不完全量測的變維容積卡爾曼濾波算法

張虎龍

（中國飛行試驗研究院，陜西 西安 710089）

不完全量測的變維容積卡爾曼濾波算法

張虎龍

（中國飛行試驗研究院，陜西 西安 710089）

針對不完全量測情況下的機動目標跟蹤問題，提出一種變維容積卡爾曼濾波算法。首先，根據系統狀態空間模型結構采用Kalman濾波-容積Kalman濾波（KF-CKF）為基本濾波器。其次，通過計算不完全量測的一階矩和二階統計矩，將不完全量測濾波問題轉化為確定量測濾波問題，并導出相應的狀態估計方法。最后，將其與變維濾波技術相結合，提出不完全量測下的變維CKF算法。計算機仿真實驗表明：新算法具有很好的估計準確度，在機動目標跟蹤應用中有著良好的應用前景。

目標跟蹤；變維濾波；容積卡爾曼濾波；不完全量測

0　引　言

目標跟蹤技術廣泛應用于戰場監控、預警、火力控制以及空中交通管理等軍事和民用領域［1-4］。Kalman濾波作為一種線性系統的狀態估計方法無法直接應用到具有非線性系統特征的目標跟蹤背景中。為解決這一問題，人們在Kalman濾波框架下發展出一系列非線性濾波器，如擴展Kalman濾波（EKF）、無跡Kalman濾波（UKF）［5］和容積Kalman濾波（CKF）［6］；其中，CKF由于其優越的性能已廣泛應用于目標跟蹤領域。需要注意的是，這些非線性濾波方法必須基于有效的狀態空間模型。對于機動目標而言，使用單一模型很難準確描述目標狀態在機動下的變化過程。針對這一問題，Bar-Shalom［1］提出了變維濾波算法，通過使用多個狀態模型全面描述系統，大大提高了機動目標的跟蹤性能［7-8］。由于目標高機動性、惡劣氣象環境影響以及觀測設備的間歇性故障等因素共同作用，時常出現不完全量測現象［9］。文獻［10］利用一個取值為0或1且服從Bernoulli分布的隨機變量建立了測量數據丟失現象的數學模型。文獻［11］假設不確定量測模型中的Bernoulli隨機變量與系統狀態和噪聲變量相互獨立，并提出了相應的改進EKF和UKF算法。該方法仍然無法克服單一模型用于機動目標跟蹤的不足。

本文針對不完全量測下機動目標的跟蹤問題，以CKF為基礎濾波器，結合變維濾波技術提出了一種不完全量測概率恒定已知（即已知恒虛警率）的變維CKF跟蹤算法，提高了機動目標跟蹤準確度。

1　目標運動模型

目標的運動模型包括非機動模型和機動模型。對于非機動模型，選取勻速直線運動模型，其狀態方程［1-2］為

式中x（k）=［x1（k），ν1（k），x2（k），ν2（k）］T為目標狀態，其中x1（k）和x2（k）分別為東向和北向的位置分量，ν1（k）和ν2（k）分別是相應的速度分量；F為狀態轉移矩陣；Γ為噪聲驅動矩陣；過程噪聲w（k）是均值為零方差為Q（k）的高斯白噪聲，各參數取值如下：

對于機動模型，假設目標作勻加速直線運動，其狀態方程［2］為

式中，上標m表示機動模型；目標狀態xm（k）=［x1（k），ν1（k），x2（k），ν2（k），a1（k），a2（k）］T，其中a1（k）和a2（k）分別為東向和北向的加速度分量，其他參數含義與非機動模型一致；過程噪聲wm（k）是均值為零方差為Qm（k）的高斯白噪聲。相應參數的取值如下：

假設一部雷達對目標進行跟蹤，具有不完全量測的測量方程［11］表示為

式中z（k）為k時刻的實際測量值；y（k）為k時刻的真實測量值；測量噪聲ν（k）是均值為零方差為R（k）的高斯白噪聲；λ（k）是一個Bernoulli隨機變量，λ（k）=1和λ（k）=0分別表示量測數據正常和量測數據丟包。假設量測數據正常的概率滿足P｛λ（k）=1｝=p，則量測丟包的概率（即虛警概率）為1-p。

假設目標初始狀態x（0）均值為x0，方差為P0。目標狀態、λ（k）、w（k）和ν（k）相互獨立。

顯然，非機動模型和機動模型兩者都具有相同的測量方程，即z（k）=zm（k）。

2　確定量測的機動目標跟蹤算法

本節首先考慮無量測丟包（即認為λ（k）=1恒成立）情況下的機動目標跟蹤問題。由于目標的狀態方程與測量方程具有線性-非線性結構，因此主濾波器采用KF-CKF的濾波器結構，即利用KF進行狀態預測，然后采用CKF進行測量更新。利用非機動狀態模型（1）和測量方程（3）可得KF-CKF算法的執行步驟如下（算法1，記作KF-CKF-NMT）：

1）預測過程［1］：

2）更新過程［6］：

①計算容積點

式中i=0，1，…，2nx（nx為狀態向量維數）；S（k|k-1）為P（k|k-1）的Cholesky分解因子；點集｛ξi｝的定義參見文獻［6］。

②計算傳播后的容積點

③測量預測

④計算新息協方差陣

⑤計算互協方差陣

⑥估計狀態及其協方差陣

算法1采用了標準的KF進行狀態預測，避免了在預測過程中采用CKF進行數值逼近，簡化了運算，并保證估計精度。對于機動模型而言，將算法KFCKF-NMT中的參數分別替換為機動模型的對應參數即可（此時的算法記作KF-CKF-MT）。需要注意的是，非機動模型和機動模型的狀態維數nx分別為4和6。

變維濾波基本思想是：當檢測到機動發生，立即切換到機動模型進行跟蹤，退出機動時退回到非機動模型跟蹤。下面介紹變維濾波的機動檢測方法，假設濾波器開始工作于非機動模式。

1）非機動模型切換到機動模型

定義檢測機動的有效窗口長度為

其中α為衰減因子，且有0＜α＜1。

設T1為機動檢測門限。若γ（k）≥T1，則認為目標在k-Δ-1開始有一恒定的加速度加入，這時目標模型應由非機動模型轉向機動模型。

2）機動模型切換到非機動模型

由機動模型退回非機動模型的檢測方法是檢測加速度估計值是否有統計顯著性意義。令加速度估計的顯著性檢測統計量為

Pam（k/k）——協方差矩陣的對應塊。

設T2為退出機動的檢測門限。若γa（k）＜T2，則加速度估計無顯著性意義，濾波器切換回非機動模型。

將KF-CKF與變維濾波相結合，便可得到正常量測下的機動目標跟蹤算法（記作VD-KF-CKF），其執行過程總結如下：

1）濾波初始化，設置系統初值x0、P0和機動檢測門限值T1、T2，衰減因子α。

2）采用KF-CKF-NMT進行目標跟蹤。

3）啟動機動檢測器，利用式（12）計算參數γ（k），并判斷γ（k）≥T1是否成立，若是則轉到步驟4）；若否，則返回步驟2）。

4）采用KF-CKF-MT進行目標跟蹤。

5）利用式（14）計算γa（k），并判斷γa（k）＜T2是否成立，若是則轉到步驟2）；若否，則執行步驟4）。

3　不完全量測的機動目標跟蹤算法

傳統的不完全量測處理方法是野值剔除法，該方法的處理結果易受殘差檢測門限的影響。門限值選取過大，則檢測結果存偽的可能性大；反之，則去真的可能性過大。為避免這一問題，本文利用下述引理將不完全量測濾波問題轉化為確定信息的濾波問題。

引理1［11］：已知n維隨機向量x，m維隨機向量y=h（x）（h為m維的向量函數）和ν（其均值為零，方差為R），Bernoulli隨機變量λ（其期望為p）。假設x，ν，λ相互獨立，則隨機向量z=λy+ν的一階矩E（z）和二階矩Cov（z）、Cov（x，z）滿足：

引理1揭示了兩個隨機變量z和y在引入Bernoulli隨機變量后，其部分一階矩和二階矩的對應關系。根據引理1，結合非機動狀態模型，易得不完全量測下的KF-CKF濾波方法，即定理1。

定理1：考慮式（1）、式（3）和式（4）所述的目標跟蹤系統，在KF-CKF濾波結構下，其目標狀態的估計方法（算法2，記作KF-CKF-UM-NMT）可按如下步驟計算：

1）預測過程

利用式（5）計算x^（k|k-1）和P（k|k-1）。

2）更新過程

①利用式（6）計算容積點xi（k|k-1）。

②計算傳播后的容積點

③測量預測

④計算新息協方差陣

⑤計算互協方差陣

⑥估計狀態及其協方差陣

證明：由于不確定量測僅影響量測更新過程，因此狀態預測過程與算法1相同。在Kalman濾波框架下，狀態估計及其誤差協方差陣［1］可表示為

其中參考測量方程（3）和（4），利用引理1有：

式（24）～式（26）中，基于測量真值y（k）的測量更新過程可由標準的CKF獲得，即式（18）～式（21）所述。

將式（24）和式（25）代入式（23）可得式（22）。

定理證畢！

算法2計算Pyy（k|k-1）時沒有噪聲方差R（k），這是因為測量真值模型中不含噪聲項。將算法KFCKF-UM-NMT中的參數分別替換為機動模型的對應參數即可獲得機動模型的目標狀態估計方法（此時的算法記作KF-CKF-UM-MT）。

顯然，將VD-KF-CKF算法中的基礎濾波器KFCKF-NM和KF-CKF-NM分別替換為KF-CKFUM-NMT和KF-CKF-UM-MT，即可得到不完全量測下的機動目標跟蹤算法（記作VD-KF-CKF-UM），在此不再贅述具體步驟。

4　仿真實例

假定目標在二維平面內運動，在0～200s沿著y軸作勻速直線運動，運動速度為20m/s，目標的起始位置為（5000m，10000m）；在201～300s向x軸方向做了1次機動，加速度為a1=-a3=0.08m/s2，完成慢轉彎后加速度降為零，做勻速直線運動；從500 s開始第2次機動，加速度為-a1=a3=0.5m/s2，在600 s結束轉彎加速度降為零，然后做勻速直線運動。

假設有一部位于坐標原點的雷達對該運動目標進行跟蹤，測量距離r（k）和方位角θ（k），則相應的測量方程為

其中，雷測距標準差σr=10 m，方位角測量標準差為σθ=0.5°。

雷達掃描周期T=1s，仿真時長為800s，虛警概率為0.15，加權衰減因子α=0.85，機動檢測門限T1=25，退出機動的檢測門限T2=10；從第15s開始激活機動檢測器。

采用文獻［12］中的位置分量和速度分量的平方根誤差SEP（k）、SEV（k）和均值誤差MSEP、MSEV 4個誤差指標對本文提出的算法進行性能評價。仿真結果由圖1～圖3給出，算法的MSEP和MSEV分別為19.896 0 m、0.648 1 m/s。

從圖1可以看出，本文提出的方法能有效跟蹤機動目標，具有較好的跟蹤精度。但圖2和圖3也反映出當目標機動時，會出現較大的跟蹤誤差。此時可通過調整變維濾波器中的有關參數改善性能。

圖1　機動目標跟蹤曲線

圖2　平方根誤差曲線（位置分量）

圖3　平方根誤差曲線（速度分量）

5　結束語

本文針對機動目標跟蹤過程中易出現的量測丟失（虛警）和濾波精度效果差等問題，提出一種不完全量測下的機動目標跟蹤算法。首先，將不完全量測的狀態估計問題轉化為確定量測的估計問題，并利用KF-CKF設計濾波算法。然后，結合變維濾波的思想，推導出不完全量測下基于變維CKF的跟蹤方法。本文的研究結果是在虛警概率恒定已知的條件下得到的，進一步的研究工作可考慮未知虛警概率的機動目標跟蹤問題，相關研究成果有助于推動不確定信息濾波技術的發展，也更符合實際目標跟蹤的應用背景。

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（編輯：莫婕）

Variable dimension cubature kalman filter algorithm with incomplete measurements

ZHANG Hulong
（Chinese Flight Test Establishment，Xi’an 710089，China）

Aiming at the problem of maneuvering target tracking with incomplete measurements，a variable dimension cubature Kalman filter algorithm is proposed.Firstly，the Kalman filtercubature Kalman filter（KF-CKF）is adopted as a basic filter according to the state space model of tracking system.Secondly，by calculating the first and second-order statistical moments of the incomplete measurements，the state filtering with incomplete measurements is converted into the state estimating with complete measurements.Then，the corresponding state estimation method is derived.Finally，combining with variable dimension filter technology，a variable dimension CKF algorithm is presented.Computer simulations show that the new algorithm has good estimation accuracy and great application prospect of maneuvering target tracking.

target tracking；variable dimension filter；cubature Kalman filter；incomplete measurement

A

1674-5124（2016）06-0112-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2016.06.024

2015-12-10；

2016-02-10

張虎龍（1979-），男，湖南岳陽市人，高級工程師，研究方向為光電測試、信息融合、目標跟蹤技術等。