勒讓德多項式的某些進一步性質

王其申

（安慶師范大學電子工程與智能制造學院，安徽安慶246133）

當把三維拉普拉斯方程在球坐標(r,θ,φ)下分離變數時，所得到的與緯度坐標θ相關的常微分方程就是連帶勒讓德方程（也稱締合勒讓德方程）。作為其特殊情況，當問題具有軸對稱性，即問題與經度方向坐標φ無關時，該方程簡化為勒讓德方程：

對式（1）中的自變量θ作變換x=cosθ，并記Θ(θ)=y(x)，式（1）轉換為標準形式的勒讓德方程：

此方程在邊界條件y(±1)有界的約定下，相應的特征函數就是本文所要討論的勒讓德多項式Pn(x)(n=0,1,2,…)，它的級數表達式是

其中，[·]表示取整函數，即為方括號內數字的整數部分，下同。

勒讓德多項式是物理學中一類非常重要的特殊函數。它不僅在理論物理的各個領域有著重要的應用價值，在工程問題中同樣有諸多應用。因此，國內外的數學物理方法教材中都用專門的一章來介紹勒讓德多項式以及更為廣泛的球函數[1-6]。通常，也會介紹勒讓德多項式的一系列性質，諸如它的微分和積分表達式，母函數及其遞推關系，正交歸一性乃至按勒讓德多項式的展開定理等。

為了進一步拓展勒讓德多項式的應用范圍，本文作者以為，除了必須掌握數學物理方法教科書中所介紹的有關勒讓德多項式的一系列重要性質外，還有必要進一步討論其他一些重要性質。基于此，本文討論了有關勒讓德多項式的某些展開定理以及它的一階和二階導數的廣義傅立葉展開式。

1 與勒讓德多項式相關的兩個展開定理

從勒讓德多項式的正交歸一關系出發，數學物理方法的通用教材[2-6]中都敘述了如下的展開定理。

展開定理設函數f(x)在區間[-1,1]上有連續的一階導數和分段連續的二階導數，則f(x)在區間[-1,1]上可以展成如下絕對且一致收斂的級數：

其中

從上面的展開定理出發，不難證明下述兩個定理。

定理1設函數f(x)是區間[-1,1]上的偶函數并滿足上述展開定理中的可微性條件，則f(x)可以展成如下絕對且一致收斂的僅由偶數階勒讓德多項式組成的級數：

其中

定理2設函數f(x)是區間[-1,1]上的奇函數并滿足上述展開定理中的可微性條件，則f(x)可以展成如下絕對且一致收斂的僅由奇數階勒讓德多項式組成的級數：

其中

以上兩個定理的證明完全相似，下面僅就定理1予以證明。

證明由勒讓德多項式的級數表達式（3）不難看出，奇數階勒讓德多項式僅由奇次冪函數組成，而偶數階勒讓德多項式同樣僅由偶次冪函數組成，以下將其分別稱為純奇數階多項式和純偶數階多項式。顯然它們分別屬于奇函數和偶函數。因此，當f(x)是區間[-1,1]上的偶函數時，由式（5）以及定積分的運算性質，有(x)P2n+1(x)dx=0,n=0,1,2,…；

以此帶入式（4），定理1得證。

推論1純偶數階多項式必能展開為僅由偶數階勒讓德多項式組成的絕對且一致收斂的級數。

推論2純奇數階多項式必能展開為僅由奇數階勒讓德多項式組成的絕對且一致收斂的級數。

注意到純偶（奇）數階多項式顯然是偶（奇）函數，以上推論顯然成立。著名的勒讓德多項式的三項遞推公式(2n+1)xPn(x)=(n+1)Pn+1(x)+nPn-1(x)，（n=1,2,3,…）可以視為定理1和2的具體例子。

2 勒讓德多項式的導數的兩個廣義傅立葉展開式

作為上面所建立的兩個展開定理的應用，下面給出兩個廣義傅立葉展開式。

定理3成立如下的勒讓德多項式的一階導數的廣義傅立葉展開式：

證明用數學歸納法證明。首先，顯然有

其次，假設n=k時成立，即

現在證明n=k+1時亦成立。事實上，由勒讓德多項式的另一個著名遞推公式

利用歸納假設，當n=k+1時，有

其中，第3個等式是利用勒讓德多項式的三項遞推公式，并在其中令n=k-1-2m而得到的。

特別地，P′3(x)=5P2+P0，P′4(x)=7P3+3P1，P′5(x)=9P4+5P2+P0，P′6(x)=11P5+7P3+3P1。據此，還可以給出如下遞推公式：P′n(x)=(2n-1)Pn-1+P′n-2,n=1,2,3,…。這是一個以往教材中沒有出現過的新的遞推公式。

從定理3出發，可以進一步證明下面的定理。

定理4成立如下的勒讓德多項式的二階導數的廣義傅立葉展開式：

證明對式（8）兩邊求導，有，應用式（8）于此式的右端，注意到當n為偶數時，[(2n-1)/2]=[(2n-2)/2]，而當n為奇數時上式和數中的最后一項實際上是零，從而可以更改求和上標，即有

交換式（10）中的兩個求和號的次序并以t=m+k代替k，則有

或者換一種方法，將式（10）改寫為下列矩陣乘積的形式：

注意到這個矩陣乘積中間的方陣恰好是上三角矩陣以及

以上兩種方法都證出了結論，如式（9）。

應用定理4，有

3 結束語

以上我們給出了有關按勒讓德多項式展開的兩個定理，以及勒讓德多項式的一階導數和二階導數的廣義傅立葉展開式。這些結果的導出過程不算困難，如果在教學中有意引導學生自行導出本文的上述結論，這對提高學生的學習興趣，啟發學生的創新和發現能力是十分有益的。