簡支矩形板在空氣與水中聲輻射特性比較

朱擁勇，劉　寶

簡支矩形板在空氣與水中聲輻射特性比較

朱擁勇，劉寶

（海軍工程大學，武漢 430033）

研究比較簡支矩形板在空氣中與水中聲輻射特性參數，分別建立結構在空氣中與水中結構振動方程，并利用Rayleigh積分公式，表示結構表面聲壓，獲得結構表面振速的求解方程。進一步由振動模態正交性和坐標變換，將聲輻射阻抗化為二重積分形式，從而確定結構振動模態系數，獲得結構聲輻射特性參數。求取簡支矩形薄板在空氣中和水中輻射聲功率、均方振速和聲輻射效率，并對其進行對比。研究結果可為各類板結構振動與噪聲控制提供理論參考。

聲學；聲輻射阻抗；聲輻射特性參數；介質；矩形板

平板是工程上經常采用的一種結構，其聲輻射特性的確定對于工程界具有重要意義。當結構置于不同介質中時，介質對結構振動影響各不相同。根據結構與介質的比值，按照影響大小，將其分為輕介質流體如空氣、重介質流體如水。當結構處于低速或者靜止狀態下空氣中時，結構振動激起周圍流體粒子運動向外輻射聲波，由于結構與空氣密度相差很大，則流體作用于結構的聲壓可以忽略，即不考慮結構與介質聲振耦合作用，這樣可簡化動力學方程，結構振動和聲輻射問題求解較為簡單。為了分析板的聲輻射問題需要求解結構聲輻射阻抗。20世紀60年代，Maidanik首先提出幾種求解在整個頻域范圍內的聲輻射阻的近似方程，為后來的研究者提供了理論基礎［1-2］。隨后Wallace采用對遠場聲強進行積分的方法，推導出了聲輻射阻的一系列近似積分方程，成功求解出了吻合頻率以下模態聲輻射效率［3］。Davies通過Fourier變換的方法在考慮聲壓對結構的作用下，同樣給出了模態聲輻射效率［4］。Heckl在波數段內利用Fourier變換研究分析了板的聲輻射問題，并得出模態聲輻射效率［5］，隨后Leppington得出了幾種近似方程求解大波數域振動模態輻射效率，特別是求解接近臨界頻率時振動模態的輻射效率［6］。Williams同樣利用Fourier的方法在波數域內得出了聲輻射功率的級數的表達形式，并分析了簡支、夾支和自由邊界條件下板的輻射聲功率［7］。

當流體介質為重介質水時，由于水的密度為空氣的800多倍，聲速約為空氣的四倍，結構受到的聲場對結構的壓力即聲壓不能像置于輕介質中一樣可以忽略，需要考慮重介質對結構的影響。早在1896年，Rayleigh通過分析一個圓形平板的振動，指出介質對結構振動的影響類似于增加一個虛擬質量和輻射阻尼［8］。隨后，Lax研究了介質對一個圓形薄膜振動的影響［9］，Junger和Maidanik分別研究了流體載荷作用下無限大殼體與薄板的聲輻射問題，得出了位于水中的結構相對于位于空氣中的結構固有頻率有所降低，且在低頻下的固有頻率降低比較明顯的結論［10-13］。Rumerman研究了水荷載對聲輻射效率的影響，給出了典型聲輻射效率的應用會過高地估計結構產生的聲輻射功率的結論［14］。

本文根據前人的工作，分別建立簡支矩形有障板在空氣中與水中的振動方程，并利用Rayleigh積分公式，表示結構表面聲壓，獲得結構表面振速的求解方程。將上述方程中的振速進行振動模態展開，并利用坐標變換方法，獲得二重積分形式的聲輻射阻抗，從而確定振動模態系數，求解結構在空氣中與水中的聲輻射功率，結構表面均方振速等聲輻射特性參數，并對其進行了比較說明。

1　簡支矩形板模型

設板的密度為ρs，它沿x、y軸方向的長度分別為a、b，板的厚度為h，且位于平面z=0上。z≥0半空間內充滿密度為ρf的介質，板由于外力作用振動并向該半空間內輻射聲功率。z＜0半空間為真空狀態，如圖1所示。

圖1　簡支矩形板示意圖

2　板在空氣中振動解

由于與板接觸介質為輕介質空氣，因此忽略介質對板所產生的聲壓作用。設板受到外力為點力作用，在垂直于板面外力F作用下（式中省略力、撓度等隨時間變化量e-iωt），板振動方程為

對于一個簡支矩形薄板，板位移可以表示為振動模態線性疊加

矩陣形式為

式中Amn為相應于振動模態待定系數。ψmn（x，y）=sin（mπx/a）sin（nπy/b）表示板（m，n）階振動模態。

將式（2）代入式（1），利用振動模態正交性［15］，可得

將計算所得的Amn代入（2）式中，即可獲得板上任一點的撓度，從而可以進一步確定結構輻射聲功率等聲輻射特性參數。

3　板在水中振動解

對于位于重介質如水中的結構，施加在這些結構與介質交界面上聲壓對于結構動力響應造成了不可忽略的影響，即需要考慮結構與介質之間聲振耦合作用。則板的振動方程為

由Rayleigh積分公式可知，平板上方一點r處產生聲壓等于板面所有點對該點聲壓貢獻的積分，表示為

將式（6）關于聲壓振速積分的形式代入式（5）中，經化簡可得

進一步將撓度w表示為振動模態疊加形式，可得

式中 Amn表示相對于振動模態 ψmn（x，y）系數。

從上式可以看出每一個振動模態都會引起表面壓強的變化。根據振動模態的正交性，可得

從式（9）可以看出，水載荷作用下板振動是由一系列關于待定系數Amn耦合方程決定的。并且，每一階振動模態都和其他模態耦合在了一起。當p≠m或者q≠n時，Zpqmn反應了模態之間耦合的影響。當m，n，p，q取有限值時，方程可以通過建立一個耦合的有限方程組求解出待定系數Amn。Zpqmn為結構聲輻射阻抗，可以看出為一個四重積分的形式。為此，利用坐標變換方法，可以將其化為二重積分形式。

令Zmnpq=ζmnpq+iXmnpq，則ζmnmn表示結構聲輻射阻，Xmnpq表示結構聲輻射抗。每一個元素的具體表達式為

當m=p和n=q時，ζmnpq表示結構自輻射阻，當m≠p或者n≠q時，ζmnpq表示結構互輻射阻。自輻射阻表示單一振動模態對于聲輻射功率貢獻的有效性。互輻射阻表示一個振動模態產生聲輻射對于另一個振動模態聲輻射影響。從式（10）、式（11）看出，矩陣?［Z］是一個對稱矩陣。

對于上述四重積分形式的運算，通常可以采用坐標變換方法將其化為一個二重積分形式。將變量替換為如下形式

則由文獻［16］可知，式（10）的積分可以化為如下形式。當m=p和n=q時

上式即可計算出結構振動模態系數，進而可以獲得結構聲輻射特性參數。

4　聲輻射特性計算公式

空間上一點處聲壓獲得后，則通過積分結構輻射面上所有點聲壓與振速乘積可以獲得結構輻射聲功率，即

式中*和?分別表示復數的共軛與實部。

除了采用輻射聲功率衡量結構聲輻射能力外，通常將結構輻射效率作為結構聲輻射性能的重要指標。一般輻射效率被定義為

將板面振速w?（x，y）進行模態展開，經化簡可得

矩陣形式為

5　簡支矩形板應用舉例

以如下參數簡支矩形板為例進行分析。將該板置于無限大障板上，其長度a=1.2 m，寬度b=1 m，厚度h=0.005 m。板密度為ρs=7 800 kg/m3，泊松比υ=0.3，彈性模量E=2.16×1011N/m2，空氣密度為ρf=1.21 kg/m3，水密度為ρf=1 000 kg/m3，空氣中聲速為c=343 m/s，水中聲速為c=1 500 m/s，板阻尼系數η=0.002。設板在幾何中心處受到一垂直于板面集中載荷作用，載荷的幅值為1 N。通過將該板位于空氣和水這兩種不同介質中，比較輻射聲功率、均方振速和聲輻射效率方面差異，如圖2所示。

圖2　空氣與水中的聲輻射特性比較

從圖2可以看出，水載荷作用下，簡支板表面均方振速在非共振頻率附近相比較于空氣中均方振速要小。且可以看出，板結構在水中共振頻率有所降低，水中簡支板輻射效率也小于空氣中板輻射效率。由于水的密度遠高于空氣密度且水中聲速為空氣中聲速四倍多，因此雖然水中板輻射效率與空氣中板輻射效率相比低很多，但在非共振頻率處，水中板輻射聲功率要高于空氣中板輻射聲功率。

6　結語

由于空氣介質與水介質對板振動影響的差異，本文分別建立了板在空氣中與水中振動方程，進而由Rayleigh積分公式，表示結構表面所受到的聲壓。將振動方程中位移進行模態展開，并利用模態正交性，獲得了四重積分形式的聲輻射阻抗，并利用坐標變換，將其化為二重積分形式的聲輻射阻抗，進而計算振動模態系數，獲得結構輻射聲功率等聲輻射特性參數。

通過計算結構在空氣中與水中聲輻射特性參數，可知在非共振頻率附近，水中板的輻射聲功率要高于空氣中板的輻射聲功率，但水中板的均方振速在非共振頻率附近相比較于空氣中的均方振速要小。且可以看出，水中板的輻射效率也小于空氣中板的輻射效率。

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Comparison of theAcoustic Radiation Characteristics of Simply Supported Rectangular Plates in theAir and in the Water

ZHU Yong-yong，LIUBao
（Naval Engineering University，Wuhan 430033，China）

The acoustic radiation characteristic parameters of simply supported rectangular plates in the air and in the water are studied and compared.The structural vibration equation in the air and in the water are established respectively.The Rayleigh integral formula is used to express the sound pressure of the structure surface，and the governing equation for vibration speed of the structure surface is obtained.By the orthogonal of the vibration modes and coordinate transformation，the acoustic radiation impedance is changed to a double integral form，so as to determine the structure's vibration mode coefficients and the structure's acoustic radiation characteristic parameters.Finally，the radiation sound power，the mean square velocity and the radiation efficiency of a simple supported rectangular thin plate in the air and in the water are calculated respectively and the results are mutually compared.This work can be applied to structural vibration and noise control.

acoustics；acousticradiationimpedance；acousticradiationcharacteristicparameters；medium；rectangleplate

TB132

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.003

1006-1355（2016）03-0011-05

2015-10-18

國家自然科學基金資助項目（11372350）；海軍工程大學青年基金資助項目（HGDQNSQJJ13006）

朱擁勇（1981-），男，湖北省天門市人，講師，博士，主要研究方向為機械動力學、結構振動與噪聲控制。E-mail：zyy99515@126.com

劉寶（1989-），男，河南省新鄉市人，博士研究生，主要研究方向為結構振動與噪聲控制。