熱鍍鋅線沉沒輥動力學建模與穩定性分析

盧增靜，肖　彪，李　偉，徐培民

熱鍍鋅線沉沒輥動力學建模與穩定性分析

盧增靜，肖彪，李偉，徐培民

（安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山 243032）

為弄清熱鍍鋅線鋅鍋內沉沒輥的振動機理，須對其進行動力學建模。對鋅鍋內組件進行適當簡化，分析沉沒輥運動和受力情況，建立僅包含部分段帶鋼、沉沒輥和軸承力學模型。在力學模型基礎上，利用達朗貝爾原理建立相應的非線性動力學方程。求出系統靜平衡位置，得到系統相對于靜平衡位置動力學方程。利用李雅普諾夫穩定性理論對沉沒輥運動穩定性進行分析，得到穩定性判據。動力學模型建立為以后研究沉沒輥振動響應和振動控制奠定了基礎。由運動穩定性判據可知適當的初始張力、帶速和校正輥上推量有利于沉沒輥穩定運行。

振動與波；沉沒輥；動力學模型；穩定性判據；達朗貝爾原理

在熱鍍鋅生產線上，鋅鍋內輥子的振動會引起帶鋼的抖動，從而影響鋼板鍍鋅質量。此外輥子旋轉過程中，其兩端的軸套與軸瓦相互接觸摩擦，輥子的振動會加劇軸承的磨損，甚至使其失效。王軍通過現場測試和有限元仿真分析，對沉沒輥及其支架系統進行了模態分析［1］。李蛟龍建立了鋅液和沉沒輥流固耦合有限元模型，計算得到沉沒輥在鋅液中的模態，發現鋅液中沉沒輥的固有頻率約為空氣中的1/4［2］。王洋等利用廣義Hamilton原理建立了出鋅鍋段帶鋼—輥子—柔性支承混雜系統的數學模型，并在靜平衡位置對系統進行線性化，最后對該系統進行了模態分析［3］。李健等對鋅鍋區上行段進行動力學建模時將鋅鍋內輥子對帶鋼的影響用沿帶鋼橫向的簡諧激振力代替，得到了鋅鍋內輥子對帶鋼抖動影響較大的結論［4］。上述文獻建模時均忽略了輥子兩端滑動軸承的影響。

Younes研究了徑向滑動軸承在半干摩擦狀態下的動力學特性，分析了軸頸和軸瓦間的相互作用，并建立了軸頸沿切線方向的運動方程［5］。通過對狀態方程線性化獲得系數矩陣，最后利用Lyapunov理論判斷系統的運動穩定性。陳鋒等研究了潤滑不良狀態下軸承摩擦激勵對螺旋槳推進軸系非線性振動特性的影響，基于拉格朗日方程和模態疊加法建立了系統非線性動力學方程，利用數值法求解系統響應［6］。研究結果表明，軸承摩擦負阻尼易引起系統摩擦自激振動。

本文從熱鍍鋅線鋅鍋內結構的實際出發，考慮帶鋼彈性，忽略輥子及其吊臂的彈性，建立僅包含部分段帶鋼、沉沒輥和軸承的振動模型，得到沉沒輥非線性振動微分方程組。最后對系統運動穩定性進行分析。

1　沉沒輥動力學建模

1.1鋅鍋內組件簡化

熱鍍鋅線鋅鍋內三個輥子均為被動輥，依靠兩端軸套式滑動軸承支撐在輥架上，輥子隨帶鋼軸向運動而轉動。本文欲將工藝段帶鋼在校正輥和4號熱張緊輥處截斷，然后取這部分作為研究對象。由于沉沒輥的最大工作轉速nmax與第1階臨界轉速nc之比nmax/nc＜0.5，可將沉沒輥假設為剛體［7］。當不考慮帶鋼的橫向振動時，可忽略其彎曲剛度，將其簡化為無質量的線性彈簧［8-9］。在忽略輥架彈性和振動的情況下，軸承可視為固定支承，輥架即為支承基礎。用附加慣性來考慮鋅液對輥子運動的影響。

為了建立簡單而準確的力學模型，還應提出幾點簡化假設：

（1）不考慮輥子兩端軸承的異動，即假設兩端軸承同步運動，且不考慮輥子軸向運動，整個輥子的運動關于輥架對稱面對稱；

（2）軸頸與軸瓦間為干摩擦，且滿足庫倫摩擦定律；

（3）軸頸跟軸瓦始終接觸；

（4）考慮帶鋼的張力波動；

（5）不考慮軸瓦和軸頸的磨損；

（6）輥子質量均勻分布；

（7）帶鋼在輥子上不打滑；

（8）帶鋼與輥子的接觸切點不發生變化；

（9）忽略帶鋼跑偏以及翹曲變形。

1.2沉沒輥力學模型

對沉沒輥進行力學建模時要先弄清其運動和受力情況。沉沒輥受到重力G，鋅液浮力Ff，帶鋼張力Ti（i=1，2），兩端軸承切向摩擦力Ft和摩擦力矩M（Ft），帶鋼與輥面間的靜摩擦力矩M（Fs），以及輥架支反力FN的綜合作用。

沉沒輥的運動包括隨帶鋼軸向運動的轉動和沿著軸瓦內表面的渦動，其中輥子的轉動又包括定軸勻速轉動和轉動振動兩部分。

在忽略帶鋼跑偏以及翹曲變形的情況下，帶鋼、輥子和軸承存在一個縱向對稱面，稱之為“系統振動平面”，在該平面上建立沉沒輥的力學模型，如圖1所示。

圖1　沉沒輥力學模型

引入固定坐標系Oxz，原點O為兩端軸承中心連線與對稱面的交點。輥子幾何中心Or與坐標原點O的距離為e。ki（i=1，2）表示帶鋼的彈性。g1為4號熱張緊輥至沉沒輥段帶鋼與x軸的夾角，g2為校正輥上推量Dm給定時沉沒輥至校正輥段帶鋼與z軸的夾角。輥子振動對g1和g2的影響較小，可忽略不計，則g1可作為確定的常數，g2與校正輥的上推量Dm有關。

沉沒輥運轉過程中任意時刻所處的位置可以用角位移j（t）和q（t）來表示，前者表示沉沒輥繞其軸心的自轉角位移，后者表示沉沒輥中心繞固定坐標系原點O的渦動角位移。

式中q0為靜平衡位置，Dq（t）代表相對于靜平衡位置的渦動量，常數w0為與帶鋼運行速度對應的輥子名義角速度，Dj（t）為扭轉振動角位移。

此處還需說明的是，從表面上看，圖1所示力學模型中兩處約束的表示方法似乎限制了帶鋼的軸向運動和輥子的轉動。實際上，本文只是借用這種約束符號來表示4號熱張緊輥和校正輥對軸向運動帶鋼的約束作用。

1.3沉沒輥非線性動力學方程

在圖2所示的力學模型的基礎上，將沉沒輥所受力系等效到質心Or處，根據D'Alembert原理，在點Or上虛加慣性力和力偶矩，如圖2所示。

圖2　沉沒輥質心力系簡圖

根據力系平衡條件可得沉沒輥的渦動和轉動非線性動力學方程組，為了使系統更符合實際情況，加上阻尼得

式中m為沉沒輥質量，J為其等效轉動慣量，有效重力G'=G-Ff，R為沉沒輥外半徑，rj為軸頸半徑，m為軸頸與軸瓦間的摩擦系數，c為黏性阻尼系數，其余參量見（1.2）節。

方程組（2）中張力Ti包括初始張力Ti0，沉沒輥渦動引起的動張力DTi1，沉沒輥扭轉振動產生的動張力DTi2，因上游或下游系統動力學引起的動張力DTi3，而此部分動張力相當于外激勵，則帶鋼總張力為

ki為第i段帶鋼的剛度系數，li0為第i段帶鋼初始長度，B為張力波動幅值，wb為張力波動頻率，后兩者的值來自現場的測試數據。

令系統的微分方程中對時間的導數項為零，波動張力DTij=0，可得到系統的靜平衡方程。

沉沒輥渦動靜平衡方程為

求解式（4）可得渦動靜平衡點q0，將其代入式（5）可求得輥子轉速w0。這說明，渦動靜平衡點與系統構型、初始張力、校正輥上推量有關外，還與帶速有關。

將平衡點q0代進（4）式和（5）式后，再將此二式代入方程組（2），即可得到沉沒輥相對于平衡位置的非線性動力學方程組

2　穩定性分析

本文是在不考慮動張力DTi3的情況下來分析沉沒輥的運動穩定性，此時帶鋼總張力為

將式（7）代入方程組（6），將方程中sinDq和cosDq在Dq=0處泰勒級數展開，并保留方程組中Dq和Dj的二次以下項得

將式（8）表示在狀態空間中，即可得到系統在狀態空間的1階運動微分方程組。

狀態方程組式（9）的一次近似方程組為

1階近似方程組式（10）在U1=U2=U3=U4=0處相對于變量U1、U2、U3、U4的雅克比矩陣為

矩陣A對應的特征方程為

特征方程（12）的所有根具有負實部的充要條件為

（1）特征多項式的系數全部為正；

（2）一半Hurwitz（霍爾維茨）行列式大于零。

根據Lyapunov穩定性理論可知：若一次近似方程所有特征值的實部均為負，則原非線性方程的零解漸近穩定。由于微分方程未擾運動的穩定性等價于擾動微分方程零解的穩定性，則沉沒輥運動穩定性判據為

當沉沒輥的外形尺寸和帶鋼規格確定后，其相應的幾何和物理參數可作為常數考慮。軸承半徑間隙e，軸承處滑動摩擦系數m，帶鋼與輥面間靜摩擦系數ms和帶鋼各段初始長度li0均為確定的常數。因此，沉沒輥運動穩定性與帶鋼初始張力Ti0，校正輥上推量Dm和帶速有關，生產實踐中通過調節這些參數以滿足不等式（12）即可使沉沒輥穩定運行。

3　算例

以某熱鍍鋅線為背景，帶鋼規格為1 mm×1 000 mm，取初始張力T20=32 000 N，帶速v=90 m/s，阻尼比x1=x2=0.001，校正輥上推量Dm=30 mm，其它參數按實際情況取值，如表1所示。

根據表1中所列相關參數可計算出沉沒輥的質量m=1 727 kg，有效重力G'=9 752 N，帶鋼的剛度系數k1=2.02×107，k2=4.20×108，參考文獻［10-11］計算出有效轉動慣量J=422 kg?m2，根據歐拉公式可求得帶鋼初始張力T10=30 900 N。求解式（4）可得沉沒輥渦動靜平衡位置q0=1.10 rad。

將系統各相關參數和q0代入式（11），利用Matlab數值求解器計算出各特征值為

由于一次近似方程所有特征值的實部均為負數，則沉沒輥的未擾運動是穩定的。

此外，由于上述系統參數能夠滿足不等式（12），亦可判斷沉沒輥的未擾運動是穩定的。

4　結語

利用D'Alembert原理建立了熱鍍鋅線鋅鍋內沉沒輥的動力學模型，該模型考慮了帶鋼彈性和沉沒輥兩端干摩擦滑動軸承的影響，比較真實地反映了實際情況。動力學模型的建立為以后研究系統響應，制定沉沒輥振動的抑制策略奠定了基礎。將Lyapunov穩定性理論與Hurwitz判據相結合得到了沉沒輥運動穩定性判據，該判據為生產中調節帶鋼初始張力、帶速和校正輥上推量以實現系統穩定運行提供了依據。

表1　系統幾何和物理參數

［1］王軍.熱鍍鋅生產線出鋅鍋段帶鋼抖動現象動力學研究［D］.合肥：安徽工業大學，2010.

［2］李蛟龍.冷軋帶鋼熱鍍鋅沉沒輥服役周期振動特性研究［D］.武漢：武漢科技大學，2012.

［3］王洋，許飛，李勇，等.帶鋼-輥子-柔性支承混雜系統動力學建模與耦合振動研究［J］.振動工程學報，2013，26（4）：599-607.

［4］李健，顏云輝，郭星輝，等.基于薄板固有特性的連續熱鍍鋅帶鋼表面質量在線控制［J］.機械工程學報，2011，47（9）：60-65.

［5］YOUNES Y K.On the dynamics and stability of a semidry journal bearing［J］.Wear，1993（169）：215-220.

［6］陳鋒，張振果，張志誼，等.摩擦激勵下螺旋槳推進軸系自激振動特性分析［J］.噪聲與振動控制，2015，35（2）：117-120.

［7］鐘一諤，何衍宗，王正，等.轉子動力學［M］.北京：清華大學出版社，1987：209-210.

［8］BEIKMANN R S.Static and dynamic behavior of serpentine belt drive systems：theory and experiment［D］. Michigan State：University of Michigan，1992.

［9］BEIKMANN R S.PERKINS N C.ULSOY A G.Design and analysis of automotive serpentine belt drive systems for steady state performance［J］.Journal of Mechanical Design，1997，119（2）：162-168.

［10］馬斌捷，劉楨，林宏.航天器貯箱液體的有效轉動慣量（上）［J］.導彈與航天運載技術，2011（1）：21-25.

［11］王基盛，楊慶山.流體環境中結構附加質量的計算［J］.北方交通大學學報，2003，27（1）：40-43.

Dynamic Modeling and StabilityAnalysis of the Sink Roll in a Hot-dip Galvanizing Line

LU Zeng-jing，XIAOBiao，LIWei，XU Pei-min
（School of Mechanical Engineering，Anhui University of Technology，Ma'anshan 243032，Anhui China）

In order to find out the vibration mechanism of the sink roll in hot-dip galvanizing lines，its dynamic model is established.The zinc pot hardware is appropriately simplified and the kinematic and dynamic perfoprmance of the sink roll is analyzed.A mechanical model including steel strip，sink roll and bearings is established.D'Alembert principle is used to derive the nonlinear dynamic equations.The system equilibrium positions are obtained according to the dynamic equations.Then，the new dynamic equations relative to the steady state of the system are derived.The stability analysis of the sink roll is performed by using Lyapunov stability theory，and the stability criterion is deduced.This dynamic model has provided the foundation for analyzing the vibration response and control measures for the sink rolls.Stability criterion demonstrates that the appropriate initial tension，strip velocity and roll engagement can increase the stability of the sink roll.

vibration and wave；sink roll；dynamic model；stability criterion；D'Alembert principle

TH113.1；O322

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.011

1006-1355（2016）03-0052-05

2015-12-30

盧增靜（1990-），男，江蘇省徐州市人，碩士研究生，主要研究方向為機械系統動力學與振動控制。E-mail：18895558100@163.com

徐培民，男，博士，教授。E-mail：xupeimin@ahut.edu.cn