從一題多解看高等數(shù)學競賽的綜合能力培養(yǎng)

周小建

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從一題多解看高等數(shù)學競賽的綜合能力培養(yǎng)

周小建

（南通大學 理學院，江蘇 南通 226019）

高等數(shù)學的知識和思辨方法已成為當代大學生的知識能力和素質(zhì)結(jié)構(gòu)中不可或缺的重要組成部分．從2個實例出發(fā)，通過一題多解，探索該教學方法在高等數(shù)學競賽教學輔導過程中對學生創(chuàng)新思維和發(fā)散思維能力的培養(yǎng)．

一題多解；創(chuàng)新思維；發(fā)散思維；高等數(shù)學

高等數(shù)學課程不僅要傳授必要的數(shù)學知識，更重要的在于培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，即數(shù)學思維能力[1]．創(chuàng)造性思維能力是數(shù)學思維能力的重要組成部分，對其它學科或工作具有指導和幫助作用．教師都能夠重視知識的傳授，但是對如何培養(yǎng)創(chuàng)造性思維品質(zhì)及能力往往重視不夠．與中學數(shù)學相比，高等數(shù)學在知識層次、認識層次和方法層次上，有較大的擴展和深化，在嚴謹性和邏輯性方面也有提高與突破．由于培養(yǎng)目標的要求，高等數(shù)學課程的教學必須傳授知識和技能，發(fā)展思維能力，保證學生具有數(shù)學基礎(chǔ)和素養(yǎng)．但是由于各種原因，如教學課時的縮減和實際應(yīng)用教學課時的增加等，造成高等數(shù)學教學時間的緊促，這就給高等數(shù)學教學提出了一個新的問題，即如何在有限的時間內(nèi)把高等數(shù)學的精神和思想教給學生．

一題多解，就是靈活運用所學數(shù)學基礎(chǔ)知識，對于同一題目，從不同角度，應(yīng)用不同方法，給出多種不同的解題方法．一題多解的講解和訓練，可以促進學生把所學的基礎(chǔ)知識和基本技能融會貫通，靈活運用，使學生的解題思路開闊，提高了學生分析問題和解決問題的能力．一題多解的教學方法能夠充分利用現(xiàn)有的教學時間，最大限度地幫助學生鞏固所學知識，培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和發(fā)散性思維的能力[2]．

本文從定積分、二重積分的計算實例出發(fā)，探索一題多解的教學方法在高等數(shù)學競賽教學中對學生創(chuàng)新思維和發(fā)散性思維的促進作用和培養(yǎng)．

分析計算定積分必須以扎實而豐富的基礎(chǔ)知識為依據(jù)，如求定積分的常用方法（第一類換元積分法、第二類換元積分法和分部積分法）、代數(shù)式、三角函數(shù)式的恒等變形和變量代換等[3]．使學生的思維向多方向擴展，盡可能多地綜合運用所學知識尋求多種解答思路．這有助于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力和發(fā)散思維．

方法1可以從已知出發(fā)采用分部積分法轉(zhuǎn)化成定積分，再采用變量代換法完成求解．

求含有抽象函數(shù)的積分，通常使用的方法就是分部積分，以避免對未知函數(shù)進行直接積分．所以這種方法容易被學生接受，能夠體現(xiàn)學生的數(shù)學基本功．

方法2 可以從已知出發(fā)采用分部積分法轉(zhuǎn)化成定積分，再采用三角變換完成求解．

與方法１相比，方法２采用了三角替換來計算定積分．在定積分的計算中，通過三角替換去根號也是一種常見的處理方式，對大多數(shù)學生而言沒有難度．

方法3可以對原定積分進行變量替換完成等價轉(zhuǎn)化，再采用分部積分法進行計算．

方法3本質(zhì)上來講與方法1沒有太多的區(qū)別，僅僅是提前進行根號變換．

方法4可以將所求的定積分轉(zhuǎn)化成累次積分，采用交換積分順序的方法將所求的積分進行等價轉(zhuǎn)化，再采用變量代換法完成求解．

一般而言，二次積分常化為定積分來計算，然而方法4卻反其道而行之．該方法的介紹有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維．

分析二重積分的概念和計算是多元函數(shù)微積分學的重要組成部分，熟練掌握二重積分的計算是教學大綱的基本要求[4]．二重積分計算的關(guān)鍵在于方法和技巧．通過對典型二重積分計算的一題多解，不僅能使學生全面掌握二重積分的計算方法，而且對一些技巧的講解，同樣能培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維．

二重積分通常可以轉(zhuǎn)化為累次積分，進而完成計算．累次積分有２種類型，即先后或先后．根據(jù)所求的區(qū)域，給出了解法1~4．

二重積分可以采用變量代換進行等價轉(zhuǎn)換，進而完成計算．從已知出發(fā)，給出和的取值范圍，采用變量替換進行等價轉(zhuǎn)換．

解法7~8中的２種變換在教材中雖有介紹，但平時應(yīng)用得較少．這２種方法的介紹，有助于提高學生學習興趣，激發(fā)學生創(chuàng)新能力．

[1] 陳靜，馬蘇奇，王來生．注重學生解決問題的能力與創(chuàng)造型思維的培養(yǎng) 提高高等數(shù)學課程的教學效果[J]．大學數(shù)學， 2006，22（3）：25-27

[2] 計正印．從“一題多解”中培養(yǎng)能力芻議[J]．商洛學院學報，1996（2）：90-90

[3] 裴禮文．數(shù)學分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，1993

[4] 華師大數(shù)學系．數(shù)學分析[M]．北京：高等教育出版社，2010

[5] 張筑生．數(shù)學分析新講[M]．北京：北京大學出版社，1999

Comprehensive ability training in advanced mathematical competition from the view point of multi-solution to one problem

ZHOU Xiao-jian

（School of Science，Nantong University，Nantong 226019，China）

The knowledge and thinking method of advanced mathematics has become the important components of ability and quality of contemporary college students．Using the method of multi-solution to one problem on two given examples，discuss the effect of this method to training the abilities of innovative thinking and divergent thinking，in the process of teaching for advanced mathematical competition．

multi-solution to one problem；innovative thinking；divergent thinking；advanced mathematics

1007-9831（2016）11-0063-04

O13∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.017

2015-10-25

南通大學高等教育研究課題（2013GJ017）

周小建（1977-），男，江蘇如皋人，副教授，博士，從事數(shù)值代數(shù)研究．E-mail：zxjnttc@126.com