時變長度軸向移動繩橫向受迫振動數值分析

楊　歷，陳恩偉，吝輝輝，劉正士

時變長度軸向移動繩橫向受迫振動數值分析

楊歷，陳恩偉，吝輝輝，劉正士

（合肥工業大學 機械與汽車工程學院，合肥 230009）

分別建立移動集中載荷和移動分布式載荷作用下時變長度軸向移動繩系統的物理模型，基于Leibniz法和Hamilton原理推導具有時變參數的橫向受迫振動方程，Galerkin法將其離散處理為一系列非線性常微分方程組，改進的四階Runge-Kutta用于求解不同Galerkin截斷階數的非線性常微分方程組，同時分析基于有限元法求解系統運動方程及Newmark-β數值計算的移動集中載荷下變長度軸向移動繩系統橫向振動特性。兩種方法數值分析吻合性及收斂性表明建立變長繩移系統模型可靠性及求解時變參數系統方法有效性，同時變長度軸向移動繩系統在不同情況下采用恰當的Galerkin截斷階數能到達更好收斂性及保證計算精度。

振動與波；時變長度移動繩；Galerkin法；Newmark-β法；移動載荷；橫向受迫振動

實際工程中很多設備都可簡化為變長度軸向移動繩系統，如繩系衛星，電梯電纜，起重機纜繩等。在研究這些設備的橫向振動時，不能簡單地忽略各項外界因素的影響，尤其是外部載荷激勵作用，因此研究外部載荷作用尤其是移動載荷作用下變長度軸向移動繩橫向受迫振動［2-5］及其振動特性［8-12］對設備的設計及改造起到了很重要的作用。這類系統如移動風載荷作用下的起重機纜繩，安裝有隨動導輪的傳輸電纜，移動繩密度不均或磨損導致的質量不均系統等。M.Pakdemiri利用哈密頓原理及Galerkin法求解定長軸向加速移動繩橫向振動，并利用Floquet原理分析其系統在不同條件下的穩定性［1］。Salih NAkour則在2010年分析了具有彈性支承的非線性梁在周期性分布載荷作用下的振動，應用哈密頓原理建立振動方程，對得到的拉格朗日方程離散化，最后使用龍格庫塔法數值仿真［2］。M. Ansari同樣利用哈密頓原理建立了歐拉-伯努利梁在非線性黏彈性基礎下受移動載荷作用的振動響應，Galerkin將其離散，應用multiple-scales method獲得不同條件下的內外共振和不同諧波下的頻率響應［3］。Ye-Wei Zhang利用具有非線性特性的能量轉移裝置減小風載荷作用下軸向繩移系統的橫向振動，牛頓第二定律用于建立振動方程，Galerkin法將其離散化，最后的數值分析結果證明了此能量轉換裝置對橫向振動控制的有效性［4］。Ji-hu Bao對變長度柔性提升鋼絲繩采用廣義哈密頓原理導出其運動方程，將Galerkin離散后的數值仿真結果與實驗進行對比，結果基本一致，證明數學模型的有效性，同時分析系統在外部周期性激勵下的系統共振［5］。E. W.Chen等基于拉格朗日方程應用有限元離散法求解了定長及變長軸向繩移系統的非線性動力學方程，采用Newmark-β法及狀態方程法數值分析系統頻率及能量變化規律［6］。Qun Wu基于經典的Runge_Kutta方法，提出改進的Runge_Kutta方法的推導過程，并且基于改進的Runge_Kutta方法求解了定長及變長軸向移動繩系統的動力學響應［7］。本文基于以上研究，應用兩種不同運動方程求解方法及不同數值分析方法，對比分析了兩種方法在處理變長度移動繩受迫振動時的收斂性及精確性。

1　建模及運動方程求解

本文研究對象為時變長度軸向繩移系統，用以簡化模擬實際工程應用中很多工程設備，圖1所示為時變長度軸向繩移系統在受到移動集中載荷作用下的物理模型，圖2所示為時變長度軸向繩移系統在受到移動分布載荷作用下的物理分解模型，其表示為求解寬度為a的移動分布載荷做功等于寬度為vt的移動分布載荷做功與寬度為vt-a的移動分布載荷做功之差。

圖1　移動集中載荷作用的時變長度軸向繩移系統物理模型

圖2　移動分布載荷作用下的時變長度軸向繩移系統物理分解模型

圖1中P為移動集中載荷，速度為v，p為單位長度載荷，a為移動分布載荷寬度，其速度為v。繩長為l（t），A為移動繩橫截面積，ρ為單位長度密度，E為楊氏彈性模量，T0為移動繩的恒張力，v為移動繩軸向移動速度。x為繩上某點軸向位置的固定坐標軸，x?即為繩上點的移動速度，且?=v。y（x，t）為繩上固定點在時刻t及位置x處的橫向振動位移。物理模型的建立基于以下3個假設：移動繩具有連續和均勻性，且其線密度、橫截面積、彈性模量、張力在運動過程中保持不變；忽略移動繩縱向振動影響，且移動繩的橫向振動引起的彈性變形遠小于繩長度；忽略移動繩受到的各種阻尼、摩擦力及氣流影響。對繩系單元長度受力分析［13］，系統的能量可得［6］：

系統的動能

系統的勢能

圖1中移動集中載荷做功

圖2（a）中分布載荷做功為

圖2（b）中分布載荷做功為

圖2中分布載荷做功表示為

根據建模繩系兩端固定支承，故其邊界條件為

哈密頓原理有

將方程式（1）、式（2）、式（3）代入式（8）可得

由上式可看出積分上限l（t）為時變函數，因此標準的分部積分法不能采用，此處應用Leibniz's和分部積分法相結合求解時變上限積分，且對上式中v 和y取變分可得

上式三項之和為零，即各項均為零，故移動集中載荷作用下時變長度軸向繩移系統橫向振動方程為

需要控制好市政工程施工過程中出現的噪聲。噪聲污染對周圍的居民生活會產生極大的影響，主要是市政工程施工過程中大型機械設備的噪聲以及壓路機作業等發出的聲音。為了控制這些噪聲污染，施工需要使用符合標準要求的設備，還要對施工設備進行定期維護。對施工現場的噪聲進行監測，保證施工噪聲不干擾附近居民，合理安排施工時間，避免在居民夜間休息時施工，施工時間盡可能選在白天，運輸車輛需要低速行駛，禁止持續鳴笛，避免強噪聲作業，在噪聲敏感區域設置隔聲屏，最大程度降低噪聲。

同理移動分布載荷作用下時變長度軸向繩移系統橫向振動方程為

2　運動方程離散化

應用Galerkin截斷法將上述兩個非線性偏微分方程離散化為常微分方程，因x在區間［0，l（t）］取值，故定義新變量ξ=x/l（t），其變化區間為［0，1］

其中qi（t），（i=1，2...n）為廣義坐標，n為模數，形函數具有如下表示

對式（14）分別對時間及位移求偏導有

將式（16）到式（20）分別代入式（12）和式（13），并兩邊同時乘以φj（ξ）（j=1，2，3，…，n），并對ξ在［0，1］上積分，結合正交化關系可將方程離散為如下形式

其中Q=［q1，q2…qn］T為廣義坐標量，M、C、K及F分別為廣義質量，阻尼，剛度及載荷矩陣，N為三次非線性項系數矩陣，這些矩陣每項分別表示為

3　數值仿真對比分析

在基于有限元法的Newmark-β法計算中［6］，假設繩子具有固定單元數，且單元長度均相等，因此這種情況下移動集中載荷可以定義為載荷在每個單元節點上依次作用相等的時間，從而通過改變作用時間的大小即可模擬載荷不同的移動速度。每個單元節點上載荷作用時間步為

其中n1單元數，Dt每一步的時間長度，v為載荷移動速度，如取n1=30，Dt=0.02用以近似模擬移動集中載荷速度v=1 m/s。

3.1自由振動

初始條件設為

圖3中線型為：—，Newmark-β法；—+，2階Galerkin截斷；—*，4階Galerkin截斷，橫坐標為繩長，縱坐標為橫向振動位移。圖中表示不同時刻下，隨繩長增加，繩系的橫向振動特性，（a）中繩長逐漸伸長，系統最大振幅基本保持不變，而系統振動頻率減小，經過相同時間，其振型相較于繩系縮短變化較小；（b）中繩長逐漸縮短，由于無阻尼存在系統最大振幅基本保持不變，系統振動頻率增加，且其振型愈加復雜。三種方法在處理變長度移動繩系統橫向自由振動時振型基本吻合，證明了Galerkin法的可靠性，且取2階Galerkin截斷處理時變自由度橫向自由振動時就能達到較高的準確性及收斂性。

圖3　變長度繩移系統不同速度下的橫向自由振動

3.2移動集中載荷作用下的橫向振動

軸向移動繩在移動集中載荷作用下，取二者移動速度均為1 m/s。結合工程實際，取集中載荷為正弦變化函數

其中A為載荷幅值，ω為載荷變化頻率

如圖4所示移動集中載荷幅值A=0.1 N，頻率ω=0.3 Hz。—，Newmark-β法；—+，2階Galerkin截斷；—*，4階Galerkin截斷，可以看出繩中波在移動載荷作用下從繩左端產生，并且逐漸傳播到右端，由于繩系右端固定，因此波傳遞到右端時會反射回來并傳遞到另一端，從而在繩中疊加成復雜的振動，同時由于移動載荷的不斷做功，繩系振幅及振動頻率亦逐漸增加。圖4（a）、圖4（b）中三種求解結果在振型上基本吻合，Newmark-β與Galerkin截斷相對較大的誤差主要來源于其載荷間斷作用于不同節點，載荷不是連續作用于繩子上。并且由于變長度軸向移動繩系統的繩長是隨時間逐漸伸長，而本文采用的是固定單元數的有限元離散化方法，即此時繩系單元長度是時變的，因此當繩長伸長長度較大時，單元的長度也會變化較大，從而結合本文中對于有限元方法下的集中載荷模擬原理，會導致計算精度下降，隨時間推移形成較大誤差。圖4（c）、圖（d）中明顯可以得出4階Galerkin截斷與Newmark-β法具有更吻合的振型，因此在計算移動繩受到移動集中載荷作用下時至少4階Galerkin截斷才能取得較好的收斂性，同時可以看出Galerkin截斷在處理受到移動載荷作用的繩移系統橫向振動的有效性，同時證明了改進的4階Runge_Kutta法在數值計算非線性常微分方程組時的可靠性。

3.3移動分布載荷作用下的橫向振動

根據上面仿真分析結果，4階Galerkin截斷對于移動載荷作用下的軸向繩移系統橫向振動具有較高的收斂性，能較準確地反映其橫向振動，同時由于Newmark-β法在處理移動載荷時的局限性及較大誤差，因此此部分采用4階Galerkin截斷結合改進的Runge_Kutta法數值仿真移動分布載荷作用下軸向繩移系統中點的橫向振動。以下討論參數取值為繩移速度v=1 m/s，ω=0.3 Hz，p=0.025 N/m，a=4 m，同時移動分布載荷形式與移動集中載荷相同，為正弦函數。

圖5（a）所示為移動分布載荷幅值相同，單元長度載荷及寬度不同時繩移系統中點的橫向振動，載荷寬度越大，中點振動初始幅值越大，振動響應越快，振動會隨著載荷逐漸加載到繩子上而慢慢增加，同時P=0.1 N與p=0.8 N/m，a=0.125 m下的振型誤差較小，在實際應用中，很多分布式載荷數學建模時可近似處理為移動集中載荷，從而減少運算難度。圖5（b）所示為移動分布載荷移動速度分別為0.5 m/s、1 m/s、1.5 m/s時繩系統中點的振動，且繩移速度為1 m/s，載荷頻率取0.3 Hz。由于分布載荷是逐漸加載到繩子上，故載荷速度越大繩子初始振幅越大，整體幅值也越大，但載荷移動速度對繩系振動頻率沒有明顯影響，幾乎不變。對應于實際工程應用中，通過選擇合適的載荷移動速度大小，可以達到控制振動頻率及振幅的目的。圖5（c）為移動分布載荷頻率分別為0.1 Hz、0.3 Hz、0.8 Hz時繩系中點的振動，繩及載荷移動速度均為1 m/s。由圖可以很明顯得出中點振動頻率與移動載荷頻率成正比，中點振幅與移動載荷頻率成反比，即載荷頻率逐漸增加，中點振動頻率越大，中點振幅越小。

圖4　移動集中載荷作用下的時變長繩移系統在不同時刻下的振型

圖5　不同參數下移動分布載荷作用的時變長繩移系統中點振動

4　結語

本文以時變長度軸向繩移系統為研究對象，分析了其在不同移動載荷作用下橫向受迫振動，應用Leibniz法及Hamilton原理分別建立繩系在不同工況下的運動微分方程，同時應用Galerkin不同階數的截斷對微分方程離散化，數值計算結果與基于有限元離散的Newmark-β法進行比較，得出以下結論：

（1）通過三種方法對時變長度軸向繩移系統橫向自由振動數值仿真對比，較高吻合度證明了Galerkin截斷處理非線性偏微分方程的有效性，同時得出至少2階Galerkin截斷才有較好的近似模擬；

（2）時變長度軸向移動繩在受到移動載荷作用時，Newmark-β法和4階Galerkin截斷數值仿真結果具有較高的振型吻合度，可見這種情況下至少4階Galerkin截斷才有較好的近似值；

（3）研究了移動分布載荷作用下時變長度軸向繩移系統不同參數對振動特性的影響，同時分布載荷在一定程度上可以簡化為集中載荷，因此分布載荷寬度對振動的影響可為進一步研究打下理論基礎；

（4）實際工程應用中有各種類型的移動載荷，本文建立的移動載荷作用下的變軸向繩移系統理論模型及動態特性分析能為后續進一步研究更復雜載荷提供一定的理論基礎，同時有助于時變長度軸向繩移系統的振動控制及進一步參數振動特性研究。

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NumericalAnalysis of Transversely Forced Vibration for an Axially Travelling String with Time-Varying Length

YANGLi，CHEN En-wei，LIN Hui-hui，LIU Zheng-shi
（School of Mechanical andAutomotive Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

The physical models of an axially travelling string system with time-varying length under the action of moving concentrated load and moving distributed load are established.Two kinds of moving forced string models are considered with different means.The nonlinear transversely forced vibration equations with time varying parameters of the string under different conditions are derived using the extended Hamilton's principle and Leibniz's rule，and discretized using different order Galerkin method into a series of ordinary differential equations.The modified 4th-order Runge-Kutta method is employed to solve the nonlinear transverse vibration equations by means of Matlab code.The numerical results also obtained by the Newmark-β method based on finite element analysis.The effects of parameters changing with the moving loads are also simulated.The results demonstrate the correctness of the proposed physical and mathematical models and the effectiveness of the solutiion methods with time varying parameters.It also indicates that the proper choosing of Galerkin truncation order can achieve better convergence and calculation accuracy in different situations.

vibration and wave；travelling string with time-varying length；Galerkin method；Newmark-β method；moving force；transversely forced vibration

TB123

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.004

1006-1355（2016）03-0016-05+56

2015-06-10

國家自然科學基金資助項目（51305115）

楊歷（1989-），男，四川廣元人，碩士生。

陳恩偉（1979-），男，廣西合浦人，副研究員，碩士生導師。E-mail：cangxiyuanxi@163.com