基于改進(jìn)傳遞矩陣法的環(huán)肋圓柱殼固有振動(dòng)分析

許瑞陽(yáng)，王獻(xiàn)忠，吳衛(wèi)國(guó)

基于改進(jìn)傳遞矩陣法的環(huán)肋圓柱殼固有振動(dòng)分析

許瑞陽(yáng)，王獻(xiàn)忠，吳衛(wèi)國(guó)

（武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063）

為了簡(jiǎn)化傳統(tǒng)傳遞矩陣法中狀態(tài)向量一階微分方程復(fù)雜推導(dǎo)和得到不同邊界條件下環(huán)肋圓柱殼的振動(dòng)特性，基于Flügge殼體理論，通過采用改進(jìn)傳遞矩陣法改進(jìn)狀態(tài)向量的選取，直接快速地從振動(dòng)方程推導(dǎo)出圓柱殼結(jié)構(gòu)場(chǎng)傳遞矩陣，并對(duì)場(chǎng)傳遞矩陣使用精細(xì)積分求解。根據(jù)環(huán)肋和殼體連接處變形連續(xù)條件導(dǎo)出環(huán)肋處點(diǎn)傳遞矩。最后通過自由、簡(jiǎn)支、固支三種不同邊界條件下環(huán)肋圓柱殼固有頻率計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了改進(jìn)傳遞矩陣法進(jìn)行環(huán)肋圓柱殼振動(dòng)分析有效性和適用性。

振動(dòng)與波；改進(jìn)傳遞矩陣；環(huán)肋圓柱殼；精細(xì)積分；振動(dòng)分析

圓柱殼被廣泛應(yīng)用于船舶、航空航天、建筑、機(jī)械等實(shí)際工程領(lǐng)域，通常通過加筋和環(huán)肋來增加其穩(wěn)定性和強(qiáng)度從而減輕結(jié)構(gòu)重量，與一般圓柱殼相比，加筋圓柱殼的自由振動(dòng)要復(fù)雜得多。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)環(huán)肋圓柱殼的振動(dòng)進(jìn)行了相關(guān)的研究，如能量法［1-2］、平攤法［3］等，這些方法多用于肋骨尺寸較小的密加筋，且多為簡(jiǎn)支邊界。陳美霞基于波動(dòng)法用圓環(huán)板模型來處理任意尺寸的環(huán)肋，但文中未考慮周向波數(shù)為0的情況［4］。

傳遞矩陣法適用于分析鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，其突出特點(diǎn)是無需假設(shè)振動(dòng)函數(shù)和便于處理復(fù)雜邊界條件。Irie等用殼模型的傳遞矩陣法研究了變厚度圓錐殼［5］、錐柱結(jié)合殼［6］的自由振動(dòng)特性。彭旭將傳遞矩陣法應(yīng)用到短粗環(huán)肋圓柱殼中，但只考慮了環(huán)肋面內(nèi)作用和簡(jiǎn)支一種邊界［7］。王獻(xiàn)忠在計(jì)算環(huán)肋圓錐殼的時(shí)候考慮了環(huán)肋的面內(nèi)面外作用［8］。由于殼體的傳遞矩陣推導(dǎo)十分麻煩，且易出錯(cuò)，萬浩川提出了一種改進(jìn)的傳遞矩陣法，直接從殼體振動(dòng)方程出發(fā)快速推導(dǎo)出傳遞矩陣，十分方便［9］。本文在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上，采用改進(jìn)傳遞矩陣法快速推出環(huán)肋圓柱殼的場(chǎng)傳遞矩陣，并根據(jù)殼體面板和環(huán)肋連接處的力和位移連續(xù)條件，考慮了環(huán)肋的面內(nèi)剪切和拉伸、面外彎曲和扭轉(zhuǎn)四種形式的振動(dòng)，且推導(dǎo)出了環(huán)肋處的點(diǎn)傳遞矩陣。又改進(jìn)傳遞矩陣法得到的齊次方程的解，通過采用精細(xì)積分法［10］求解計(jì)算來提高計(jì)算精度。最后通過對(duì)簡(jiǎn)支、自由、固支三種邊界下圓柱殼和環(huán)肋圓柱殼的數(shù)值計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，表明了本文方法推導(dǎo)簡(jiǎn)單快速，可適用于不同的邊界條件，并能獲得環(huán)肋圓柱殼高精度的固有頻率和振型。

1　基本理論和推導(dǎo)

1.1圓柱殼段的改進(jìn)場(chǎng)傳遞矩陣

圓柱殼采用柱坐標(biāo)系，殼體參數(shù)、位移如圖1所示，圖中：x和θ分別為柱坐標(biāo)系軸向和周向坐標(biāo)；R為殼體半徑；u、v、w、θ分別為圓柱殼的軸向位移、周向位移、徑向位移及轉(zhuǎn)角，h為殼體厚度，L為殼體長(zhǎng)度。

圖1　圓柱殼坐標(biāo)系

基于Flügge殼體理論，圓柱殼的振動(dòng)方程為

其中E為彈性模量，μ為泊松比，ρ為密度。

對(duì)于軸向半波數(shù)為m，周向波數(shù)為n的簡(jiǎn)諧響應(yīng)。可以假設(shè)方程式（1）的解為

式中ωmn為圓頻率；t為時(shí)間；U（x）、V（x）、W（x）為軸向x的函數(shù)。

將式（2）代入式（1）中可以得到

式中C為8×8的系數(shù)矩陣，8階矩陣C中的非零元素可以由式（3）容易得到。

方程（4）的解為

殼體的8個(gè)邊界量為η=｛u v w φ MxVxSxNx｝

把式（2）代入邊界量表達(dá)式中可得

由式（6）可得

根據(jù)式（6）很容易推導(dǎo)出8階矩陣A中的非零元素。

矩陣A為狀態(tài)向量與邊界量之間的關(guān)聯(lián)矩陣，所以

令Tc=AeCxA-1，則Tc為改進(jìn)的場(chǎng)傳遞矩陣，通過引入關(guān)聯(lián)矩陣A，使得求解更加簡(jiǎn)單。

1.2圓柱殼改進(jìn)場(chǎng)傳遞矩陣的精細(xì)積分求解

為了得到高精度的改進(jìn)場(chǎng)傳遞矩陣計(jì)算結(jié)果，對(duì)eCx采用精細(xì)積分進(jìn)行計(jì)算，具體步驟如下

式中I8為8階單位矩陣，由于Ta為非零元素為小量，I8和Ta相加時(shí)，數(shù)值計(jì)算會(huì)因?yàn)樯崛胝`差導(dǎo)致精度散失，所以在實(shí)際計(jì)算時(shí)候，先考慮對(duì)Ta使用加法定理計(jì)算。

所以可以執(zhí)行下面的編程語(yǔ)句

經(jīng)過S次循環(huán)可以直接求解得到

1.3環(huán)肋處的改進(jìn)點(diǎn)傳遞矩陣

由于環(huán)肋的存在將改變環(huán)肋處圓柱殼的位移和力，為了推導(dǎo)環(huán)肋的力-位移關(guān)系，根據(jù)殼體面板和環(huán)肋處的位移連續(xù)條件，首先得到環(huán)肋截面質(zhì)心的位移分量和殼體中面位移分量之間的關(guān)系可以表示為式（14）

式中u*、v*、w*、φ*為環(huán)肋截面質(zhì)心的位移分量，u、v、w、φ為殼體中面位移分量，e為偏心距，內(nèi)肋取負(fù)號(hào)，外取正號(hào)；Rr=R+e，為肋骨形心半徑。

圓柱殼對(duì)環(huán)肋的反作用力與力矩，以及環(huán)肋對(duì)圓柱殼力矩之間的關(guān)系應(yīng)該滿足

環(huán)肋對(duì)圓柱殼殼體的反作用力、反力矩與圓柱殼的振動(dòng)位移有關(guān)。當(dāng)圓柱殼運(yùn)動(dòng)時(shí)，與圓柱殼體連接的環(huán)肋會(huì)做四種形式的振動(dòng)，即面內(nèi)彎曲和面內(nèi)拉伸振動(dòng)，面外彎曲和面外扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。將四種振動(dòng)形式的環(huán)肋運(yùn)動(dòng)方程代入式（15）可以導(dǎo)出位移和力之間的關(guān)系

式中Ix、Ir、Iρ和J分別為環(huán)肋對(duì)縱向、徑向?qū)ΨQ軸的慣性矩、對(duì)極軸的慣性矩和扭轉(zhuǎn)常數(shù)；Ar、ρr、Er和G分別為環(huán)肋的截面積、密度、彈性模量和剪切模量。

當(dāng)環(huán)肋存在位于xk時(shí)，將導(dǎo)致兩個(gè)面內(nèi)力和兩個(gè)面外力發(fā)生變化，所以應(yīng)滿足下面的條件

1.4環(huán)肋圓柱殼的總傳遞矩陣

當(dāng)環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)有n個(gè)分段的時(shí)候，則環(huán)肋圓柱殼的總傳遞矩陣可以表示為

其中ηR為右端狀態(tài)矢量、ηL為左端狀態(tài)矢量、T為傳遞矩陣。

1.5邊界條件

1）若兩端為簡(jiǎn)支

則兩端v=w=Nx=Mx=0

可得det|T1|=0

2）若兩端自由

則兩端Nx=Mx=Vx=Sx=0

可得det|T2|=0

3）若兩端為固支

則兩端u=v=w=φ=0

可得det|T3|=0時(shí)符合

2　數(shù)值計(jì)算

為了說明本文方法的可靠性，分別對(duì)圓柱殼和環(huán)肋圓柱殼的固有振動(dòng)算例分別進(jìn)行了Matlab編程計(jì)算并與有限元軟件Abaqus計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，算例如下：

算例1：

圓柱殼參數(shù)：殼體材料的楊氏模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.3，材料的密度為7 850 kg/m3，圓柱艙段的長(zhǎng)度為1 m，半徑為0.5 m，殼體厚度為0.005 m。計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1　圓柱殼固有頻率計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比/Hz

算例2：

環(huán)肋圓柱殼參數(shù)：殼體材料的楊氏模量為2.1× 1011Pa，泊松比為0.3，材料的密度為7 850 kg/m3，圓柱艙段的長(zhǎng)度為1 m，半徑為0.5 m，殼體厚度為0.005 m。環(huán)肋寬度為0.002 m，環(huán)肋高度為0.025 m，環(huán)肋數(shù)為4根，環(huán)肋材料與圓柱殼體材料相同。計(jì)算結(jié)果如表2所示。

從表1可以看出，采用改進(jìn)傳遞矩陣法與有限元計(jì)算圓柱殼固有頻率得出的結(jié)果誤差全都小于1%，充分說明了改進(jìn)傳遞矩陣法的高準(zhǔn)確性。

從表2可以看出，對(duì)于簡(jiǎn)支、自由、固支三種邊界條件，采用改進(jìn)傳遞矩陣法與有限元法得出環(huán)肋圓柱殼振型完全一致，誤差全都小于6%，固有頻率也一致接近，說明了本文采用改進(jìn)傳遞矩陣法計(jì)算環(huán)肋圓柱殼的精確性。從表2中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)軸向半波數(shù)m為5時(shí)，相對(duì)誤差小于1.5%，這可能由于此時(shí)環(huán)肋圓柱殼分段數(shù)與軸向半波數(shù)相同。

從表1和表2發(fā)現(xiàn)，環(huán)肋圓柱殼的相對(duì)誤差與不加肋的圓柱殼相比，誤差要大一些，原因之一是Abaqus本身也是數(shù)值解，與真實(shí)解存在一定誤差；原因之二是環(huán)肋處有點(diǎn)傳遞矩陣，矩陣相乘增多導(dǎo)致總傳遞矩陣的累計(jì)誤差比圓柱殼的要大。

從表1和表2發(fā)現(xiàn)，不同的邊界條件對(duì)于圓柱殼的固有頻率是有影響的，當(dāng)n為0時(shí)，三種邊界條件下的固有頻率幾乎差不多。當(dāng)n大于0時(shí)，自由邊界固有頻率最大；固支邊界固有頻率次之；簡(jiǎn)支邊界固有頻率最小。

表2　環(huán)肋圓柱殼固有頻率計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比/Hz

3　結(jié)語(yǔ)

本文基于Flügge殼體理論的振動(dòng)微分方程，相對(duì)于傳統(tǒng)的傳遞矩陣法，采用改進(jìn)傳遞矩陣法改變狀態(tài)向量的選取，可以快速直接地從振動(dòng)微分方程導(dǎo)出圓柱殼的場(chǎng)傳遞矩陣，推導(dǎo)十分簡(jiǎn)單方便；根據(jù)環(huán)肋和殼體連接處的變形連續(xù)條件，考慮環(huán)肋的面內(nèi)與面外振動(dòng)，導(dǎo)出了環(huán)肋處點(diǎn)傳遞矩陣。最后通過對(duì)自由、簡(jiǎn)支、固支三種邊界條件下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。可以得出下面結(jié)論：

（1）本文采用的改進(jìn)傳遞矩陣法改變了傳統(tǒng)傳遞矩陣法中狀態(tài)向量的選取，直接從振動(dòng)微分方程推導(dǎo)出傳遞矩陣，大大簡(jiǎn)化了傳遞矩陣的推導(dǎo)，使計(jì)算過程更加簡(jiǎn)便。

（2）對(duì)簡(jiǎn)支、自由、固支三種邊界條件的環(huán)肋圓柱殼的固有頻率進(jìn)行計(jì)算，與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了改進(jìn)傳遞矩陣法處理環(huán)肋圓柱殼的振動(dòng)特性的正確性與準(zhǔn)確性，并適用于不同的邊界條件。

（3）不同的邊界條件對(duì)圓柱殼和環(huán)肋圓柱殼固有頻率是有影響的。當(dāng)n為0時(shí)，三種邊界條件下的固有頻率幾乎相同。當(dāng)n大于0時(shí)，自由邊界固有頻率最高；固支邊界固有頻率次之；簡(jiǎn)支邊界固有頻率最低。

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Free VibrationAnalysis of Ring-stiffened Cylindrical Shells Based on Improved Transfer Matrix Method

XU Rui-yang，WANG Xian-zhong，WU Wei-guo
（School of Transportation，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China）

In order to simplify the derivation of the state vector's first order differential equation in the traditional transfer matrix method and obtain the vibration characteristics of ring-stiffened cylindrical shells under different boundary conditions，the improved transfer matrix method is proposed based on Flügge shell theory.This method can be used to improve the selection of the state vectors to get the field transfer matrix which can be solved by a precise integration from the vibration equation directly and quickly.The point transfer matrix can be derived according to the continuous deformation at the connection of the ring and the shell.Finally，comparing the natural frequency calculated by the improved transfer matrix method with the results of FEM under the conditions of free plate，simply supported plate and clamped plate，it is shown that the improved transfer matrix method has effectiveness and applicability.

vibration and wave；improved transfer matrix；ring-stiffened cylindrical shell；precise integration；vibration analysis

O327

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.005

1006-1355（2016）03-0021-05

2015-09-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51409200）；中央高校基礎(chǔ)科研（WUT：2014-IV-022）

許瑞陽(yáng)（1991-），男，江蘇省如皋市人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲輻射。E-mail：xuruiyang11@163.com