基于耦合Duffing振子的微弱故障信號檢測

王曉東，趙志宏，楊紹普

基于耦合Duffing振子的微弱故障信號檢測

王曉東1，2，趙志宏2，楊紹普1，2

（1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點實驗室，石家莊 050043）

針對傳統信號處理方法在低信噪比條件下對微弱信號檢測的不足，提出一種對雙Duffing振子進行阻尼項耦合的方法，通過對此系統進行動力學分析，比單個Duffing振子具有更加復雜的動力學行為。闡述了基于相平面變化的微弱信號檢測原理，對時間進行尺度的變換，實現了未知頻率信號的檢測，最后對微弱脈沖信號進行檢測以及真實的故障軸承的早期診斷，取得了較好的效果，該方法在無線通信、雷達系統、旋轉機械早期故障診斷等領域具有廣闊的前景。

振動與波；雙耦合Duffing振子；混沌；周期信號；故障診斷

自1990年Pecora and Carrel提出混沌同步概念以來，混沌同步理論和應用研究得到了迅速的發展［1］。相繼提出了完全同步、廣義同步、滯后同步、哈密頓系統的測度同步等同步概念。同步是耦合非線性系統的合作行為最基本的表現之一，同步是物理學、電子技術、生物學、化學、光學等學科在非線性問題研究中的一個非常重要的課題［2-4］。人們在尋找新的同步方式的同時，也嘗試著從更高的高度來研究這些同步形式。例如，從研究低維混沌發展到研究高維時空混沌就是一種新的嘗試。雙耦合Duffing混沌振子系統就是高維時空混沌系統。耦合振子系統的動力學行為遠比單振子系統復雜，它的同步和控制過程為在不同領域中的應用提供可能，同時也引起了世界各國學者的廣泛關注［5-8］。

本文研究的是雙耦合Duffing混沌振子在微弱信號檢測中的應用。利用雙耦合Duffing振子混沌系統對微小信號敏感性和對強噪聲的免疫力［9-11］，以及兩個Duffing振子互相聯系互相控制的工作過程，提高系統在臨界分岔處的穩定性，為混沌振子系統檢測微弱信號提供新的途徑。通過對雙耦合Duffing振子系統模型建立、動力學分析及應用于微弱信號檢測的研究表明它在正弦信號、脈沖信號檢測方面具有很好的應用前景，最后通過對真實故障軸承信號分析，獲得較好的效果，為工程實際中旋轉機械早期故障診斷應用提供了一種可借鑒的方法［12-13］。

1　雙耦合Duffing振子模型的建立

根據文獻中出現過的對位移項進行耦合［14］的方式，本文對雙耦合Duffing振子采用以下特定的耦合方式，即對阻尼項進行耦合，建立數學模型如下

上式中k表示阻尼系數，一般取k=0.5，c表示耦合系數，γcos（ωt+θ）表示周期策動力。

1.1耦合系數與動力學行為的關系

c表示耦合系數，c的取值越大說明耦合的強度越高，不同振子間的同步性越強，若c=0，則兩振子之間的耦合作用消失，此時系統的動力學行為與單個Duffing振子系統相同。當c≠0時，系統的變量會在耦合作用的影響下隨時間趨于同步。由圖1可以看出兩個系統在t=12 s后很快達到了同步行為，而且通過對阻尼耦合系數c取不同的數值進行大量實驗驗證表明對于阻尼耦合的情況與位移耦合情況正好相反，阻尼耦合系數越大，相同步的時間越長，這是合理的。

圖1　雙耦合系統變量（x-u）時間歷程圖

1.2雙耦合Duffing振子的分岔圖

分岔是指非線性系統定性行為隨著參數變化而發生質變的現象，分岔研究不僅能揭示系統不同狀態之間的聯系和轉化，而且是研究失穩和混沌產生機理和條件的重要途徑，所以分岔與系統的結構穩定性有著十分密切的聯系。圖2是此雙耦合Duffing混沌振子系統在特定參數（k=0.5，c=2，ω=1.0rad/s）下的分岔圖，通過此圖可以看出隨著策動力γ的不斷增大，系統出現混沌與周期的交替現象，當γ比較小時，系統表現為周期一運動；繼續增大γ，在γ=0.35附近時，系統出現倍周期分岔，表現為周期二運動；再繼續增大γ，系統出現混沌狀態，最終在γ=0.82附近，由混沌狀態又進入穩定的周期一狀態。

圖2　雙耦合系統的分岔圖

1.3雙耦合Duffing振子系統的檢測原理

通過上述方程式（1）的耦合模型，建立Simulink仿真模型，采用定步長4階Runge-Kutta方法進行研究，取步長h=0.01 s，耦合系數c=2，選擇其它參數不變時，改變策動力幅值γ，當γ較小時，相軌跡表現為Poincare映射意義下的吸引子，相點圍繞焦點做周期振蕩，逐漸增加γ達到臨界值γ=0.826時，系統經歷同宿軌道，倍周期分岔直至混沌運動（如圖3（a）所示），系統在混沌狀態的時間相對較長，而且相軌跡局限在某一個范圍內，繼續增大策動力γ，系統進入到臨界大尺度周期狀態。此時γ略微增加超過閾值γd，系統將以外加周期力的頻率進行大尺度的周期振蕩（如圖3（b）所示），此后相軌跡不在雜亂無章，而是沿著固定的軌道重復下去。

2　雙耦合Duffing振子對微弱正弦信號的檢測

根據雙耦合Duffing振子的動力學行為特點，建立微弱信號檢測的數學模型如下所示。

其中γcos（ωt+θ）為內置信號，acos（ωt+φ）為待測的信號，n（t）高斯白噪聲。對上述構造的系統進行仿真實驗時，此系統檢測原理與單Duffing振子一樣（即選擇從臨界周期到周期的軌跡相變為判斷系統輸入是否帶有周期信號的依據），當雙耦合Duffing振子系統調整到從混沌狀態到大周期的臨界狀態時，亦即γ將設置在臨界分岔狀態附近。然后加入待測的微弱周期信號，當待測信號加入系統中經過暫態過程以后，系統穩定在某一運動形式上，計算機通過辨識系統容易得知系統是處于混沌還是大尺度周期運動狀態。由此，可判斷輸入信號是純噪聲還是混有微弱周期信號。

當輸入待測信號后，整個驅動力變為

圖3　雙耦合Duffing振子系統相圖

由上述雙耦合Duffing振子非線性系統相態變化的仿真結果顯示，可求得此時信號的信噪比檢測門限為

對于傳統方法，很難檢測到信噪比-10 dB的信號，這也是一些傳統方法的局限所在，同時驗證了混沌檢測系統的優勢，能夠實現低信噪比下的微弱周期信號檢測。因此混沌系統具有很好的發展前景和研究價值。

當相位θ=0時

其中

從上式可以看出系統相態和相位之間的關系。調整策動力可以使待測信號的相位滿足下式：π-arccos［（a/2γ）］≤φ≤π+arccos［（a/2γ）］使系統出現混沌狀態，不產生大周期變化。

當系統沒有同頻率待測周期的信號輸入時，系統輸出呈現如圖4（a）雜亂無章的混沌現象。當系統有相同頻率的待測周期信號acos（ωt），其中a=0.003，輸入系統時，系統輸出呈現如圖4（b）的大周期現象（前期有個不穩定的過渡狀態，隨后進入穩定的大周期）。

圖4　雙耦合Duffing振子的系統相圖

2.1對未知頻率信號的檢測

上面只是研究了周期頻率ω=1rad/s的情況，對于實際工程信號而言，要想將某一頻率成分的信號檢測出來，就要將方程（1）的驅動信號頻率設置為該待測信號的頻率值。然而這個待測信號的頻率往往是很難確定的。為了減少計算的麻煩，可以對方程進行時間尺度的變換，改變信號的時間尺度，在不改變其離散數值的情況下，將其在時間尺度上進行壓縮或放大，這種時間尺度并不改變參與計算數據，只是在時間軸上對數值進行了重新排序。

令t=ωτ，則有：x（t）=x（ωτ）；

代入方程（1）整理得

這樣只需調整方程式（4）中的ω值，來適應外界不同頻率的周期信號，從而實現對外界不同頻率微弱信號的檢測。由于狀態方程（4）是由上述方程派生出來的，只是從另一時間尺度觀察耦合非線性系統的動態，因此前面所討論的結果都是適用的。對于上述變形耦合非線性系統的模型，設置其它參數不變，進行不同頻率的周期信號檢測。在耦合方程改進后，可根據實際情況調整參數以進行系統各個狀態的仿真和計算。

3　微弱脈沖信號的檢測

脈沖信號是一種離散信號，形式多種多樣，波形在時間軸上不連續，但具有一定的周期性，因此也就為檢測脈沖信號提供了可能。最常見的脈沖信號就是矩形波（方波），脈沖信號可以用來表示的信號有：脈沖編碼調制、脈沖寬度調制、各種數字電路、高性能的時鐘信號，因此對于微弱脈沖信號的檢測是值得研究且有一定的應用價值。

下面是基于Simulink中脈沖發生器模塊產生的一組信號（如圖5所示），然后把該信號和噪聲（此信號的信噪比為-14.8 dB）一起加入到雙耦合Duffing振子檢測系統中進行模擬實驗，檢測原理方法與微弱正弦信號是一樣的，通過大量實驗仿真表明此微弱脈沖信號檢測的內驅動力依然可以是正弦信號（與脈沖信號同頻率），不再需要改變內驅動力的波形，調節好此系統的臨界閾值，進行仿真實驗，觀察系統相圖的變化。

圖5　脈沖信號

圖6　加入噪聲的脈沖信號

通過系統相圖的變化（如圖7所示，從混沌狀態轉變為大周期狀態），可以看出此雙耦合Duffing振子系統能有效地檢測出混在噪聲中的微弱脈沖信號，為以后數字電路、雷達通訊等故障信號檢測提供了一種可能。

圖7　雙耦合Duffing振子系統相圖

4　軸承的早期故障診斷

軸承故障是旋轉機械中最為常見的故障，作為機械設備關鍵部件之一，早期故障發現顯得尤為重要，如何在故障早期發展階段及時發現故障，避免更大的損失，是故障診斷工作者一直研究的課題。

上面通過數值模擬實驗實現了強噪聲背景下的微弱周期信號的檢測，為了能夠在工程實際中得到驗證，本文采用美國凱斯西儲大學電氣工程與計算機科學系軸承中心在網絡上提供的實驗數據［15］進行分析，試驗臺由功率為1.47 kW的電動機、扭矩傳感器、測力計和電氣控制裝置組成。實驗使用的軸承型號是SKF6205-2RS深溝球軸承，其結構參數見下表1。的特征頻率的方法。

表1　軸承的結構參數

通過對此軸承用電火花加工的單點損傷，加工的故障直徑為0.007英寸，采用16通道振動加速度傳感器進行信號采集，將振動信號導入Matlab中，下圖8分別是軸承內、外圈的故障時域圖，很難觀測出其故障特征頻率。電機主軸轉速為1 797 r/min，采樣頻率為12 000 Hz，由軸承的特性，專家們已經根據經驗、理論總結推導出了計算滾動軸承各個部位

圖8　軸承內、外圈的故障時域圖

ft，f0分別表示內圈、外圈故障頻率，其它參數含義已給出。根據表格中的各個參數可以計算出軸承內外圈的故障頻率分別為：156.2 Hz和110.3 Hz。

通過以上實驗數據分析，當系統輸入正常信號時，系統狀態沒有發生變化，而輸入內、外圈故障信號時，系統相圖由混沌狀態變為周期狀態。由此可以說明系統相軌跡圖發生了變化，并不是因為信號中其它因素引起的，而是由于采集的信號中存在與系統內置頻率同頻率故障信號的原因引起了系統相軌跡圖的變化，由此判斷出采集的信號是有故障的，并取得了較好的效果。

圖9　雙耦合Duffing振子系統相圖

5　結語

本文針對傳統的微弱信號檢測問題，提出一種基于雙耦合Duffing振子系統的檢測方法，并對時間尺度進行變換，實現了任意未知頻率周期信號的檢測。而且通過對微弱正弦信號、脈沖信號的檢測以及對實測故障軸承信號的早期診斷，取得較好的效果。為數字電路、雷達通訊等信號的檢測提供了一種可鑒的方法，也為工程實際中旋轉機械的早期故障診斷提供了有效的依據。

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Weak Fault Signal Detection Based on Coupled Duffing Oscillators

WANG Xiao-dong1，2，ZHAO Zhi-hong2，YANG Shao-pu1，2
（1.School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043，China；2.Key Laboratory of Traffic Safety and Control of Hebei Province，Shijiazhuang 050043，China）

For the shortage of the traditional signal processing method in weak signal detection in low SNR condition，a new system detection method based on a double Duffing oscillator is proposed.Through dynamic analysis，this system is found to have a more complex dynamic behavior than that of the single Duffing oscillator.The principle of weak signal detection based on phase plane changing is expounded.Through transforming the time scale，the unknown frequency signals are detected.Finally，the weak pulse signal is detected and the early fault diagnosis of a real bearing is realized，and good results are obtained.This method has broad prospects for application in early fault diagnoses of wireless communications，radar systems and rotating machinery.

vibration and wave；bi-coupled Duffing oscillators；chaos；periodic signal；fault diagnosis

TH163.3

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.036

1006-1355（2016）03-0174-05+209

2015-11-05

國家自然科學基金資助項目（11172182；11227201；11472179）

王曉東（1989-），男，河北省滄州市人，碩士研究生，主要從事故障診斷與混沌理論研究。E-mail：wx_dong@126.com