基于點源解的偏心井試井典型曲線分析

姜瑞忠， 郜益華， 孫召勃， 何吉祥， 滕文超

( 1. 中國石油大學(華東) 石油工程學院，山東 青島　266580；　2. 中海石油(中國)有限公司 天津分公司，天津　300452 )

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基于點源解的偏心井試井典型曲線分析

姜瑞忠1， 郜益華1， 孫召勃2， 何吉祥1， 滕文超1

( 1. 中國石油大學(華東) 石油工程學院，山東 青島266580；2. 中海石油(中國)有限公司 天津分公司，天津300452 )

直井試井一般假設井位于地層中心，在實際試井測試過程中很難保證。利用點源理論、疊加原理、鏡像原理給出偏心點源解，以及外邊界封閉、定壓的圓形油藏中偏心井的線源解，繪制偏心井試井的典型壓力曲線并分析偏心距對試井典型曲線的影響。結果表明：對于外邊界封閉和定壓油藏試井曲線偏心距的存在使邊界響應提前出現(xiàn)；與井位于地層中心時的情況不同，考慮偏心距后外邊界封閉油藏的邊界響應可劃分為封閉邊界響應擴大階段和整個封閉邊界響應階段；考慮外邊界定壓油藏偏心距后，邊界響應體現(xiàn)出壓力導數下降變緩特征。

偏心井； 線源解； 典型壓力曲線； 偏心距； 邊界響應

0　引言

目前，考慮外邊界條件的圓形地層直井試井分析一般均假設井位于地層中心[1-9]。在實際試井測試中由于地層條件存在復雜性，很難出現(xiàn)井位于地層中心的理想情況，因此有必要對偏心井問題進行研究。Muskat M、葛家理等利用鏡像反映法得到圓形地層考慮外邊界條件的偏心井穩(wěn)定產量公式[10-11]，劉洪等采用邊界元方法研究封閉地層中偏心井的不穩(wěn)定產量變化[12]，但關于偏心井不穩(wěn)定試井的研究極少。

筆者采用偏心距描述偏心井在地層中的位置，利用點源理論得到外邊界定壓和封閉油藏中偏心井的線源解，從而得到偏心井試井問題的解析解和典型試井曲線，為偏心井試井分析提供依據。為驗證模型的正確性，與劉洪等采用邊界元方法所得結果[12]進行對比，并將文中的模型退化為井位于地層中心的情況，與Ozkan E給出的井位于地層中心的線源解[13]進行對比，分析偏心距對考慮外邊界條件試井曲線的影響。

1　模型建立及求解

1.1物理模型

考慮單層、均質外邊界封閉或定壓圓形油藏中一口偏心井的情況，見圖1。模型基本假設：

(1)油藏水平均質，厚度為h，外邊界半徑為re，開井生產前均勻分布的地層壓力為pi；

(2)地層流體、巖石微可壓縮，流動符合達西定律；

(3)井位于油藏內任意位置，采用偏心距ra描述井的位置；

(4)井可視為線源，以定產量q生產，且井在整個油層內射孔生產；

(5)忽略重力影響；

(6)考慮表皮因子和井筒存儲效應的影響。

1.2數學模型及模型求解

在球坐標系下，偏心點源的滲流微分方程為

(1)

圖1　外邊界封閉或定壓油藏偏心井示意Fig.1 Schematic diagram of eccentric well in reservoir with closed boundary or constant pressure boundary

瞬時點源的內邊界條件為

(2)

油藏初始條件為

(3)

外邊界條件：

(1)定壓外邊界

(4)

式中：re為柱坐標系下從油藏中心計起的外邊界半徑。

(2)封閉外邊界

(5)

頂底邊界封閉

(6)

將無因次變量代入式(1-6)并進行拉普拉斯變換,拉式空間下的瞬時偏心點源模型為

(7)

無因次瞬時點源內邊界條件為

(8)

頂底邊界封閉

(9)

外邊界條件：

(1)定壓外邊界條件

(10)

(2)封閉外邊界條件

(11)

式(10-11)中：reD為外邊界無因次半徑。

由點源理論[13-16]知，瞬時偏心點源模型對應的連續(xù)偏心點源解可寫成

(12)

在瞬時偏心點源模型的基礎上，結合疊加原理、鏡像原理可得無窮大外邊界的連續(xù)偏心點源解為

(13)

(14)

式中：Ik為k階第一類虛宗量貝塞爾函數;Kk為k階第二類虛宗量貝賽爾函數；a為系數。

將式(14)代入式(13)可得

(15)

(16)

(17)

式中:ξk、ζk為待定系數。

此時，有

(18)

(1)對于封閉外邊界油藏，有

(19)

(20)

(2)對于定壓外邊界油藏，有

(21)

(22)

對于封閉邊界油藏偏心線源解為

(23)

對于定壓邊界油藏偏心線源解為

(24)

當考慮井筒存儲效應和表皮效應時，利用杜哈美原理[18]可得

(25)

圖2　封閉邊界偏心井不穩(wěn)定產量結果對比Fig.2 Comparison of transient rate for eccentric well in reservoir with closed boundary between Liu's study and results in this paper

對式(25)利用Stehfest數值反演方法進行反演，即可得到真實空間的偏心井井底壓力解。

2　模型驗證

(26)

劉洪等應用邊界元方法研究外邊界封閉時偏心井不穩(wěn)定產量變化[12]。為驗證模型，利用文中模型及式(26)做出封閉邊界條件下不穩(wěn)定產量變化與劉洪等所得結果進行對比，見圖2(實線為文中模型所得結果；點線為劉洪等利用邊界元法所得結果)。

由圖2知：文中得到的封閉邊界偏心井不穩(wěn)定產量解析解與劉洪等利用邊界元方法得到的結果一致，在一定程度上驗證模型的正確性。

另外，為驗證模型的正確性，令模型中偏心距raD=0，做出井位于地層中心時的壓力及壓力導數曲線，與Ozkan E給出的井位于地層中心線源解[11]進行對比。為方便對比，將Ozkan E給出的線源位于地層中心的解[11]轉化為文中給出的無因次壓力形式，結果見圖3和圖4。

對于封閉外邊界，有

(27)

對于定壓外邊界，有

(28)

由圖3和圖4知：當偏心距raD=0時，文中模型可以退化為井位于地層中心時的試井模型，兩者所得結果相同，再次驗證模型的正確性。

圖3　封閉外邊界典型壓力圖版對比Fig.3 Comparison of type pressure curve for reservoir with closed boundary

圖4　定壓外邊界典型壓力圖版對比Fig.4 Comparison of type pressure curve for reservoir with constant-pressure boundary

3　壓力圖版分析

3.1典型圖版

根據文中模型做出外邊界封閉和定壓時的偏心井試井典型壓力曲線，并與井位于地層中心(raD=0)的典型曲線進行對比，見圖5和圖6。

圖5分別給出封閉邊界條件下不考慮偏心距(raD=0)時外邊界reD=1 000、200，以及考慮偏心距raD=800，而外邊界為reD=1 000時的壓力及壓力導數曲線。由圖5可見，考慮偏心距后邊界響應提前出現(xiàn)。另外，不考慮偏心距時封閉邊界的響應特征是壓力導數斜率為1，而考慮偏心距后封閉邊界可分為2段：封閉邊界響應擴大段，偏心井壓力傳播到部分邊界，該階段壓力導數上升，但斜率不為1；整個封閉邊界響應階段，偏心井壓力完全傳到邊界，該階段壓力導數斜率為1。因此，考慮偏心距后圓形封閉邊界油藏直井試井的流動階段可劃分為5個階段：(1)早期純井筒存儲階段；(2)過渡階段；(3)徑向流階段；(4)封閉邊界響應擴大階段；(5)整個封閉邊界響應階段。

圖6分別給出定壓邊界條件下不考慮偏心距(raD=0)時外邊界reD=1 000、200，以及考慮偏心距raD=800而外邊界為reD=1 000時的壓力及壓力導數曲線。由圖6可見，考慮偏心距的主要影響體現(xiàn)在邊界反映階段，偏心距后邊界響應提前出現(xiàn)。另外，考慮偏心距后邊界響應特征也明顯不同，對于定壓邊界，邊界響應的特征為壓力導數下降，不考慮偏心距時不同外邊界半徑下的邊界響應基本平行，而考慮偏心距后壓力導數的下降變緩，壓力下降速率最后趨于相同。與封閉邊界不同，定壓邊界油藏考慮偏心距后其邊界響應沒有明顯分界線，流動階段劃分4個階段：(1)早期純井筒存儲階段；(2)過渡階段；(3)徑向流階段；(4)定壓邊界反映階段，在偏心距的影響下壓力導數下降變緩。

圖5　封閉邊界下偏心井典型壓力圖版Fig.5 Type pressure curve of eccentric well in reservoir with closed outer boundary

圖6　定壓邊界下偏心井典型壓力圖版Fig.6 Type pressure curve of eccentric well in reservoir with constant pressure outer boundary

3.2參數敏感性

為研究偏心距對外邊界封閉或定壓油藏試井曲線的影響，繪制不同偏心距下的典型壓力圖版，見圖7和圖8。

圖7　偏心距對封閉邊界油藏的影響Fig.7 Effect of offset distance on the pressure curve for eccentric well in reservoir with closed boundary

圖8　偏心距對定壓邊界油藏的影響Fig.8 Effect of offset distance on the pressure curve for eccentric well in reservoir with constant pressure boundary

由圖7可知，偏心距越大，邊界響應開始的越早，封閉邊界響應擴大段越長，該階段壓力導數的斜率越小。這是因為偏心距越大，直井距外邊界的最小距離越小，壓力開始傳播到邊界的時間越短，邊界響應開始的時間越早；同時，偏心距增大，導致壓力完全傳播到邊界的時間變晚，邊界響應早期壓力導數的斜率越小。

由圖8可知，偏心距越大，邊界響應出現(xiàn)越早，壓力導數曲線下降越緩。這是因為考慮偏心距后，壓力傳播到邊界的時間不同，偏心距越大，壓力開始傳播到邊界的時間越早，邊界響應出現(xiàn)越早；同時，偏心距越大，壓力完全傳播到邊界的時間越晚，邊界響應早期壓力導數的下降越緩。

4　實例解釋

某油田對一直井測得300 h的壓力下降數據，見圖9。該井的試井數據表現(xiàn)出偏心井特征，采用文中模型得到很好的擬合效果。經解釋，該井的外邊界半徑約為255 m，偏心距約為45 m，滲透率約為150×10-3μm2。

圖9　某封閉邊界偏心井擬合結果Fig.9 Matching result of a closed boundary eccentric well

5　結論

(1)在點源理論基礎上得到偏心井試井模型的解析解，并通過與劉洪、Ozkan E等的研究結果進行對比，驗證模型的正確性。

(2)對于封閉外邊界油藏，偏心距使邊界響應分為2段：封閉邊界響應擴大段，偏心井壓力傳播到部分邊界，壓力導數上升，但斜率不為1；整個封閉邊界響應階段，偏心井壓力完全傳播到邊界，壓力導數斜率為1。

(3)對于定壓外邊界油藏，考慮偏心距后邊界響應并沒有明顯的分界線。偏心距越大，邊界響應出現(xiàn)越早，邊界響應階段壓力導數曲線下降越緩。

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2016-02-29；編輯：關開澄

國家自然基金項目(51374227,51574265)；國家科技重大專項(2016ZX05027004-004)。

姜瑞忠(1964-)，男，博士，教授，博士生導師，主要從事油氣田開發(fā)方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.04.010

TE353

A

2095-4107(2016)04-0080-08