兩二次曲線之間斜率關系結論發現的統一研究

趙臨龍

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兩二次曲線之間斜率關系結論發現的統一研究

趙臨龍

（安康學院數學與應用數學研究所，陜西安康 725000）

利用二次曲線的極點與極線關系，統一解決兩二次曲線之間有關斜率關系的結論，揭示二次曲線之間斜率關系的內在本質.

二次曲線；極點；極線；斜率；關系；統一

1 問題背景

吳建山在文[1]中，研究2010年全國高中數學聯賽試題江西省預賽試題，給出6個推廣性質.

試題[1]給定橢圓C：2/22/2=1(>>0)，⊙：2+2=2，自橢圓上異于其頂點的任意一點P作⊙的2條切線，切點分別為M，N，若直線MN在軸上的截距分別為，，證明：2/22/2=2/2.

性質1[1]已知橢圓C1：2/2+2/2=1(>>0)和圓C2：2+2=2，過C1上一點P作C2的2條切線PM，PN（切點分別為M，N），則C1在點P處的切線斜率1與C2的切點弦MN的斜率2滿足2122=0.

性質2[1]已知橢圓C1：2/22/2=1(>>0)和雙曲線C2：2/22/2=1(>>0)，過C2上一點P作C1的2條切線PM，PN（切點分別為M，N），則C2在點P處的切線斜率1與C1的切點弦MN的斜率2滿足1+2=0.

性質3[1]已知橢圓C1：2/22/2=1(>>0)和雙曲線C2：2/22/2=1(>>0)，過C1上一點P作C2的2條切線PM，PN（切點分別為M，N），則C1在點P處的切線斜率1與C2的切點弦MN的斜率2滿足1+2=0.

性質4[1]已知橢圓C1：2/22/2=1(>>0)和圓C2：2+2=2，過C2上一點P作C1的2條切線PM，PN（切點分別為M，N），則C1在點P處的切線斜率1與C2的切點弦MN的斜率2滿足2122=0.

性質5[1]已知雙曲線C1：2/22/2=1(>>0)和圓C2：2+2=2，過C1上一點P作C2的2條切線PM，PN（切點分別為M，N），則C1在點P處的切線斜率1與C2的切點弦MN的斜率2滿足2122=0.

性質6[1]已知雙曲線C1：2/22/2=1(>>0)和圓C2：2+2=2，過C2上一點P作C1的2條切線PM，PN（切點分別為M，N），則C1在點P處的切線斜率1與C2的切點弦MN的斜率2滿足2122=0.我們說，射影幾何的優勢就是統一認識二次曲線的內在本質.因此，我們可以借促射影幾何的二次曲線的“極點與極線”理論，統一來研究這些性質，揭示其內在本質.

2 理論準備

定義[2]過點P引二次曲線Γ的直線PAB交Γ于A、B兩點，若直線PAB上一點Q滿足：

則點Q軌跡為點P關于Γ的極線，點P為Γ的極點.

特例，二次曲線切點P的極線為過切點P與Γ相切的直線.

定理 過點P(x0，y0)引二次曲線Γ：

的直線PAB交Γ于A、B兩點，若直線PAB上一點Q(x，y)滿足(1)，則點Q軌跡為直線：

由（1）得：

于是，有結論（3）.定理獲證.

推論1 二次曲線Γ上的極點P(x0，y0)的極線方程是（3）.

證明：在方程（3）中，反過來將點Q(x，y)看作極點，則極點Q關于二次曲線Γ的極線過點P(x0，y0).

證明：如圖1. 對于兩極點P、Q，關于二次曲線Γ的極線分別是和，則和的交點R關于二次曲線Γ的極線分別過點P、Q，即直線PQ為極點R關于二次曲線Γ的極線.

推論4 過二次曲線Γ外一點P(x0，y0)引Γ的兩切線PA、PB(A、B分別為切點)，則極點P的極線為AB，其極線方程形式為（3）.

證明：由于兩極點A、B對應極線分別是PA和PB，則PA和PB的交點P關于Γ的極線為直線AB，其極線方程形式為（3）.

推論5 對于二次曲線Γ的極點P(0,0)的極線方程形式為：

3問題研究

3.1 性質的統一研究

性質7 已知橢圓Γ1：（）和雙曲線Γ2：（），過Γ1（或Γ2）上一點P(x0，y0)（y0≠0）作另一條Γ2（或Γ1）的2條切線PM，PN（切點分別為M，N），則在點P處的切線斜率與切點弦MN的斜率滿足.特例：當橢圓Γ1：（）退化為：時，.

特例當橢圓Γ1：（）退化為：時，斜率（y0≠0）；對于雙曲線Γ2，斜率（y0≠0）.

顯然，當y0= 0時，所得切線和切點弦均垂直于x軸，即k1和k2都不存在.因此，性質7中的條件“y0≠0”不能省略.這是文[1]忽略的地方，現在作以彌補.性質7將文[1]中的性質2、3、5、6統一起來。

性質8 已知橢圓Γ1：（）和Γ2：，過Γ1（或Γ2）上一點P(x0，y0)（y0≠0）作另一條Γ2（或Γ1）的2條切線PM，PN（切點分別為M，N），則在點P處的切線斜率與切點弦MN的斜率滿足.

證明：對于橢圓Γ1，其極點P(x0，y0)（y0≠0）關于Γ1的極線（切線）方程為：，即斜率（y0≠0），極點P關于Γ2的極線（切點弦）方程為：（y0≠0）.于是；反之，對于圓Γ2，其極點P(x0，y0)（y0≠0）關于Γ2的極線（切線）方程為：（y0≠0），極點P關于Γ1的極線（切點弦）方程為：，即斜率（y0≠0）.于是，即結論成立.

同樣，性質8中的條件“y0≠0”是對文[1]性質1和4的彌補（即將文[1]中的性質1、4統一起來），而且該結論與圓Γ2：的半徑無關，即是對于文[1]性質1、4的推廣.

3.2 新結論研究

性質9 已知拋物線Γ1：和橢圓Γ2：（），過Γ1（或Γ2）上一點P(x0，y0)（y0≠0）作另一條Γ2（或Γ1）的2條切線PM，PN（切點分別為M，N），則在點P處的切線斜率與切點弦MN的斜率滿足.其中，對于拋物線Γ1上的點滿足P(x0，y0)（），對于橢圓Γ2上的點P(x0，y0)滿足.

證明：由Γ1和Γ2得交點坐標滿足：，則.

反之，考慮點P(x0，y0)（-a<）在橢圓Γ2：（）上，由于點P關于曲線Γ1和Γ2的極線方程沒有變化，即性質9結論依然成立.

4 研究啟示

射影幾何作為研究幾何圖形點線結合關系的重要學科，尤其對于二次曲線內在性質的統一性的認識，具有很強的指導作用.

4.1 統一命題

本文將文[1]中二次曲線的6個性質，統一為2個基本性質，并且擴充其內容，使結論形成更加完整的統一體，幫組人們認識問題的本質.

4.2 發現結論

本文進一步給出文[1]中二次曲線的拋物線相關性質，顯示射影幾何在幾何發現中的獨特作用，利于全面認識幾何問題的內在本質.

有關射影幾何的作用，還可參看筆者文獻[3-6].

[1] 吳建山.一道高中數學聯賽試題的探究與發現[J].中學教研（數學），2014（3）：48-49.

[2] 周振榮，趙臨龍.高等幾何[M].華中師范大學出版社，2013.

[3] 趙臨龍，劉娟.射影幾何對偶原理的優越性[J].重慶科技學院學報：自然科學版，2010（2）：176-177.

[4] 趙臨龍.前我國初數研究存在的三種不良傾向——兼談2003年北京市高考中的蝴蝶定理[J].重慶三峽學院學報，2013（3）：11-13.

[5] 趙臨龍.初等數學研究途徑：結構是基礎 轉化是關鍵——2012年高考數學北京理科第19題再探究[J].重慶三峽學院學報，2014（3）：11-13.

[6] 趙臨龍.一道幾何命題射影解法的啟示[J].重慶三峽學院學報，2015（3）：18-20.

（責任編輯：涂正文）

A Unified Study of the Findings of the Slope Relationships Between Two Conic Curves

ZHAO Linlong

By using the relationships between the poles and the pole lines of conic curves, the paper aims to give a unified conclusion to all the slope-relationship findings between two conic curves, as well as to reveal the intrinsic essence of the slope relationship.

conic curve; pole; pole line; slope; relationship; unification

O182

A

1009-8135（2016）03-0005-04

2016-01-06

趙臨龍（1960-），男，陜西西安人，安康學院三級教授，主要研究幾何學.

陜西省特色專業建設項目（2011－59），安康學院重點學科建設項目（2013）階段性成果