛盾，忽略次要因素，超越情景信息，進行科學抽象和概括，運用數學工具建立各種量之間的關系。

3.邏輯推理：根據所采用的數學工具在原有經驗的基礎上，進行嚴密的邏輯推理或求解，找出數學上的結果。

4.物理解釋：把數學上的結論返回到實際問題中去，即根據數學上的結論主動創建意義，對現實問題給予解釋，由此判斷數學模型正確與否，如有誤，進行修正。

（二）數學建模的流程是

建構數學模型解決物理問題的關鍵在于：將物理問題數學化，在分析物理情景、理解物理問題要素的基礎上，通過列表、畫圖、建立直角坐標系等方式把物理問題轉化為數學問題，建立數學模型，把文字語言翻譯成數學語言，然后對得到的數學模型進行求解，得到數學解。

（三）引入概念、建立規律時也可以通過“數學建模法”

【案例】“機械能守恒定律”的建立

思考如下幾個物理情景：

把一個小球用細線懸掛起來，把小球拉到一定高度的A點，然后放開，小球在擺動過程中，可以擺到跟A點等高的C點，如圖甲。如果用尺子在某一點擋住細線，小球雖然不能擺到C點，但擺到另一側時，也能達到跟A點相同的高度，如圖乙。

物體沿光滑曲面滑下，選取整個過程中的任意兩點A和B，如圖丙。

發現這三個過程有一些共同的特征，可引導學生建構數學模型。

素：物體受幾個力？唯有重力做功。

挖本質：重力勢能變化伴隨動能變化。

理關系：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

建立函數模型構建機械能守恒定律：在只有重力做功的物體系統內，動能與勢能可以互相轉化，而總的機械能保持不變。式中各變量間的依賴關系，用解析式清晰地表達出來。由于數學表達形式簡潔，內涵豐富，用較少的符號就能言簡意賅地說明問題，在物理概念、規律的建立過程中被廣泛采用。

五、學生的變化

該方法充分利用數學思想為物理學習服務，引導學生結合數學眼光，通過“滲透—體驗—積累—內化”的過程有目的地培養和提升學生運用“數學建模法”解決物理問題的能力，我們看到了學生的可喜變化。

（一）學生變得樂學、好學

學生的學習興趣提高了，主動提問題、主動對比、模仿建構模型。隨著力、電、磁、光、原子等物理知識的深入學習，涌現了不同的物理問題，學生建構了多種數學模型以解決這些物理問題，如：函數模型，三角模型，圖像模型，不等式模型，一元二次方程模型，圓與切線模型等，對于振動現象、波動過程常用雙曲型偏微分方程描述，對于或然現象（如核外電子的分布）用概率論與數理統計來描述……

學生學習方法發生了極大的變化。在教師的引導下，學生對學習中的問題主動探討，他們自主探究、獨立思考、分工協作的良好學習習慣基本養成。

（二）思維得到發展，能力得到培養

學生養成了自己獨立推導物理公式的習慣；對于新的數學知識，學生學會思考它在物理上的應用；當物理學習中涉及到不理解的數學運算時，學生知道主動查閱數學知識的出處，借以熟悉數學知識；對于生活中的現象，學生知道了結合數學的觀點來思考和處理；知道借助數學理解物理概念；知道采用精確的數學分析結合實驗數據來研究物理問題；知道積累數學知識和數學方法為物理學習服務。

六、思考

作為教師，為了提高學生的物理能力和水平，在教學過程中應該有目的地培養和提升學生運用數學知識和方法解決物理問題的能力，我們不僅要講述用數學知識為物理服務的技巧，也適時講述數學的精神、價值、數學對物理進步所起的作用，從而鼓勵學生從更高的境界認識數學思想、方法對物理學習