淺談“一題多解”與“多題一解”

喻秋葉

在新一輪數(shù)學(xué)課程改革從理念滲透到內(nèi)容實(shí)施的過(guò)程中，教師在觀念和意識(shí)上有了很大的變化。在章節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，需要設(shè)計(jì)科學(xué)、合理的解題教學(xué)環(huán)節(jié)，并且設(shè)置適量而貼切的解題訓(xùn)練，這也是培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維、掌握基本技能的重要途徑。無(wú)論是教學(xué)實(shí)際的需要，還是素質(zhì)教育的訴求，教師都必須面對(duì)各種蜂擁而至的數(shù)學(xué)問(wèn)題，選擇合適的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從“題海”中解脫。針對(duì)這種教學(xué)要求，教師可以采用“一題多解”與“多題一解”的變式教學(xué)方式，幫助學(xué)生逐步地提升思維能力，掌握解題技能。

根據(jù)復(fù)習(xí)課的特點(diǎn)，在學(xué)生已經(jīng)掌握了一定的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的前提下，教師需要進(jìn)一步提升學(xué)生的邏輯推理、發(fā)散思維、歸納遷移等數(shù)學(xué)能力。筆者通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，將從三個(gè)方面，簡(jiǎn)單剖析“一題多解”與“多題一解”是如何在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中發(fā)揮其特有的教學(xué)功能的。

一、一題多解，發(fā)散思維

對(duì)于復(fù)習(xí)課而言，典型例題的選取與講解至關(guān)重要，為了提高例題的使用價(jià)值，教師需要引導(dǎo)學(xué)生利用多種方法，從多種角度去思考問(wèn)題，并通過(guò)多角度、多層次的探索，來(lái)提升學(xué)生思維的廣闊性，提高他們的解題能力。

【案例1】已知，，求。

解法1：三角公式求解

，再聯(lián)立解得，，。

解析①：根據(jù)公式，運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系中平方關(guān)系，直接求出，再求解。

解法2：公式正、逆用

，兩邊平方得

解析②：直接利用公式展開(kāi)，平方后公式的逆用得值。

解法3：轉(zhuǎn)換與方程思想求解

因?yàn)椋?<，所以；

；

由 得，；

解析③：直接法，利用化歸思想先求出，再結(jié)合方程求出；再代入公式求解。

解法4：轉(zhuǎn)化與化歸思想求解

因?yàn)椋?/p>

解析④：關(guān)鍵找到與之間的聯(lián)系，主要從和、差、倍角三類關(guān)系去找已知角和未知角之間的聯(lián)系。

【評(píng)析】在本例題的講評(píng)過(guò)程中，充分發(fā)揮了“一題多解”的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，前兩種解法鞏固了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，后兩種解法拓展了學(xué)生的思維空間，這正是符合了張奠宙先生所提出的“在打好學(xué)生‘雙基的基礎(chǔ)之上，謀求發(fā)展”的教育教學(xué)理念。

二、一題多變，把握本質(zhì)

在復(fù)習(xí)課中，我們時(shí)常設(shè)計(jì)如下的教學(xué)模式：由一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)變式，將一類問(wèn)題展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生順著思維的繩索不斷攀爬，而整段思維的繩索都系于同一源頭，這使得學(xué)生在整個(gè)思維的過(guò)程中不斷歸納與小結(jié)，從而得出這類題的基本思路。這就是“一題多變”的教學(xué)過(guò)程，因這類題有著相同的題根，故而屬于“多題一解”的變式范疇。

【案例2】已知，向量與的夾角為60°，求的值。

教師：大家能夠迅速地給出該題的答案嗎？

學(xué)生：==0

【評(píng)析】通過(guò)該題，讓學(xué)生在實(shí)踐中自發(fā)、主動(dòng)地復(fù)習(xí)了向量數(shù)量積的定義。

【變式1】已知，且向量與垂直，求向量與的夾角。

學(xué)生1：由數(shù)量積公式，得夾角公式，算出向量與的夾角為60°。

【評(píng)析】上述解法實(shí)際上給出了求兩個(gè)向量夾角的具體方法，下面繼續(xù)通過(guò)變式，讓學(xué)生的思維繼續(xù)攀爬。

【變式2】已知，向量與的夾角為60°，求向量與的夾角。

學(xué)生2：可以使用甲的方法，先求出和與的數(shù)量積·（）=4，同上方法再用夾角公式求出其夾角為60°。

學(xué)生3：可根據(jù)題意畫(huà)一張圖，發(fā)現(xiàn)，和恰好構(gòu)成一個(gè)正三角形，很快就求出來(lái)了。同時(shí)我根據(jù)這個(gè)圖還可以求出向量與的夾角為30°。

【評(píng)析】教師在使用“多題一解”的教學(xué)思路的同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生“一題多解”，利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)開(kāi)闊他們的思路，并借助于平面幾何知識(shí)進(jìn)行快速解題，從而掌握向量的本質(zhì)，激發(fā)求知欲。

從上述案例中，我們不難看出在“一題多變”的同時(shí)，教師可以交叉使用“一題多解”與“多題一解”來(lái)推進(jìn)教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生在把握住問(wèn)題的本質(zhì)的同時(shí)，通過(guò)實(shí)踐來(lái)不斷復(fù)習(xí)知識(shí)、訓(xùn)練思維。

三、多題一解，歸納遷移

在復(fù)習(xí)課中，往往需要學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)進(jìn)行歸納和遷移，而“多題一解”的教學(xué)功能就可以很輕松地幫助教師完成這一任務(wù)。

【案例3】已知，求的最大值和最小值。

師：能不能化成單名單次的函數(shù)。

生（思考后）：不能化。

解析：

所以

變成這種類型，可以將看成整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，繼而可以結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法，求該函數(shù)的最值。

令的最大值為，最小值為6。

【評(píng)析】三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，不僅可以利用一般函數(shù)的求解方法，還可以利用不等式等知識(shí)交匯命題，因此解決這類問(wèn)題需要熟悉相關(guān)的知識(shí)，并進(jìn)行逐步地分析與轉(zhuǎn)化，將函數(shù)及不等式的相關(guān)知識(shí)遷移至此，利用其單調(diào)性和不等式的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行研究。在復(fù)習(xí)課中，利用“多題一解”進(jìn)行變式教學(xué)，可以讓學(xué)生有梯度地深入難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將一些經(jīng)過(guò)遷移的交匯知識(shí)進(jìn)行歸納與總結(jié)，能夠有效地提高教學(xué)的實(shí)效性。

處身于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一線教師，不能一直單一地使用某種教學(xué)方法或途徑，需要根據(jù)具體的教學(xué)要求與學(xué)情，將各種教學(xué)方式進(jìn)行立體交叉應(yīng)用，在教學(xué)中充分利用“一題多解”與“多題一解”，這樣既有利于學(xué)生對(duì)交匯知識(shí)的理解與掌握，也可以幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地訓(xùn)練如發(fā)散、歸納、轉(zhuǎn)化等各種類型的數(shù)學(xué)思維方法。