基于實測振型阻尼比的有限元模型仿真算法研究

張　淼，于　瀾

(長春工程學院理學院，長春 130012)

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基于實測振型阻尼比的有限元模型仿真算法研究

張淼，于瀾

(長春工程學院理學院，長春 130012)

阻尼是個復雜的問題，需要假設的阻尼更接近于真實結構，且合理又易于有限元建模。在工程實際中，質(zhì)量和剛度矩陣可以通過模型修正技術來得到較好的仿真，但在結構模型中能否適當?shù)啬M阻尼仍是個問題。在僅考慮經(jīng)典阻尼系統(tǒng)的情況下，提出了一種在有限元模型修正后得到的高仿真質(zhì)量和剛度矩陣的基礎上，結合實測模態(tài)參數(shù)的數(shù)據(jù)獲得阻尼矩陣的技術，從而建立環(huán)境激勵下基于實測模態(tài)參數(shù)的有限元仿真模型方法。數(shù)值算例說明了所提出方法的有效性與實用性。

環(huán)境激勵；模態(tài)參數(shù)；振型阻尼比；峰值拾取法

由于實施人工激勵可能對在役結構造成不必要的損傷，因此，在對一些大型結構的整體動態(tài)行為進行監(jiān)測時，往往采用環(huán)境激勵下的脈動信號的識別，利用頻響應函數(shù)或脈沖響應函數(shù)來確定模態(tài)參數(shù)[1-3]。在測量輸入極其困難的情況下，僅由環(huán)境激勵響應無法估算出系統(tǒng)的頻響函數(shù)或脈沖響應函數(shù)，所以，往往采用一些頻域或時域的模態(tài)參數(shù)識別方法。對弱阻尼系統(tǒng)識別其固有頻率及模態(tài)的一個很好的方法就是峰值拾取法[4-6]。它的3個模態(tài)參數(shù)的測量方法可以簡單地概括為：根據(jù)給定方向上的測量，第i階振型在r個測量離散點上的相對形狀可以用(1)式近似為:

(1)

式中Syjyj(fi)是第i階振型頻率在第j個位置上的輸出自譜密度值。第i階振型的等價黏性阻尼比可以根據(jù)下式計算，即

(2)

1結合實測模態(tài)參數(shù)及有限元分析提取阻尼陣

有限元建模是土木工程結構分析與控制的基本手段。在通常情況下，結構有限元模型是根據(jù)圖紙建立的，常包含很多理想化的假定與簡化，稱為基線模型。基于基線模型進行有限元分析及預測的結構響應不可避免地將會與在實際結構上測得的結構動態(tài)行為之間存在一些偏差。如果能充分利用結構實測的振動信息來修正結構的基線模型，使修正后的結構模態(tài)參數(shù)與試驗值趨于一致，這就是有限元模型修正。有限元模型修正的對象可以分成兩類：一類是有限元模型的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、甚至阻尼矩陣中的元素，另一類則是有限元模型的設計參數(shù)，包括物理參數(shù)與幾何參數(shù)。應用實測的實模態(tài)參數(shù)(不包含阻尼比)及無阻尼特征方程進行有限元模型修正是目前主要的研究方向，本文的目標在于同樣是利用實測實模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)(包含阻尼比)，再結合有限元仿真的質(zhì)量和剛度陣來提取阻尼陣，就能確立良好的有限元仿真模型，再結合使用阻尼特征方程，用于進一步的動力修改和分析中。

對N自由度的線性振動系統(tǒng)

(3)

式中M，C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；x(t)∈RN是廣義坐標向量；t∈R+代表時間。結構有限元分析時的無阻尼固有頻率與實模態(tài)對(ωi，φi)(i=1，2，…，N)滿足特征方程

(4)

記Φ=[φ1，…，φN]，aiφi=vi，則V=[v1，…，vN]為無阻尼正則固有振型矩陣，記A=diag(a1，…，aN)，則有

ΦA=V。

(5)

那么此時模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼矩陣分別為

VTMV=E=diag(m1，…，mN)，

(6)

VTKV=diag(k1，…，kN)，

(7)

VTCV=diag(c1，…，cN)。

(8)

因為要求模態(tài)阻尼矩陣為對角陣，所以本文的算法只針對經(jīng)典阻尼系統(tǒng)[7]。引入坐標變換

x(t)=Vq(t)，

式中q(t)=(q1(t)，q2(t)，…，qN(t))T，代入式(3)可得

上式左乘VT可得

再由式(6)～(8)可得

(r=1，2，…，N)，

上式可化為

為了求解微分方程，令qr(t)=esrt，則

(9)

上式中只需要解

即可。此方程的解為

(10)

使式(10)根號內(nèi)的項等于0，亦即sr1與sr2為等值時的阻尼系數(shù)值，稱為臨界阻尼系數(shù)，記為cc，即

(11)

且有

此時sr1，r2為無阻尼固有頻率ωr，則

(12)

引進振型阻尼比為

(13)

cr=2ξrωr，

(14)

再由式(8)可得

C=(VT)-1diag(c1，…，cN)V-1。

(15)

由式(5)可得

(VT)-1=(ATΦT)-1=(ΦT)-1(AT)-1，

(V)-1=(ΦA)-1=A-1Φ-1。

則由式(15)可得

C=(ΦT)-1(AT)-1diag(c1，…，cN)A-1Φ-1，

(16)

其中i表示研究個體即西部12個省(區(qū)市)，t表示時間即從2003年到2016年，xit表示除了金融發(fā)展因素外對地區(qū)經(jīng)濟增長有較大影響的控制變量,包括消費、投資、政府支出、對外依存度和社會勞動力。FDit是與區(qū)間相關的依賴變量即金融發(fā)展水平。HCit是門檻變量即人力資本存量，因為人力資本水平對地區(qū)經(jīng)濟增長也有重要影響，在這里也把它加入控制變量之中。γ是研究中待估計的門檻值。I(°)為指標函數(shù)，其相應的括號內(nèi)條件成立時取值為1，否則取值為0。μi為不隨時間變化的個體效應，eit為隨機干擾項。進一步地，(1)式可以轉化為：

2　數(shù)值算例

考慮一個如圖1所示的二自度阻尼振動系統(tǒng)[8]

圖1　2—自由度阻尼系統(tǒng)

該系統(tǒng)的運動微分方程為

其中

式中m，k，c分別為質(zhì)量、剛度和阻尼。f1(t)為作用于m1上的激勵。其中m1=0.08，m2=0.08，k1=23.12，k2=6.08，k3=23.12。實測模態(tài)參數(shù)為

根據(jù)式(4)、式(14)和式(16)可得阻尼矩陣為

3　結語

本文主要考慮大型結構在線服役條件下，提出使用環(huán)境激勵下的脈動信號，選用峰值拾取法實測得到無阻尼實模態(tài)參數(shù)，再結合有限元分析中得到的質(zhì)量和剛度矩陣，還原阻尼陣，充分利用了有限元計算結果和實測數(shù)據(jù)的優(yōu)點，建立環(huán)境激勵下基于實測模態(tài)參數(shù)的有限元仿真模型方法。數(shù)值算例證明了本文提出的方法的有效性及實用性。

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The Study on Finite Element Simulation Model Algorithm Based on Measured Modal Damping Ratio

ZHANG Miao，etc.

(SchoolofScience，ChangchunInstituteofTechnology，Changchun130012，China)

Damping is a complex problem.The assumed damping is needed to be coincident to the real structure.And it is to be reasonable and easy to be used in setting up finite element model.In the construction practice，the quality and stiffness matrix can be simulated better by model recover technology.However，whether it is to simulate damping in model structure is still a problem by now.On the condition of only consider about typical damping system，on the basis of getting high simulation quality and stiffness matrix after the finite element recovery，the technology of damping matrix combined with the measured mode parameter has been proposed in this article，in order to build finite element simulation model algorithm based on measured model parameter.The numerical examples show this algorithm proposed in the article has the efficiency and applicability.

ambient vibration；mode parameter；modal damping ratio；peak picking technique

10.3969/j.issn.1009-8984.2016.03.027

2016-06-13

吉林省科技發(fā)展計劃項目(20160101277JC)

張淼(1972-)，男(漢)，長春，博士，教授

主要研究結構優(yōu)化及振動控制。

O321

A

1009-8984(2016)03-0122-03

吉林省教育廳“十三五”科學技術研究項目(2016302)