一種判定含參量無窮限反常積分非一致收斂的方法

王慶東

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一種判定含參量無窮限反常積分非一致收斂的方法

王慶東

（商丘師范學院 數學與信息科學學院，河南 商丘476000）

根據一致收斂與收斂的關系，得到一種判定含參量無窮限反常積分非一致收斂的方法．通過觀察被積函數中的不定式，若能找到參量關于積分變量的函數，使得相應的無窮限反常積分發散，那么含參量無窮限反常積分非一致收斂．相對于定義法和柯西準則，該方法更加簡便．

含參量無窮限反常積分；非一致收斂；不定式；發散

判定含參量無窮限反常積分非一致收斂是考核學生數學能力的重要知識點．因為用定義法需找出3個存在性的量，用柯西準則需找出4個存在性的量，加之涉及到積分運算，初學者普遍感到困難．針對這一問題，文獻[1-8]等進行了研究，但方法不夠簡便．基于此，根據一致收斂與收斂的關系，用觀察法構造發散的無窮限反常積分來判定非一致收斂，與定義法和柯西準則法相比，不失為一種簡易方法．

1方法的提出

定義[1]192若對于任意，存在（也可說成存在），使得對于，及一切，有，則稱含參量無窮限反常積分關于參量一致收斂于．

2應用實例

[1] 華東師范大學數學系．數學分析（下冊）[M]．北京：高等教育出版社，2010：192-193

[2] 陳紀修，於崇華，金路．數學分析（下冊）[M]．2版．北京：高等教育出版社，2004：384-392

[3] 周民強．數學分析習題演練（第三冊）[M]．2版．北京：科學出版社，2012：185

[4] 費定暉，周學圣．Б П吉米多維奇數學分析習題集題解（五）[M]．濟南：山東科學技術出版社，1983：589-595

[5] 孫清華，孫昊．數學分析內容、方法與技巧（下）[M]．武昌：華中科技大學出版社，2003：424

[6] 張天德，孫書榮．數學分析輔導及習題精解（下冊）[M]．延吉：延邊大學出版社，2011：258-271

[7] 李克典，馬云苓．數學分析選講（下）[M]．廈門：廈門大學出版社，2006：538

[8] 謝惠民，惲自求，易法槐，等．數學分析習作課講義（下冊）[M]．北京：高等教育出版社，2004：289

A judging method for non uniform convergence of improper integral with parameters

WANG Qing-dong

（School of Mathematics and Information Science，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，China）

According to the relationship between uniform convergence and convergence，a judging method for non uniform convergence of improper integral with parameters was obtained．If some parameter is found to be the function of integral variable by observing the infinitives in integrand function such that the corresponding integral is divergent，then the improper integral with parameters convergent non-uniformly．The method is easier than definition method and the Cauchy criterion．

improper integral with parameters；non uniform convergence；infinitive；divergence

O172.2

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.004