基于Markov理論的加權非等距GM(1,1)預測優化模型

李志偉，李克昭,2

(1.河南理工大學 測繪與國土信息工程學院,河南 焦作 454000；2. 北斗導航應用技術協同創新中心,河南 鄭州 450052)

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基于Markov理論的加權非等距GM(1,1)預測優化模型

李志偉1，李克昭1,2

(1.河南理工大學 測繪與國土信息工程學院,河南 焦作 454000；2. 北斗導航應用技術協同創新中心,河南 鄭州 450052)

背景值的構造方法是影響加權非等距GM(1,1)預測模型的精度和適應性的關鍵因素。文中通過等分函數法構造新的背景值對傳統的加權非等距GM(1,1)模型進行優化，優化后的模型使其同時適應于高增長指數序列和低增長指數序列，提高傳統模型的預測精度和適應性能力。但是優化后的模型依然易受建模數據隨機擾動影響。馬爾科夫(Markov)模型具有削弱建模數據的隨機擾動性的優勢?；诖耍瑢灮募訖喾堑染郍M(1,1)模型和Markov理論有機結合，構建優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型。最后，結合秀山湖二期工程的變形實測數據，運用新陳代謝的計算模式進行預測驗證。結果表明：優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型的擬合和預測精度都優于傳統的加權非等距GM(1,1)預測模型，新的預測模型的適用性更強，具有實際的參考價值。

加權非等距GM(1,1)模型；背景值；等分函數法；新陳代謝；變形監測

變形監測工作可為建筑物安全運營、山體滑坡和礦區塌陷災害的預防和治理等工作提供科學的決策依據。在原始變形監測數據的基礎上，如能構建合理的預測模型，不僅為變形監測工作提供先驗信息，而且還能為災害預防提供判斷依據，可把災害的損害降低到最小。尤其在GNSS自動化監測系統中，預測方法及合理預測模型的引入，有可能實現山體滑坡、礦區塌陷等突發災害的實時監測或及時預測。灰色系統理論是一種針對研究資料較少、實測數據貧乏以及不確定性問題的理論。變形監測數據本身具有一定的灰性，應用灰色系統理論建立預測模型是合適的。

灰色系統理論的預測模型有多種，其中用于變形監測的灰色預測模型主要有灰色GM(1,1)[1]，初值、背景值以及殘差優化的灰色GM(1,1)模型[2-4]，最小二乘優化的灰色GM(1,1)模型[5]，灰線性組合模型[6-7]等。這些模型都是基于等時距的灰色預測建立的，而在變形監測的實際工作中，監測的時間序列往往是非等距的。因此，很多學者就針對非等距時間序列，構建灰色非等距GM(1,1)預測模型[8-10]，并應用到變形監測工作中，取得一定的成果。但是，傳統的非等距 GM(1,1)預測模型本身固有的系統誤差給預測工作造成一定的負面影響。本文通過等分函數法構造新的背景值對傳統的加權非等距GM(1,1)模型進行優化，優化后的模型同時適應于高增長指數序列和低增長指數序列，提高傳統模型的預測精度和適應性能力，結合 Markov理論具有削弱建模數據的隨機擾動性的優勢[11-13]，構建優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型。最后，結合秀山湖二期工程的變形實測數據，運用新陳代謝的計算模式對新模型進行預測驗證。

1　優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型

1.1傳統的加權非等距GM(1,1)模型

[8-10]，傳統的加權非等距GM(1,1)模型的建模步驟如下：

(1)

(2)

(3)

步驟4加權非等距GM(1,1)模型的白化灰色微分方程為

(4)

式中：a為發展系數;b為灰作用量。加權非等距GM(1,1)模型的差分灰色微分方程為

(5)

令參數矩陣

(6)

步驟5構造背景值矩陣B和向量Yn。

(7)

(8)

步驟7加權非等距GM(1,1)預測模型方程，即

(9)

步驟8恢復時間序列還原預測值,即

(10)

1.2等分函數法構造背景值

圖1　傳統背景值序列的構造示意圖

圖2　新背景值序列的構造示意圖

(11)

因此，4個小區間面積和為

(12)

同理可得，當區間被分為n份時，n個小區間的面積和為

(13)

(14)

1.3基于Markov理論修正優化的加權非等距GM(1,1)預測模型

將上述背景值重構的加權非等距GM(1,1)模型與Markov理論有機結合，構建優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型，參考文獻[11-13]，建模步驟如下。

1)劃分Markov狀態。計算優化的加權非等距GM(1,1)模型的預測值與殘差序列，并據此劃分s個Markov狀態區間為

(15)

4)編制預測表。選取距離預測值目標最近s個原始對象，按照從近到遠的順序，所需的轉移步數分別為1,2,…,s。在轉移步數所對應的轉移矩陣中，取起始狀態所對應的行向量，即為各狀態出現的概率，并將各自的概率求和，其最大的概率所對應的狀態即為預測值所對應的狀態。

2　實例計算與結果分析

該工程是對秀山湖二期工程中的7幢樓進行沉降觀測(12#、13#、15#、18#、19#、20#、21#)。文中以第12#樓為例，由工作基點G3開始對12#樓的沉降點進行觀測，按照二等水準測量的要求進行往返測，對變形監測點進行11期監測，觀測精度均符合二等水準測量的技術要求，選取12-2、12-4和12-6號點的累計沉降數據為原始數據，如表1所示。

表1　實測沉降累計數據表

2.1優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型數據計算過程

以Matlab7.0軟件為平臺，為使建模數據和預測值有很好的相關性，同時能夠驗證預測模型的預測能力。文中取表1中前7數據建模，構建優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型，利用新陳代謝的計算模式預測第8～11期數據。以監測點12-2的第8期數據預測為例，預測模型的計算過程如下：

2)按照相對值(累計沉降量實測值與預測值的比)劃分Markov狀態，劃分狀態見表2所示。

表2　Markov狀態劃分標準

3)計算(一到四步)轉移概率矩陣。

4)計算第8期數據所處的狀態，見表3。

表3　第8期狀態預測

2.2優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型結果分析

按照上述計算步驟，運用新陳代謝的計算模式，依次計算3個監測點的第8～11期的預測值。即：首先用前7期觀測數據建立模型，得到第8期的預測值；然后去掉建模數據中第1期數據，加入第8期的預測值重新建模，計算第9期的預測值；依次類推，分別計算出第8～11期的預測值；最后，取最后一次新陳代謝過程中所產生的擬合值和預測值，作為優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型的擬合值和預測值。

2.2.1擬合值計算結果

傳統的加權非等距GM(1,1)和優化的加權非等距Markov-GM(1,1)模型的3個監測點的擬合值結果，見表4～表6所示。

表4　監測點12-2預測模型擬合值結果　mm

表5　監測點12-4預測模型擬合值結果　mm

表6　監測點12-6預測模型擬合值結果　mm

從表4～表6中可以看出，優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型的擬合值殘差中誤差均小于傳統的加權非等距GM(1,1)預測模型。并且三組不同的數據同時證明新模型的擬合精度優于傳統的模型，驗證新模型的可行性。

2)預測值計算結果。傳統的加權非等距GM(1,1)和優化的加權非等距Markov-GM(1,1)模型的3個監測點的預測值結果，見表7所示。

表7　3個監測點預測值結果　mm

從表7中可以得出： 3個不同監測點的4期預測結果殘差中誤差顯示，優化的加權非等距Markov-GM(1,1)模型的預測值殘差中誤差均小于傳統的加權非等距GM(1,1)模型。因此，證明優化的加權非等距Markov-GM(1,1)模型的預測精度優于傳統的加權非等距GM(1,1)模型。從后兩期的預測值可以看出，傳統模型的預測值殘差相對較大，新模型的預測值更具參考價值。因此，新模型的預測精度更高，預測能力更強，模型的穩定性更強，具有實際的參考價值。

3　結束語

本文通過等分函數法構造新的背景值對傳統的加權非等距GM(1,1)模型進行優化，并結合馬爾科夫(Markov)模型具有削弱建模數據的隨機擾動性的優勢，構建優化的加權非等距Markov-GM(1,1)預測模型。同時，結合秀山湖二期工程的變形實測數據，運用新陳代謝的計算模式進行預測驗證，并與傳統的加權非等距GM(1,1)模型的預測結果進行比較。結果表明：優化的加權非等距Markov-GM(1,1)模型能夠同時適應于高增長指數序列和低增長指數序列，提高預測模型的抗擾動能力，新模型的預測精度更高、適應能力和預測能力更強，具有實際的參考價值。

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[責任編輯：張德福]

An optimized weighted non-equidistance GM(1,1) prediction model based on Markov theory

LI Zhiwei1, LI Kezhao1,2

(1.School of Surveying and Landing Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China;2.Collaborative Innovation Center of BDS Research Application, Zhengzhou 450052, China)

The structure method of background value in the weighted non-equidistance GM(1,1) prediction model has an important influence on the precision and adaptability of the model. This paper optimizes the traditional weighted non-equidistance GM(1,1) model which creates a new background by divisions of function method. The optimized model is suited to build the weighted non-equidistance GM(1,1) model for both high growth index series and low growth index series. It improves the precision and adaptability of the traditional model. But the optimized model is still affected by random fluctuation of modeling data easily. Markov model has the advantage of reduce the fluctuation of forecasting the modeling data. Based on above, this paper combines the optimized weighted non-equidistance GM(1,1) model and Markov theory, producing the optimized weighted non-equidistance Markov-GM(1,1) prediction model. Finally, with data of the deformation monitoring of the second phase of Xiushan Lake project, the metabolism computing model is used to predict. The results show that the optimized weighted non-equidistance Markov-GM(1,1) prediction model of the accuracy is better than the traditional weighted non-equidistance GM(1,1) prediction model, and new prediction model performs with better applicability, which has practical reference value.

weighted non-equidistance GM(1,1); background value; divisions of function method; metabolism; deformation monitoring

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.12.008

2015-06-26

國家自然科學基金資助項目(41202245;41272373)

李志偉(1991-)，男，碩士研究生.

TU196

A

1006-7949(2016)12-0038-06