套管錯斷井?dāng)嗫趲r體損傷塊度分布數(shù)學(xué)模型

劉國勇

（大慶石油國際工程公司，黑龍江大慶163453）

套管錯斷井?dāng)嗫趲r體損傷塊度分布數(shù)學(xué)模型

劉國勇*

（大慶石油國際工程公司，黑龍江大慶163453）

目前，套管錯斷井?dāng)?shù)量逐年增加，套管錯斷后，錯斷口巖體發(fā)生損傷破碎，并由錯斷口進入井眼內(nèi)，影響油田正常生產(chǎn)，因此，錯斷井的修復(fù)工作意義重大。但由于巖體損傷破壞碎塊度大小不一，很大程度上影響了修井施工中磨銑沖砂方案的制定，降低了沖砂效率，導(dǎo)致修井周期延長，成本增加。為了對套管錯斷井?dāng)嗫趲r體破碎塊度分布規(guī)律有一個較為精確的描述，基于概率論原理，從損傷巖體彈性縱波速度入手，運用分形幾何理論，建立了新的計算巖塊分形維數(shù)的方法，豐富了傳統(tǒng)研究巖體破碎塊度分布的理論，可以更方便快捷地預(yù)測巖體損傷塊度分布，從而為套管錯斷井修井施工參數(shù)設(shè)計提供參考依據(jù)，指導(dǎo)現(xiàn)場施工快速高效的進行。

套管錯斷；巖體損傷；塊度；分布；數(shù)學(xué)模型

近年來，許多專家學(xué)者在采礦、鉆井工程方面已經(jīng)對巖體損傷破壞塊度分布進行了大量研究，但在套管錯斷井修井施工中還很少見到這一理論的研究。眾所周知，磨銑沖砂作業(yè)是套管錯斷井修井施工中的一個重要環(huán)節(jié)，在磨銑沖砂作業(yè)時，由于對井筒內(nèi)堆積巖塊的塊度大小認(rèn)識不清，導(dǎo)致在沖砂和磨銑時間的制定與沖砂液密度的調(diào)配上一直沒有理論上的指導(dǎo)，施工方案大多依據(jù)經(jīng)驗來制定。本文就是從這一問題入手，在理論上找出描述巖體破壞塊度分布的方法，指導(dǎo)修井施工方案準(zhǔn)確合理的制定。

1　巖體損傷塊度分布函數(shù)

巖體破碎后巖塊在幾何形狀和塊度分布方法都具有統(tǒng)計自相似性，從分形角度描述巖體破碎過程如下：巖體最初破碎成有限個形狀相似的次一級塊體，這些次一級塊體中的一部分又被破碎成形狀相似的更次一級塊體，此過程的每一次重復(fù)都產(chǎn)生更小的塊體。根據(jù)巖體破碎概率和相似比以及不同粒級巖塊的體積，可以得出：

式中：yk——塊度小于或等于Rk的累積體積比；

Db——破碎巖塊分形維數(shù)［1］。

2　巖體損傷破碎塊度分布分形維數(shù)計算

以往求解巖體破碎塊度分形維數(shù)時，多采用篩分的方法，這樣會耗費大量的人力物力，本文提出了一種新的計算塊度分形維數(shù)的方法。

2.1巖體損傷變量計算

巖體破碎后，內(nèi)部存在著大量裂紋、孔隙等微觀結(jié)構(gòu)，超聲波在巖體中是繞過裂隙紋、孔隙等傳播的，從而延長了傳播時間，降低了波速，因此可以根據(jù)巖體中縱波速度差異來判斷巖體損傷程度，反映巖體內(nèi)部微裂紋的發(fā)展?fàn)顩r，進而研究巖體超聲波速度變化與損傷的關(guān)系。根據(jù)損傷巖體彈性縱波速度、損傷變量和巖體力學(xué)參數(shù)三者的關(guān)系，建立巖體損傷變量與超聲波速度之間的定量關(guān)系［2］。

式中：cp0、cpi——巖體損傷前后彈性縱波速度，m/s。

巖體損傷前、后的彈性縱波速度可以通過超聲波測量得到，因而可根據(jù)（2）式實現(xiàn)對巖體損傷度的實驗測量。

2.2巖體塊度分維數(shù)的計算

假設(shè)巖體損傷為立體損傷，將損傷巖體看作是由許多體積為δV的微元所構(gòu)成，微元是巖體破裂的最小單元。以λ表示單位體積上含有損傷體元數(shù)目的數(shù)學(xué)期望，那么在體積為V的范圍內(nèi)出現(xiàn)K個損傷體元的概率可按泊松定律表示如下：

以P（V）表示在體積V內(nèi)沒有損傷的概率，以P1（ΔV）表示在ΔV內(nèi)出現(xiàn)一個損傷體元的概率，則根據(jù)損傷體元概率所滿足的泊松定律可得體積V內(nèi)沒有損傷的概率，進而得出體積V內(nèi)有損傷體元的概率密度：

因而，在體積V內(nèi)有損傷體元的概率為：

將（3）式對體積求導(dǎo)，可得巖體損傷體元的概率密度為：

若用Di來表示巖體的損傷變量（或稱損傷因子），有下式成立：

若用Di來表示巖體的損傷變量，如果令λ=1，Va則式（5）可表示為：

式中：Vm——巖體的總體積，m3；

Vd——巖體中的損傷體積，m3；

Va——巖體破碎后巖塊的平均體積，m3；

λ——巖體中節(jié)理裂隙的數(shù)目［3］。隙密

根度的據(jù)關(guān)Y a系n g為等：的研究結(jié)果，巖體損傷因子與巖體裂

式中：γ——巖體裂隙密度［4］。

由式（7）可知，巖體裂隙密度為：

根據(jù)式（8），損傷巖體內(nèi)裂隙的數(shù)目為：

將式（9）代入式（6）可得：

根據(jù)巖體破碎塊度分布函數(shù)，當(dāng)篩下量y為50%時的塊度尺寸為巖體破碎后巖體塊度分布均值，記為Ra，則有：

那么巖體破碎后的巖塊平均體積為：

將式（11）代入式（10）得：

由損傷變量的定義：

代入式（12）整理得：

將式（2）代入式（13），整理得：

根據(jù)上式即可求出巖體損傷破碎后的塊度分形維數(shù)［5］。

由式（14）可知，塊度分形維數(shù)是巖體彈性縱波速度的函數(shù)，即：

結(jié)合式（1），可得巖體破碎塊度數(shù)學(xué)模型為：

3　巖體損傷塊度模型的綜合應(yīng)用

3.1巖體損傷破碎塊度分維數(shù)計算

在塊度分布維數(shù)計算模型中，巖石在未損傷時彈性縱波速度為4500m，根據(jù)巖體損傷破碎塊度分維數(shù)計算模型，就可以得到不同損傷程度下巖體彈性縱波速度與損傷變量和巖體塊度分維數(shù)之間的關(guān)系，如圖1所示。

圖1　巖體彈性縱波速度與操作變量及塊度分維數(shù)關(guān)系

從圖1可以看出，當(dāng)巖體發(fā)生損傷后，巖體的彈性縱波速度與巖體的損傷變量呈非線性關(guān)系，彈性縱波速度越大，巖體損傷程度越??；巖體的彈性縱波速度與巖體破碎塊度分維數(shù)呈非線性關(guān)系，巖體彈性縱波速度越大，塊度分布維數(shù)越大。

圖2　不同尺寸巖塊分布示意圖

3.2巖體損傷破碎塊度分布規(guī)律

當(dāng)套管錯斷后，錯斷口巖體在井下巨大的壓差作用下，發(fā)生失穩(wěn)破碎，模擬井下條件，以套管錯斷口處的巖體為基礎(chǔ)，進行巖石加載實驗，并使用超聲波檢測技術(shù)測量損傷破壞后的巖體的彈性縱波速度，假設(shè)巖體破壞后，巖塊的大塊平均尺寸為60mm，彈性縱波速度為500m/s，代入破碎巖塊塊度分維數(shù)計算模型，可以得出在這種條件下的塊度分形維數(shù)，結(jié)合塊度分形維數(shù)與巖體破碎塊度累積量的關(guān)系式，可以得出破碎巖塊累積體積百分?jǐn)?shù)曲線與不同塊度等級所占的體積百分?jǐn)?shù)。

將損失破碎后的巖塊按＜5mm，5～10mm，10～15mm，15～20mm，20～30mm，30～40mm，40～50mm，＞50mm八個尺寸等級進行計算分析，每個尺寸等級所對應(yīng)的體積百分?jǐn)?shù)不同，分別為7%，9%，12%，17%，23%，15%，9%，8%，如圖2所示，破碎塊度尺寸在15～30mm之間的體積累積百分?jǐn)?shù)比重較大，說明巖體破碎后粒徑大小多在此范圍內(nèi)，巖塊尺寸等級分布整體基本呈二次拋物線形式。

4　結(jié)論

（1）引入損傷巖體彈性縱波速度，建立巖體塊度分維數(shù)計算模型，提出一種計算巖體破碎塊度分布的方法。

（2）當(dāng)巖體發(fā)生損傷破壞后，巖體的彈性縱波速度與巖體破碎塊度分維數(shù)呈非線性關(guān)系，巖體彈性縱波速度越大，塊度分布維數(shù)越大。

（3）巖體破壞后，每個尺寸等級所對應(yīng)的體積百分?jǐn)?shù)不同，中間尺寸等級巖塊體積百分?jǐn)?shù)比重較大，整體基本呈二次拋物線形式。

［1］張繼春.巖體爆破的塊度理論及其應(yīng)用［M］.西南交通大學(xué)出版社，2001：52-54.

［2］Grady D E，Kipp M E.Dynamic Rock Fragmentation.In：Atkinson B K eds，F(xiàn)racture Mechanics of Rock，San Diego，California：Academic Press，1987：429-475.

［3］趙斌，于亞倫.損傷巖體破碎塊度分布的預(yù)測［J］.金屬礦山，1997（5）：17-19.

［4］Yang R，Bawden W F，Katsabanis P D.A New Constitutive Model for Blast［J］.Int J Mech Min Sci&.Geomech Abstr，1996，33（3）：245-254.

［5］Zhao Zhongyan，et al.Fractal Analysis Applied to Calculastic Rocks［J］.Technoloph-ysics，1990，178：373-377.

TE931

A

1004-5716（2016）10-0024-03

2015-12-03

2015-12-08

國家自然科學(xué)基金（水力壓裂巖體損傷演化與微裂縫形成機理研究No.50974028）。

劉國勇（1983-），男（漢族），山東東明人，工程師，現(xiàn)從事石油鉆掘技術(shù)工作。