有關Lagrange中值定理的幾個應用實例

張喜賢1，楊吉會

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有關Lagrange中值定理的幾個應用實例

張喜賢1，楊吉會2

（1. 大連鑒開中學，遼寧 大連 116031；2. 沈陽農業大學 理學院，遼寧 沈陽 110866）

Lagrange中值定理是微積分學中最重要的定理之一，具有非常廣泛的應用，其應用結果非常深刻，通過幾個具體的應用實例來說明這個定理的重要價值．

極限；導數；Lagrange中值定理；不等式

1797年，Lagrange出版了其關于函數論的歷史性著作《解析函數論》，在這部著作中，首次給出了Lagrange中值定理，并用該定理推導出了帶有Lagrange型余項的Taylor展式[1]．然而，由于當時微積分基礎的局限性，特別是函數極限定義的含糊不清，《解析函數論》中并沒有給出Lagrange中值定理的嚴格證明方法，Lagrange中值定理的更嚴格證明后來被Kauchy和Bonnet分別完成[2]．

Lagrange中值定理[3]設函數在閉區間上連續，在開區間內可導，則存在

Lagrange中值定理具有很明顯的幾何直觀解釋：若閉區間上的連續曲線弧上除端點外處處具有不垂直于軸的切線，則這段弧上至少有一點，使曲線在該點處的切線平行于過兩端點的連線（弦）．基于這個直觀的解釋，通過構造輔助函數，利用1637年Fermat的《求最大值和最小值的方法》中求函數極值的方法可以證明Lagrange中值定理[4]，這種證明方法是眾多證法中相對簡單的一個．

Lagrange中值定理在高等數學中的應用非常廣泛，涉及函數極限的計算、函數性態的描述、判斷函數方程根的存在性、不等式的證明、證明微積分中其它重要定理、判別級數斂散性等諸多方面．

1函數極限的計算

函數的極限概念是微積分中的核心概念，求函數極限是微積分中的一個基本問題，通過應用Lagrange中值定理，能夠解決一些復雜的極限計算問題．

2函數性態的描述

函數的性態涉及函數的單調性、奇偶性、周期性、凸凹性、可微性、可積性以及函數的極值和拐點等諸多方面，利用Lagrange中值定理有時能夠很方便地對這些性態進行研究．

3判斷函數方程根的存在性

函數方程根的存在性問題一直是函數方程討論的重要內容，這往往是構造各種有效數值計算方法的前期基礎．利用Lagrange中值定理有時能夠很方便地解決函數方程根的存在性問題．

4不等式的證明

不等式的證明方法多種多樣，利用Lagrange中值定理有時能夠證明某些應用廣泛的不等式．

由Jensen不等式，也容易得到Holder不等式與Minkowski不等式等其它重要不等式[5]．

5 證明微積分中其它重要定理

利用Lagrange中值定理能夠得到微積分中其它重要的法則和定理，如在求極限中廣泛應用的L′Hospital法則，聯系微分與積分的微積分基本定理等．

6 判別級數的斂散性

無窮級數的斂散性是函數論中的重要問題，在函數表示、函數逼近以及函數值的近似計算中有諸多應用，利用Lagrange中值定理有時能夠研究無窮級數斂散性的問題．

Lagrange中值定理的發現和應用過程，是伴隨著微積分的成長史不斷深化的過程，深刻地理解和掌握該定理的發展與應用脈絡，對從全局上把握微積分具有重要意義[6-7]．至今，圍繞著Lagrange中值定理的研究仍在進行，如Lagrange中值定理中的“中值點”漸進性問題等[8]，它的更多新應用還有待被發現和總結．

[1] 吳文俊．世界著名數學家傳記（上集）[M]．北京：科學出版社，1995：700-718

[2] 梁宗巨．數學家傳略詞典[M]．濟南：山東教育出版社，1989：323-325

[3] Richard Courant，Fritz John．Introduction to Calculus and AnalysisⅠ[M]．New York：Springer-Verlag，1989：173-177

[4] 龔升，林立軍．簡明微積分發展史[M]．長沙：湖南教育出版社，2005：32-34

[5] Hardy G，Littlewood J E．Inequalities[M]．2th ed．Cambridge：Cambridge University Press，1988：21-26

[6] Kline M．Mathematical Thought From Ancient to Modern Times[M]．New York：Oxford University Press，1972：400-426

[7] 李文林．數學史教程[M]．北京：高等教育出版社，2000：176-195

[8] 馬醒花．五階拉格朗日中值定理中間點的漸近性質[J]．高等數學研究，2012，15（1）：51-52

Several application examples of Lagrange mean value theorem

ZHANG Xi-xian1，YANG Ji-hui2

（1. Dalian Jiankai Middle School，Dalian 116031，China；2. School of Science，Shenyang Agricultural University，Shenyang 110866，China）

The Lagrange mean value theorem is one of the most important theorems in calculus，and it has been applied widely，and the results of its application are very deep．The important value of the theorem was illustrated by several application examples．

limit；derivative；Lagrange mean value theorem；inequality

O172∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.018

2015-09-10

沈陽農業大學博士后基金資助項目（770212025）

張喜賢（1972-），男，遼寧鳳城人，高級教師．E-mail：fczxx@163.com

楊吉會（1973-），男，遼寧法庫人，講師，博士，從事模糊規劃與決策研究．E-mail：yangjihui@163.com