一類具有2個加性變時滯的系統的指數穩定性分析

韓彥武，湯紅吉

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一類具有2個加性變時滯的系統的指數穩定性分析

韓彥武，湯紅吉

（南通大學理學院，江蘇南通 226019）

考慮了一類具有2個加性變時滯的系統的指數穩定性問題．通過把時滯區間分別分成2個小區間，構造一個適當的Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF），該LKF整體正定，不要求每一部分正定．運用積分不等式和倒凸組合的方法，得出了系統指數穩定的充分條件，并以線性矩陣不等式的形式表示．數值實例表明了該方法的有效性．

加性變時滯；時滯分解；指數穩定；倒凸組合

時滯廣泛存在于各類系統中，如生物系統、神經網絡和網絡化控制系統等．時滯的存在可能會引發系統振蕩甚至使系統失穩，因此時滯系統的穩定性分析成為系統理論領域的熱點問題之一[1-14]．文獻[1-2]構造了包含三重積分的增廣LKF，得出了較好的結果；文獻[3-4]在LKF求導時，利用Newton-Leibniz公式，引入了自由權矩陣；文獻[5-7]利用積分不等式、凸組合或倒凸組合得出了時滯系統穩定的充分條件；文獻[8-9]利用時滯分解的方法，分析了系統的穩定性．

本文針對一類加性變時滯系統，研究其指數穩定性問題．運用時滯分解的方法，把時滯區間進行分解（可以是平均分解，也可以是不平均分解），構造一個適當的LKF，利用積分不等式和倒凸組合的方法，得出系統指數漸近穩定的充分條件，并以線性矩陣不等式的形式表示．

1 問題描述

考慮具有2個加性變時滯的系統

2 主要結果及證明

證明構造Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF）

注1通常，LKF表示為若干正定二次型和的形式，這樣可以保證LKF的正定性．但在定理中，不需要是正定矩陣，由式（4）保證了LKF（6）的正定性．

注3由于本文考慮的是指數穩定性問題，所以在定理中，為便于估計，需要（）是正定矩陣，若只考慮漸近穩定問題，則只需要是對稱矩陣[14]756．

3 數值實例

表1　對于給定的，的最大值

表1　對于給定的，的最大值

方法來源 1　　 1.2　　1.5方法來源 1　　1.2　　 1.5 文獻[10]0.4150.3760.248文獻[13]0.8730.6730.373 文獻[11]0.5120.4060.283文獻[14]0.9880.8360.563 文獻[12]0.5830.5190.421定理1.1260.9440.652

表2　對于給定的和，的最大值

表2　對于給定的和，的最大值

k 1　　 1.2　 　1.5 0.050.8730.6770.366 0.10.6770.4700.148

由表1可以看出，與文獻[10-14]相比較，利用本文時滯分解方法可以得出較好的結果．

本文主要研究了具有2個加性變時滯系統的指數穩定性問題．綜合利用時滯分解、積分不等式和倒凸組合技巧，得出系統指數穩定的充分條件，并用LIMs表示．數值實例說明了本文時滯分解方法的有效性．

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[2] Chen J，Sun J，Liu G，et al．New delay dependent stability criteria for neural networks with time-varying interval delay[J]．Physics Letters A，2010，374（43）：4397-4405

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[5] Shao H．New delay-dependent stability criteria for systems with interval delay[J]．Automatica，2009，45（3）：744-749

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[7] Seuret A．Wirtinger-based integral inequality：application to time-delay systems[J]．Automatica，2013，49（9）：2860-2866

[8] Han Q．Improved stability criteria and controller design for linear neutral systems[J]．Automatica，2009，45（8）：1948-1952

[9] Zheng M，Xiao W，Chen Q．Improved stability criteria for uncertain linear systems with interval time-varying delay[J]．Journal of System Science Complex，2013，26：175-186

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[11] Gao H，Chen T，Lam J．A new delay system approach to network-based control[J]．Automatica，2008，44（1）：39-52

[12] Li P．Further results on delay-range-dependent stability with additive time-varying delay systems[J]．ISA Transactions，2014， 53（2）：258-266

[13] Ge X．Comments and an improved result on stability analysis for continuous system with additive time-varying delays：a less conservative result[J]．Applied Mathematics and Computation，2014（241）：42-46

[14] Shao H，Zhang Z．Delay-dependent state feedback stabilization for a networked control model with two additive input delays[J]．Applied Mathematics and Computation，2015（265）：748-758

Exponential stability analysis for a class of system with two-additive time-varying delays

HAN Yan-wu，TANG Hong-ji

（School of Science，Nantong University，Nantong 226019，China）

Deals with the exponential stability analysis of dynamic systems with two additive time-varying delay．By decomposing one delay interval into two subintervals which may be unequal，an appropriate Lyapunov-Krasovskii functional（LKF）is constructed whose each term is not positive definite while the the sum of each term is positive definite．The integral inequality method and the reciprocally convex technique are utilized to deal with the derivative of the LKF．The delay-dependent exponential stability criterion obtained from this method is expressed in terms of the linear matrix inequalities（LMIs）．Anumerical example is used to show the effectiveness of this method．

additive time-varying delay；delay decomposing；exponential stability；reciprocally convex technique

1007-9831（2016）11-0001-05

O231

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.001

2016-09-05

國家自然科學基金資助項目（61273013，61374061）

韓彥武（1977-），男，黑龍江依蘭人，講師，碩士，從事微分方程理論與應用研究．E-mail：ntuhyw@163.com