產品二維不完全預防性維修間隔期優化研究

韓玉成，賈希勝，白永生，李欣玥

（軍械工程學院裝備指揮與管理系，河北石家莊050003）

產品二維不完全預防性維修間隔期優化研究

韓玉成，賈希勝，白永生，李欣玥

（軍械工程學院裝備指揮與管理系，河北石家莊050003）

針對故障受日歷時間與使用時間共同影響的二維產品，傳統的一維預防性維修已不能滿足二維產品的實際需求，鑒于此，提出二維預防性維修概念，以日歷時間與使用時間對二維產品進行二維預防性維修決策。建立二維產品故障率函數表達式，對二維預防性維修的過程進行具體的分析，以總期望費用最小為優化目標，建立有限使用期二維不完全預防性維修費用模型。通過實例求出最佳的二維不完全預防性維修間隔期，經對比分析驗證了該模型的適用性與有效性，對二維維修策略提出了展望。

兵器科學與技術；二維不完全預防性維修；數學模型；虛擬工齡

0 引言

由于社會的不斷進步與經濟的快速發展，產品性能越來越先進，復雜性越來越高，很多復雜產品的壽命受產品的日歷時間、使用時間、固有可靠性等因素的共同影響。過久的使用時間或過高使用強度將加速產品部件的退化、增加產品的故障強度。陳相侄［1］對二維產品保證的概念進行了闡述，其中二維產品的故障就受日歷時間與使用時間的共同影響，使用時間可以是打印機的打印張數，汽車的行駛里程，飛機的起降次數等。對此類產品進行預防性維修時，不僅要按照傳統的做法給出單一的日歷時間間隔期，還要結合實際的使用情況，確定反映使用情況的使用間隔期。比如說在工業領域，家用汽車的維護保養，多采用日歷時間與行駛里程的二維約束，通常間隔期為半年或者10 000 km，在消費者正常的使用情況下，無論哪個期限先到，就進行相應的維護保養。

國外關于二維產品維修的研究最初來源于產品的保修領域，目前關于二維保修的研究主要是關于二維保修策略以及成本的優化研究，以保修期內費用最低為決策目標，確定二維保修期限內最優的維修策略。Iskandar等［2］針對可修產品，提出產品故障在特定的保修期范圍內采取更換措施，其余時間內采用最小維修的策略，以降低保修期內保修成本；Chukova等［3］對二維產品保修開展了最優維修策略的研究，其將可修產品的保修期劃分為3個不相交的區域，對每個特定的區域設置一個預定的維修策略，通過確定區域邊界降低產品的保修成本；Jack等［4］、Varnosafaderani等［5］、Chen等［6］也都對二維保修期內發生故障后的維修策略進行了優化。可以發現大部分二維保修的文獻都是針對故障后維修的情況，在二維保修期內采用預防性維修的策略相對較少。

有關預防性維修已經開展了大量研究，預防性維修是為預防產品故障或故障的嚴重后果，使其保持在規定狀態所進行的全部活動［7］。Yeh等［8］在故障率增加的定期更換策略下，得到了最小的長期期望費用，得出了最優更換間隔期在保修期結束后應調整的結論；Shahanaghi等［9］在二維保修期下，采用定期不完全預防性維修的策略，建立了關于費用的模型，以費用最小為決策目標，對預防性維修的次數以及維修程度進行了優化；Hu等［10］考慮了二維預防性維修的問題，提出了一個以日歷時間與使用時間同時進行備件更換的二維預防性維修策略，最終對備件需求量進行了優化求解。

通過以上綜述可以發現，傳統的二維保修是在二維的約束下（即二維保修期內）開展一系列的維修策略優化研究，維修策略優化的時間變量都是日歷時間（即傳統的一維維修），很少有文章考慮到二維預防性維修的問題。不完全維修又是預防性維修中最為普遍的方式，所以對于可以準確獲取到日歷時間與使用時間的產品，以費用為優化目標，對其二維預防性維修間隔期進行優化研究具有重要的現實意義。本文旨在確定最優的一組日歷時間與使用時間（T0，U0）使總期望費用最低，即無論產品的哪個時間先到達給定的閾值，就開展相應的預防性維修活動。

因此，本文結合產品的使用與維修實際，從二維產品預防性維修的角度出發，研究二維產品在有限使用期下二維不完全預防性維修間隔期的確定問題。

1 模型描述、假設與參數

1.1模型描述

主要針對壽命受日歷時間T與使用時間U雙重影響的批次產品，為了降低產品的維修費用，同時為了提高產品的完好性，對批次產品采取定期不完全預防性維修的策略，在預防性維修間隔期內出現的故障進行最小維修，修復后故障率不變，即修復如舊，預防性維修為不完全維修，修復后產品介于修復如新與修復如舊之間，在有限期使用期（TW，UW）內確定最優的一組不完全預防性維修間隔期（T0，U0），使該批次產品的總費用最低。

1.2模型假設

1）產品是可修的，故障率隨時間是遞增的；

2）產品具有日歷時間和使用時間兩個度量指標；

3）對于給定的用戶來說，其使用率r是長期恒定不變的，不同的用戶使用率不同，對于批次產品而言，使用率是隨機變量，用概率分布函數G（r）描述；

4）為簡化模型，維修時間忽略不計；

5）產品按照時間間隔（T0，U0）進行不完全預防性維修，對于產品來說，其日歷時間與使用時間二者有其一達到T0或者U0則開展相應的不完全預防性維修；

6）故障的反應時間忽略不計，即故障后立即進行維修。

1.3模型參數

1）（T0，U0）：二維預防性維修間隔期；

2）（TW，UW）：產品的使用期限；

3）Cf：故障后最小維修的費用；

4）Cp：不完全預防性維修的費用；

5）R：產品的使用率（隨機變量），即每單位時間的使用情況；

6）G（r）、g（r）：產品使用率的分布函數與概率密度函數；

7）rl、ru：批次產品中最低的使用率與最高的使用率；

8）r0、rW：預防性維修間隔期 U0與 T0的比、二維使用期限UW與TW的比；

9）λ（t|r）：產品在使用率r時的故障率函數；

10）θ（m）：不完全預防性維修的改善因子，m表示維修的程度；

11）F（t|r）：產品在使用率r時的累計故障分布函數；

12）C（TW，UW）：在二維預防性維修間隔期為（T0，U0）時，產品在使用期限（TW，UW）內的期望總維修費用。

2 模型建立

為了建立二維預防性維修間隔期模型，首先需要給出二維產品的故障率函數表達式，然后進行具體的維修過程分析，根據分析的結果建立與之對應的費用函數表達式。

2.1產品二維故障率函數形式的確定

在二維產品維修領域中，共有3種不同的二維故障率表示方法，分別是雙因素變量法、復合尺度法與使用率法［11］。其中使用率法的應用最為廣泛，該方法中，讓T（t）與U（t）分別表示產品的日歷時間、使用時間與廣義時間t的函數。在使用率方法中，假設U（t）=RT（t），二者為線性關系，其中R為非負的系數。由于本文假設產品的使用率為隨機變量，不同的消費者對產品的使用率不同，且同一消費者的使用率保持長期恒定不變，同時R服從一定的分布，G（r）=P（R≤r），根據實際使用消費者的不同，R服從不同的分布。

產品的故障是一個點過程，通過故障率函數進行建模，根據泊松過程，產品在使用率為r時的故障率函數可以表示為

式中：φ（T（t），U（t））是關于T（t）與U（t）的增函數，這表示產品的故障率是日歷時間與使用時間的增函數。Iskandar等［12］給出了如下的故障率函數公式：

Moskowitz等［13］考慮了以下形式：

Iskandar等［2］與 Yun等［14］都采用了下面的形式：

本文在第3節算例分析中也采用（4）式的形式，本文假設T（t）=t，U（t）=rt，所以最終的故障率函數表達式為

對于傳統的故障率而言，故障率只是關于變量t的增函數，但是對于二維故障率來說，其是關于時間變量t與使用率變量r的增函數。通過（5）式無法直觀地看到故障率與兩個變量之間的最終關系，所以結合本文后續示例分析中所給出的參數，4個參數的取值為θ0=0.1，θ1=0.2，θ2=0.3，θ3=0.3時，二維故障率函數圖像如圖1所示。

圖1　二維故障率函數圖像Fig.1 Two-dimensional failure rate function

由圖1可以發現二維故障率函數是關于變量t 和r的增函數。這樣的結果與實際中的情況也是相符的，可以證明用使用率法來表示二維故障率函數是合理的。

2.2不完全維修下故障率函數的應用

在不完全預防性維修中，產品的二維故障率會隨著不完全預防性維修的實施發生改變，如圖2所示。

圖2　不完全維修情況下故障率變化Fig.2 Variation in failure rate under imperfect maintenance

在圖2中，產品有3種不同的使用率，分別是r0、r1、r2，三者的關系為r1＞r0＞r2.傳統的一維預防性維修都是在T0時刻對產品開展預防性維修，二維預防性維修對于使用率低的產品以日歷時間進行預防性維修，對于使用率高的產品以使用時間提前對它進行預防性維修。如圖2中r1所示，這樣相對于一維預防性維修而言就可以有效地降低產品整體的維修費用。

本文考慮在產品壽命周期中的時間序列（T0，U0），2（T0，U0），…，j（T0，U0），j∈N上對產品進行二維周期不完全預防性維修，二維預防性維修間隔期為（T0，U0）。假設預防性維修工作起始時間為0，本文在Kijima［15］提出的虛擬工齡法基礎上，結合Sahin等［16］對產品保修期過后維修策略的研究來處理不完全預防性維修策略建模問題。假設本階段維修效果只與前一階段狀態相關，令vj表示第j次不完全預防性維修后產品的虛擬工齡，其中 j≥1.θ（m）表示不完全預防性維修改善因子，它是取值范圍為［0，1］的關于m的減函數，因此，當維修水平m提高時，θ（m）減小，虛擬工齡減少程度就越大，即維修效果越好。令M為維修水平的最大值，此時θ（M）=0，即“修復如新”狀態；當θ（0）=1時，即“修復如舊”狀態。由于本文中采取的是不完全預防性維修策略，所以維修水平m的取值范圍應為（0，M）。那么，對于給定的維修水平m，當產品以日歷時間T0進行不完全預防性維修時，則第j次預防性維修后產品的虛擬工齡vj為

當產品以使用時間U0進行不完全預防性維修時，

當產品以日歷時間T0進行不完全預防性維修時，產品在t時刻的虛擬工齡v（t）可表示為

當產品以使用時間U0進行不完全預防性維修時，

當產品以日歷時間T0進行不完全預防性維修時，產品在t時刻的故障率函數可表示為

當產品以使用時間U0進行不完全預防性維修時，

當產品以日歷時間T0進行不完全預防性維修時，產品在不完全維修強度為m時的故障率函數λ（t）表達式為

式中：n表示在有限期限內完整的不完全預防性維修間隔期的個數。

當產品以使用時間U0進行不完全預防性維修時，

2.3產品的維修費用模型

對二維周期不完全預防性維修費用模型的建立分為兩種情況分別進行分析討論，分別是r0≤rW與r0＞rW.表1表示在不同的期限下開展二維不完全預防性維修的次數。

表1　不同期限下不完全預防性維修的次數Tab.1 The frequency of imperfect preventive maintenance under different periods

2.3.1r0≤rW情況時的分析

如圖3所示，在這種情況下，又分為3種情況，分別是r≤r0、r0＜r≤rW和r＞rW.

圖3　r0≤rW時二維預防性維修周期圖Fig.3 Two-dimensional preventive maintenance cycle for r0≤rW

當r≤r0時，產品的不完全預防性維修間隔期為T0，對應的預防性維修次數為n1，即int［TW/T0］。此時產品的期望維修費用由總故障后維修費用與總預防性維修費用組成，分別用Cft與Cpt表示，此時產品的期望維修費用C 可以表示為

當r0＜r≤rW時，產品的不完全預防性維修間隔期為 U0/r，對應的預防性維修次數為 n2，即int［（TWr）/U0］，此時產品的期望費用C2為

當r＞rW時，產品的不完全預防性維修間隔期為U0/r，對應的預防性維修次數為 n3，即int［UW/U0］，此時產品的期望費用C3為

此時在有限期（TW，UW）內，r0≤rW情況下定期二維不完全預防性維修下產品的總期望費用為

2.3.2r0＞rW情況時的分析

如圖4所示，情況與上文類似。當r≤rW時，產品的期望費用C4為

圖4　r0＞rW時二維預防性維修周期圖Fig.4 Two-dimensional maintenance preventive cycle for r0＞rW

當rW＜r≤r0時，產品的期望費用C5為

此時在有限期（TW，UW）內，r0＞rW情況下定期二維不完全預防性維修下產品的總期望費用為

綜合考慮以上兩種情況，即r0≤rW與r0＞rW，在有限期（TW，UW）內，定期二維不完全預防性維修下，產品的總期望費用為

3 算例分析

3.1問題描述

在對某部隊的某型按批投入使用的輪式裝備調研時發現，該裝備中的底盤系統只是按照傳統的方式進行修復性維修，修復性維修費用很高。該裝備的使用具有日歷時間與使用時間（行駛里程）兩個測量維度，同時發現使用率高的底盤系統出現的故障更為頻繁，嚴重地影響到部隊的正常訓練。由于該裝備的底盤系統是可修的產品，且維修后的效果介于修復如新與修復如舊之間。實際中的情況與上文所建模型的描述比較切合，為了降低底盤系統的維修保障費用，故對輪式裝備中的底盤系統開展定期二維不完全預防性維修，在預防性維修間隔期內出現故障進行最小維修。

假設底盤系統的故障函數表達式形式為λ（t|r）=θ0+θ1r+（θ2+θ3r）t2，裝備的使用期限為8 a，2×105km，根據文獻［16］中所給的公式，假設不完全預防性維修程度與改善因子的關系為

在汽車領域中，均勻分布、正態分布與威布爾分布是使用率r最為常見的分布形式［17］，為了便于比較，3種分布有相同的上下限，最高使用率 ru為5.05×104km/a，最低使用率rl為0.1×104km/a，同時假設正態分布的均值為2.5×104km/a，標準差為0.8 km/a，威布爾分布的尺度參數為2，形狀參數為2.1.具體參數設置如表2所示。

表2　參數設置Tab.2 Parameter setting

將具體參數代入（22）式，可得二維不完全預防性維修費用表達式。

3.2模型優化求解

二維預防性維修是一種更先進、效果更好的預防性維修方式，本文從費用的角度對二維預防性維修間隔期進行優化決策。由于模型的表述過于復雜，無法用函數的方法對其直接求解，因此本文采用數值算法，通過Matlab仿真進行求解。根據底盤系統的故障特點選取T0與U0的適當取值范圍與相應步長，生成有限組（T0，U0）；通過Matlab進行迭代計算，分別計算每組（T0，U0）所對應費用的值，繪制不同使用率分布下的二維不完全預防性維修費用模型三維圖。在費用值中最小的一個所對應的（T0，U0）即為本文要求的最優二維預防性維修間隔期。

3.3結果分析

根據Matlab軟件的計算結果，分別繪制出r服從均勻分布、正態分布與威布爾分布下各自的費用模型，如圖5～圖7所示，同時為了比較二維預防性維修與傳統的一維預防性維修之間的關系，繪出圖8和圖9，最終根據仿真計算的結果分別如表3與

圖5　均勻分布下二維費用模型Fig.5 Two-dimensional maintenance cost model under uniform distribution

圖6　正態分布下二維費用模型Fig.6 Two-dimensional maintenance cost model under normal distribution

圖7　威布爾分布下二維費用模型Fig.7 Two-dimensional maintenance cost model under Weibull distribution

圖8　一維費用模型（按日歷時間進行預防性維修）Fig.8 One-dimensional maintenance cost model with calendar time interval

圖9　一維費用模型（按使用時間進行預防性維修）Fig.9 One-dimensional maintenance cost model with service time interval

表3　均勻分布下不同間隔期費用分析表Tab.3 Cost analysis at different intervals when r subjects to uniform distribution　元

通過圖5～圖7可知，費用模型三維圖明顯是一個凹面，存在最低點，表明在以費用為約束的情況下二維周期不完全預防性維修存在最優的二維預防性維修間隔期（T0，U0）。通過計算，均勻分布最優的二維預防性維修間隔期為（2.1 a，2.3×104km），所對應的期望最低費用為60 139元；正態分布最優的二維預防性維修間隔期為（1.35 a，2.25×104km），所對應的期望最低費用為68 516元；威布爾分布最優的二維預防性維修間隔期為（1.65 a，2.25×104km），所對應的期望最低費用為50 825元。由此也可以發現使用率服從不同分布時，所優化出的最優二維不完全預防性間隔期是不同的。

通過圖8與圖9可知，按照傳統的方法同樣可以給出最優的一維不完全預防性維修間隔期。在只以日歷時間進行不完全預防性維修時，均勻分布在期望費用最低時對應的最佳一維日歷時間間隔期為0.9 a，正態分布與威布爾分布在期望費用最低時所對應的最佳一維日歷時間間隔期分別為0.7 a與1.16 a；在只以使用時間進行不完全預防性維修時，均勻分布在期望費用最低時所對應的最佳一維使用時間間隔期為2.02×104km，正態分布與威布爾分布在期望費用最低時所對應的最佳一維使用時間間隔期分別為2.24×104km與2.02×104km.

通過表3分析可知，當使用率服從均勻分布時，不同組合下日歷時間與使用時間對應的費用不盡相同。在固定日歷時間T0=1.1 a時，費用隨著使用時間的增加出現先降低、后升高的趨勢；在固定使用時間U0=2.3×104km時，費用也隨著日歷時間呈現先降低、后升高的趨勢。在兩個變量的共同作用下，最終在（2.1 a，2.3×104km）時，取得最小值，使用率服從正態分布與威布爾分布時情況與此類似。

而在不采用任何預防性維修措施的情況下，均勻分布下裝備的期望維修費用高達103 450元，正態分布與威布爾分別對應的期望費用為119 920元與85 850元，通過圖5～圖9以及表3、表4對比分析可知，二維預防性維修可以大大降低裝備的維修保障費用，可以使裝備的維修變得更為科學、合理，通過本例也進一步驗證了該模型的有效性與適用性。

表4　不同分布下不同維修方式對應的費用最優值Tab.4 Optimal costs with different maintenance modes under different distributions

4 結論

本文針對故障受日歷時間與使用時間雙重影響的產品，提出了二維預防性維修的概念，建立了二維有限使用情況下二維周期不完全預防性維修費用模型，通過實例對比分析，驗證了二維預防性維修的優越性，同時驗證了模型的有效性與適用性。二維預防性維修是一個新的概念，本文只是進行了初步的探討，研究還比較有限，下一步可以針對更為復雜的產品，采用更通用的二維故障函數表達式，選擇最小維修、不完全維修以及完善維修等組合維修策略，進行二維預防性維修多目標優化的相關研究。

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Research on Optimization of Two-dimensional Imperfect Preventive Maintenance Intervals of Products

HAN Yu-cheng，JIA Xi-sheng，BAI Yong-sheng，LI Xin-yue
（Department of Equipment Command and Management，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，Hebei，China）

For the products of which the failures are affected by the calendar time and service time，the traditional one-dimensional preventive maintenance can’t meet the actual demand.A concept of two-dimensional preventive maintenance is proposed.The two-dimensional preventive maintenance decision is made according to calendar time and service time.A failure rate function expression of two-dimensional maintenance is established，and the process of two-dimensional imperfect preventive maintenance is analyzed in detail.A cost model of two-dimensional imperfect preventive maintenance is proposed to minimize the consumer’s total expected cost in finite life span.An optimal two-dimensional imperfect preventive maintenance interval is derived through examples，and the the applicability and validity of the proposed model are verified through comparison and analysis.A brief discussion about future research area of two-dimensional maintenance is presented.

ordnance science and technology；two-dimensional imperfect preventive maintenance；math model；virtual age

TJ07

A

1000-1093（2016）03-0496-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.03.015

2015-07-29

國家自然科學基金青年科學基金項目（71401173）

韓玉成（1990—），男，碩士研究生。E-mail：hanyucheng805@163.com；賈希勝（1964—），男，教授，博士生導師。E-mail：xsh_jia@hotmail.com