關于-型鄰域空間

高　瑾，羅　飛，金渝光

(重慶師范大學 數學學院，重慶 401331)

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高瑾，羅飛，金渝光*

(重慶師范大學 數學學院，重慶 401331)

1　基本概念

定義3[7]設(X,V)是鄰域空間，如果X的任意兩個隔離子集A,B分別有開鄰域U和V使得U∩V=?,則稱鄰域空間是一個完全正規鄰域空間.完全正規的T1-型鄰域空間稱為T5-型鄰域空間.

定義4[7]設(X,V)是鄰域空間，對任意非空閉集F,存在連續映射f:X→[0,1],使x∈F,f(x)=0和x∈Fc,f(x)≠0,則稱鄰域空間是一個完備正規鄰域空間.完備正規的T1-型鄰域空間稱為T6-型鄰域空間.

定義5[8]若鄰域空間(X,V)是正規空間并且每一個閉子集為一個Gδ集, 則稱(X,V)為完備正規鄰域空間, 完備正規鄰域空間的T1稱為T6-型鄰域空間.

關于鄰域、開集、閉集的定義與文獻[7]中相同,這里不一一列出.

引理1[6]設X,Y是鄰域空間，f:X→Y是映射，則f連續?鄰域、開集、閉集的逆象分別是鄰域、開集、閉集.

定理1完備正規的鄰域空間一定是擬完備正規的鄰域空間.

從而對任意的隔離集A,B,存在連續映射

g:X→[0,1].

使得g(x)=0,x∈A;g(x)=1,x∈B,故X是擬完備正規鄰域空間.

因為X擬完備正規，故存在連續映射h，令g=h°f-1:Y→[0,1]是連續映射且

g(A)=h°f-1(A)=0,g(B)=h°f-1(B)=1.因此(Y,V)是擬完備正規型鄰域空間.

推論：

注：定理4反之是不成立的，下面將作出反例.

設X為一不可數集，p∈X.命X的非空開集為XC，其中C或含有點p，或為有限集.

對X任意的兩點x1,x2(x1≠x2)，若該兩點都不等于點p，則x1,x2任意小的鄰域都是開集，并且有x1?V(x1),x2?V(x2).若該兩點中有一點等于點p，假設點x1=p，則x1存在鄰域在C里，x2存在鄰域在XC里，有x1?XC,x2?C.故(X,V)是T1-型鄰域空間.

(3)(X，V)不是T6-型鄰域空間的.

設X為實直線，令(a,b)=∪{(α,b)|a<α

(1)

則有OA是包含A的開集，類似的可以定義

(2)

由(1)(2)可以知道，對任意隔離集A和B都不存在連續映射f，使得f(A)=0,f(B)=1.故X不是擬完備正規的鄰域空間.

[4]陳祥平.T3和T4—型鄰域空間[J].吉林大學學報，1999,20(3):54-56

[5]陳祥平. T5和T6-型鄰域空間[J]. 洛陽師范學院學報,2002(2)：11-13.

[6]熊金城.點集拓撲講義 [M ].4版.北京:高等教育出版社,2011.

[7]朱培勇,雷銀彬.拓撲學導引[M].北京:科學出版社,2009.

[8]曼克勒斯J R.拓撲學基本教程[M].北京:科學出版社,1995.

GAO Jin，LUO Fei，JIN Yuguang*

(School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

2016-03-17;

2016-04-20

國家自然科學基金(No.11471061)；2013年重慶高校創新團隊建設計劃資助項目(No.KJPB201308)

高瑾(1990- )，女，陜西禮泉，碩士研究生，研究方向：拓撲動力系統，E-mail：1015750544@qq.com

簡介：金渝光( 1956- ), 男, 浙江樂清人, 教授, 碩士研究生導師，E-mail：tsgjyg@aliyun.com

O189.1

A

1671-9476(2016)05-0030-03

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.007