拓撲空間中緊致子集的性質研究

黃 瑞

（阜陽師范大學數學與統計學院，安徽阜陽236037）

點集拓撲是一般師范院校數學類相關專業的必修課程，也是后繼課程，如代數拓撲、微分拓撲、幾何拓撲等的基礎。點集拓撲的研究對象是拓撲空間，一般地，可以從“開集”、“閉集”、“鄰域”、“導集運算”、“閉包運算”、“內部運算”、“基”和“子基”8個角度定義拓撲空間，即拓撲空間有8種等價的定義，現在的點集拓撲教材[1-5]更傾向于從開集角度定義拓撲空間。自然而然開集就成為了拓撲空間中特殊的子集，除開集之外，拓撲空間中還有一些特殊的子集，如閉集、連通子集、連通分支、道路連通子集、稠密子集和緊致子集等。緊致子集作為拓撲空間中一類特殊的子集，對其性質的研究具有重要意義，文獻[6-7]研究了實數空間?中的緊致子集的等價刻畫，文獻[8-10]分別研究了度量空間、偽度量空間和超距空間中的緊致性，文獻[11-13]則研究了各種緊致空間及它們相互之間的關系。本文將類比連通子集的性質，系統地研究緊致子集的一些重要性質。需要說明的是文中所用的概念、符號同文獻[1]。

1 預備知識

定義1[1]已知拓撲空間(X,Γ)，若(X,Γ)的每一個開覆蓋都存在有限的子覆蓋，則稱拓撲空間(X,Γ)是緊致空間。

定義2[1]已知Y是拓撲空間(X,Γ)的子集，若Y作為(X,Γ)的子空間是緊致空間，則稱Y是拓撲空間(X,Γ)的緊致子集。

引理1已知拓撲空間(X,Γ)，A?Y?X，則A是(Y,Γ|Y)的緊致子集?A是拓撲空間(X,Γ)的緊致子集。

證明A是(Y,Γ|Y)的緊致子集?(A,Γ|Y|A)=(A,Γ|A)是緊致空間?A是拓撲空間(X,Γ)的緊致子集。

引理2有限集上定義的任意一個拓撲空間必是緊致空間。

證明 設X是包含n個點的集合，Γ為X上的任意拓撲，則Γ?2X，則拓撲空間(X,Γ)中至多包含2n個開集，由緊致空間的定義知結論成立。

引理3若拓撲空間有一個有限基，則這個拓撲空間必是緊致空間。

證明設Φ={B1,B2,B3,…,Bn}是拓撲空間X的有限基，Λ是拓撲空間X的任一開覆蓋，則?A∈Λ，存在ΦA?Φ，使得A=。

令Φ*=，則Φ*?Φ，且Φ*是拓撲空間X的有限開覆蓋。?Bi∈Φ*，存在Ai∈Λ，使得Bi?Ai，令Λ*={Ai∈Λ|Bi∈Φ*,Bi?Ai}，則Λ*是Λ關于拓撲空間X的有限子覆蓋，由緊致空間的定義知結論成立。

由引理2，3易得拓撲空間中任意子集都是緊致子集的兩個充分條件。

定理1定義在有限集上的拓撲空間中的任意子集都是緊致子集。

定理2若拓撲空間存在一個有限基，則該拓撲空間中的任意子集都是緊致子集。

證明已知拓撲空間(X,Γ)，Φ是(X,Γ)的有限基，?Y?X，則Φ|Y為(Y,Γ|Y)的有限基，由引理3知(Y,Γ|Y)是緊致空間，從而得到Y是(X,Γ)的緊致子集。

值得注意的是，定義在有限集上和存在一個有限基不是拓撲空間中的任意子集都是緊致子集的必要條件，比如，有限補空間?滿足任意子集都是緊致子集，但它既不滿足定義在有限集上，也不滿足存在一個有限基。

引理4[1]緊致空間中的每一個閉集都是緊致子集。

引理5[1]Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集。

引理6[1]設A是正則空間中的緊致子集，U是A的開鄰域，則存在A的開鄰域V，使得Vˉ?U。

引理7[1]設拓撲空間X是Hausdorff空間，A、B是拓撲空間X中兩個無交的緊致子集，則存在A的開鄰域U，B的開鄰域V，使得U∩V=?。

引理8[1]已知拓撲空間X,則下列條件等價：

（1）拓撲空間X是不連通空間；

（2）拓撲空間X中存在兩個非空的開集A、B，滿足A∪B=X,A∩B=?；

（3）拓撲空間X中存在兩個非空的閉集A、B，滿足A∪B=X,A∩B=?；

（4）拓撲空間X中存在既開又閉的非空真子集。

引理9設Y是拓撲空間(X,Γ)中的非空連通子集，A、B是拓撲空間X中的無交開（閉）集，且Y?A∪B，則或者Y?A或者Y?B。

證明A、B是拓撲空間(X,Γ)中的無交開（閉）集，則A∩Y、B∩Y就是連通空間(Y,Γ|Y)中的開（閉）集，且(A∩Y)∩(B∩Y)=?,(A∩Y)∪(B∩Y)=(A∪B)∩Y=Y。由引理8知，要么A∩Y=?，要么B∩Y=?。若A∩Y=?，則B∩Y=Y，即Y?B；若B∩Y=?，則A∩Y=Y，即Y?A。

2 緊致子集的性質

2.1 緊致子集的并是緊致子集的充分條件

定理3設A、B是拓撲空間(X,Γ)中的緊致子集，則A∪B是(X,Γ)的緊致子集。

證明設Λ是由拓撲空間(X,Γ)中的開集作成的A∪B的開覆蓋，則Λ也是緊致子集A和B的開覆蓋，于是Λ存在關于緊致子集A的有限子覆蓋Λ1，關于緊致子集B的有限子覆蓋Λ2，易見Λ1∪Λ2就是Λ關于A∪B的有限子覆蓋，即A∪B是(X,Γ)的緊致子集。

由定理3的證明易得下面的定理。

定理4撲空間中有限個緊致子集的并仍是緊致子集。

注：拓撲空間中無限個緊致子集的并未必是緊致子集。

例1{[n,n+1]|n=1,2,3,…}是實數空間?中的緊致子集族，但[n,n+1]=[1,+∞)不是實數空間?中的緊致子集。

2.2 緊致子集的交是緊致子集的充分條件

定理5拓撲空間中緊致閉子集族的交仍是緊致子集。

證明設{Aγ}γ∈Γ是拓撲空間X中的緊致閉子集族，令=A，易見A是拓撲空間X中的閉集。取γ0∈Γ，則A?Aγ0，于是A∩Aγ0=A是緊致空間Aγ0中的閉集，由引理4知A是拓撲空間X的子空間Aγ0中的緊致子集，再由引理1知A是拓撲空間X中的緊致子集。

定理6Hausdorff空間中緊致子集族的交仍是緊致子集。

證明設{Aγ}γ∈Γ是Hausdorff空間X中的緊致子集族，由引理5知{Aγ}γ∈Γ是Hausdorff空間X中的緊致閉子集族，再由定理5知結論成立。

定理5、6給出了緊致子集族的交仍是緊致子集的兩個充分條件。一般地，拓撲空間中緊致子集的交未必是緊致子集。

例2已知拓撲空間X是實數空間?和平庸空間{0,1}的積空間，證明Y1=((0,1]×{0})∪({0}×{1})和Y2=([0,1)×{0})∪({1}×{1})是積空間X中的緊致子集，并說明Y1∩Y2不是積空間X中的緊致子集。

證明積空間X中的開集形如A×{0,1}，其中A是實數空間?中的開集。設Λ是由積空間X中的開集構成的Y1的任意開覆蓋，對于Y1中的點{0}×{1}，存在Λ中的開集A0×{0,1}，使得{0}×{1}∈A0×{0,1}，其中A0是實數空間?中包含0的開集，易見{0}×{0}∈A0×{0,1}。對于Y1中的點{x}×{0}，x∈(0,1]，存在Λ中開集Ax×{0,1}，使得{x}×{0}∈Ax×{0,1}，其中Ax是實數空間?中包含x的開集，易見{x}×{1}∈Ax×{0,1}。

綜上，Λ還是由積空間X中的開集構成的Y1*=[0,1]×{0,1}的一個開覆蓋。又[0,1]，{0,1}分別是實數空間?和平庸空間{0,1}中的緊致子集，則Y1*=[0,1]×{0,1}是積空間X中的緊致子集，于是Λ存在關于Y1*=[0,1]×{0,1}的有限子覆蓋Λ1。顯然Λ1也是Λ關于Y1的有限子覆蓋，故Y1=((0,1]×{0})∪({0}×{1})是積空間X中的緊致子集。

同理可得Y2=([0,1)×{0})∪({1}×{1})也是積空間X中的緊致子集。易見Y1∩Y2=(0,1)×{0}，而(0,1)不是實數空間?中的緊致子集，故Y1∩Y2也不是積空間X中的緊致子集。

2.3 緊致子集的閉包是緊致子集的充分條件

定理7設A是正則空間(X,Γ)中的緊致子集，Y?X，滿足A?Y?，則Y是正則空間(X,Γ)中的緊致子集。

證明設Λ是由正則空間(X,Γ)中的開集作成的Y的一個開覆蓋，又A?Y，則Λ也是緊致子集A的開覆蓋，于是Λ存在關于A的有限子覆蓋Λ*={A1,A2,A3,…,An}，其中Ai∈Λ,i=1,2,3,…,n。

令U=，則U是正則空間(X,Γ)中的開集，且A?U，即U是A的開鄰域，由引理6知，存在A的開鄰域V，使得A?V??U。

又Y?，故，即Λ*也是Λ關于Y的有限子覆蓋，因此Y是正則空間(X,Γ)中的緊致子集。

由定理7易見正則空間中緊致子集的閉包仍是緊致子集。下面給出拓撲空間中緊致子集的閉包不是緊致子集的例子。

例3已知正整數集?+，定義Γ={E??+|1∈E}∪{?}，易見(?+,Γ)是拓撲空間。令A={1}，則A是(?+,Γ)中的緊致子集，證明Aˉ不是(?+,Γ)中的緊致子集。

證明(?+,Γ)中的開集是?和包含1的正整數集?+的子集，即(?+,Γ)的每一個非空開集都包含1，故(?+,Γ)不是正則空間。

(?+,Γ)中的閉集是?、?+和不包含1的正整數集?+的子集，即包含1的閉集只有?+，因此Aˉ=?+。令A1={1},A2={1,2},A3={1,3},A4={1,4}，…，則Λ={A1,A2,A3,…}是由(?+,Γ)中的開集構成的?+的一個開覆蓋，顯然Λ不存在關于?+的有限子覆蓋，因此(?+,Γ)不是緊致空間，從而Aˉ=?+不是(?+,Γ)中的緊致子集。

2.4 緊致子集的交是連通子集的充分條件

定理8已知U是拓撲空間(X,Γ)中的開集，Ω是由(X,Γ)中的緊致閉集構成的集族，若A?U，則存在Ω的有限子集族{A1,A2,A3,…,An}，使得Ai?U。

證明取∞?X，令X*=X∪{∞}，Γ1={E*?X*|X*-E*是X中的緊致閉集},則Γ*=Γ∪Γ1∪{X*}是X*的一個拓撲，且稱緊致空間(X*,Γ*)是(X,Γ)的一點緊化空間[1]。

?A∈Ω，A是(X,Γ)中的緊致閉集，故X*-A∈Γ1?Γ*。

又U∈Γ?Γ*，故X*-U是緊致空間(X*,Γ*)中的閉集，由引理4知X*-U是(X*,Γ*)中的緊致子集。

定理9設Ω是Hausdorff空間(X,Γ)中的非空緊致子集族，若Ω中任意有限個非空緊致子集的交都是(X,Γ)中的連通子集，則A是(X,Γ)中的連通子集。

證明由引理5知Ω是(X,Γ)中的非空緊致閉子集族，從而得到A是(X,Γ)中的閉集，再由定理5知A是(X,Γ)中的緊致子集，故A是(X,Γ)中的緊致閉集。

3 結束語

緊致子集是拓撲空間中一類特殊的子集，文中分別研究了拓撲空間中任意子集是緊致子集、緊致子集的交是緊致子集和緊致子集的并是緊致子集的充分條件。類比連通子集的性質，定理7給出了在正則空間中若一個子集被“夾在”緊致子集和這個緊致子集的閉包之間，則該子集是緊致子集，從而得到正則空間中緊致子集的閉包仍是緊致子集，同時還給出了拓撲空間中緊致子集的閉包不是緊致子集的一個具體例子。文章的最后利用拓撲空間的一點緊化空間證明了拓撲空間中緊致閉子集族的一個性質，由此給出Hausdorff空間中緊致子集族的交是連通子集的一個充分條件。