2016年高考新課標(biāo)全國(guó)二卷理科數(shù)學(xué)試題分析

哈爾濱市第九中學(xué)　戴　鑫

2016年高考新課標(biāo)全國(guó)二卷理科數(shù)學(xué)試題分析

哈爾濱市第九中學(xué)戴鑫

2016年高考新課標(biāo)全國(guó)二卷理科數(shù)學(xué)試題整體難度較往年有所降低，考試內(nèi)容更貼近教材和平時(shí)的基礎(chǔ)練習(xí).試題注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法.試題注重創(chuàng)新性和多樣性，具有一定的探究性和開(kāi)放性.

一、知識(shí)點(diǎn)與試題分?jǐn)?shù)分布

集合、復(fù)數(shù)、向量、排列組合、算法、邏輯各5分；數(shù)列12分；三角函數(shù)15分；概率統(tǒng)計(jì)17分；立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)各22分；三選一的選修內(nèi)容10分，共計(jì)150分.

二、試卷特點(diǎn)

1.緊扣教材

試題中的第1，6，9，10題均為教材中例題和課后習(xí)題的改編，提示我們?cè)诮虒W(xué)中要重視教材內(nèi)容的講解和知識(shí)體系的構(gòu)建.

第10題：從區(qū)間【0，1】中隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（）.

比較必修三第133頁(yè)例3：在正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比并以此估計(jì)圓周率的值.

兩題所考知識(shí)點(diǎn)均為隨機(jī)模擬，考查背景也完全相同，可見(jiàn)高考即使在選擇第10題的位置也是非常重視教材內(nèi)容的.

第1題比較選修2-2第106頁(yè)習(xí)題3.1第5題（1）；

第6題比較必修二第20頁(yè)例3，圖形完全一樣；

第9題比較必修四第147頁(yè)B組第1題.

2.重視應(yīng)用

試題中的第5，15，18題均為聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題，較歷年實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題數(shù)量有所提高，體現(xiàn)數(shù)學(xué)科目的實(shí)用價(jià)值，也告訴學(xué)生數(shù)學(xué)來(lái)源于生活但高于生活.以實(shí)際生活的應(yīng)用為背景，豐富了數(shù)學(xué)試題的形式，使得數(shù)學(xué)科目在考查理論的同時(shí)又增添了豐富多彩的實(shí)際背景.

第15題：有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2.”乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1.”丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5.”則甲的卡片上的數(shù)字是.

這是一個(gè)帶有實(shí)際應(yīng)用背景的邏輯推理題.自2010年新課標(biāo)開(kāi)始從沒(méi)出過(guò)類似的推理題，是2016年試題的新變化之一.雖然形式簡(jiǎn)單，卻充分考查了學(xué)生的推理能力，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)——學(xué)以致用.

3.注重空間想象能力

自立體幾何中引入空間直角坐標(biāo)系后，很多證明問(wèn)題和求角問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為計(jì)算題，學(xué)生的空間想象能力越來(lái)越弱，而且在平時(shí)的練習(xí)中也避開(kāi)不用.本次試題中第6，14，19題對(duì)空間想象能力的考查比往年有所加強(qiáng)，回歸立體幾何的本質(zhì)，體現(xiàn)立體幾何學(xué)科特點(diǎn).尤其第19題立體幾何的翻折問(wèn)題需要學(xué)生比較翻折前后圖形的變化，發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的性質(zhì).

第19題：如下圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D'EF的位置

（1）證明：D'H⊥平面ABCD；

（2）求二面角B-D'A-C的正弦值.

該題的特點(diǎn)：①要求學(xué)生在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)翻折前后圖形有哪些性質(zhì)發(fā)生變化，哪些性質(zhì)不變.翻折前EF⊥BD，翻折后EF⊥D'H，仍然保持；但翻折后EF還成為平面D'BH的垂線.②垂直不僅可以通過(guò)證明得出，還可以通過(guò)計(jì)算得出，例如D'H⊥OH就是在△D'OH中運(yùn)用勾股定理得到的.③通過(guò)證明三垂直建立直角坐標(biāo)系.在2012年高考中，立體幾何第19題曾經(jīng)考查過(guò)先證明三垂直再建系的過(guò)程，但之后的三年高考將該過(guò)程弱化，今年再次提及，說(shuō)明學(xué)會(huì)建立空間直角坐標(biāo)系是應(yīng)用向量法解決該題的必要條件.

第14題用筆和紙去比量圖形會(huì)比證明和空想效率更高.

4.注重總結(jié)歸納能力

每每提到總結(jié)與歸納，多數(shù)情況下都需要教師先下題海，然后將自身的體會(huì)總結(jié)下來(lái)，再教授給學(xué)生.試題中第7，11，12，16，20題充分體現(xiàn)了這一點(diǎn).

第7題要求學(xué)生注意左右平行移動(dòng)，針對(duì)自變量x；第11題須記住結(jié)論：雙曲線通徑長(zhǎng)為，考查通徑的一半；第12題考查函數(shù)的中心對(duì)稱性：若函數(shù)f（x）滿足（fa+x）+（fb-x）=c，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；第16題：切線問(wèn)題，從切點(diǎn)入手；第20題：垂直直線的設(shè)法和分離變量求參數(shù)范圍問(wèn)題.以上都是平時(shí)練習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，多反復(fù)總結(jié)，會(huì)有意想不到的效果.

5.注重審題能力

無(wú)論什么考試，都會(huì)考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.要想正確解決問(wèn)題，分析問(wèn)題是必要的前提.在數(shù)學(xué)考試當(dāng)中一定要學(xué)會(huì)審題，找到題目的突破口，從而輕松且正確地解決問(wèn)題.例如第9題，要學(xué)會(huì)讀出題目中哪個(gè)角是已知角，然后其他的變形都為了湊出已知角而努力，我們簡(jiǎn)稱為“湊角”.

6.注重變化與創(chuàng)新

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的是素質(zhì)教育，高考數(shù)學(xué)不僅考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，更要考查對(duì)知識(shí)的遷移與應(yīng)用.讓學(xué)生學(xué)以致用才是素質(zhì)教育的根本.第12，15，18，21題對(duì)變化與創(chuàng)新的體現(xiàn)最為突出.多年不考的抽象函數(shù)對(duì)稱性今年作為壓軸的選擇題進(jìn)行考查，體現(xiàn)了新課標(biāo)的精神.第15題以游戲的形式考查了簡(jiǎn)易邏輯，使多年來(lái)邏輯試題形式單調(diào)的現(xiàn)象得以改觀，讓試卷充滿新鮮活力.第18題概率統(tǒng)計(jì)是每年試卷中背景變化最大的一個(gè)，實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題總是可以設(shè)計(jì)很多新鮮背景，但萬(wàn)變不離其宗，學(xué)生認(rèn)真學(xué)好必修三及選修2-3中的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，區(qū)分好各概念和模型的特點(diǎn)，將多變的實(shí)際背景靈活轉(zhuǎn)化為所學(xué)內(nèi)容即可輕松解決該類問(wèn)題.第21題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是每年難度最大的壓軸題.今年的變化體現(xiàn)在第（2）問(wèn)中解答部分的零點(diǎn)存在性定理，這也是高等數(shù)學(xué)中很常用的定理和處理手段，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使考試內(nèi)容更上檔次，更加開(kāi)放.

解：（1）f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）上單調(diào)遞增，證明略.

題目中由f（0）+a=-1+a＜0，f（2）+a=a≥0，尋找唯一x0∈（0，2］，使得g'（x0）=0成立.這是理科試卷近年來(lái)第一次在導(dǎo)數(shù)部分考查零點(diǎn)存在性定理，使得導(dǎo)數(shù)和函數(shù)與方程更好地結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的綜合性和統(tǒng)一性.

零點(diǎn)存在性定理的考查還可以參看2014年新課標(biāo)全國(guó)二卷文科21（2）導(dǎo)數(shù)題.

三、新高三復(fù)習(xí)建議

1.重視教材

從2013年開(kāi)始到2016年，這4年的高考越來(lái)越趨向于簡(jiǎn)單和平穩(wěn)，這就需要教師在一輪復(fù)習(xí)時(shí)一定帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材，耐心講解和整理知識(shí)點(diǎn)及常用結(jié)論.發(fā)掘靠近教材的常用方法是解決中檔次題目的關(guān)鍵.

2.重視工具性內(nèi)容

在復(fù)習(xí)時(shí)還應(yīng)體現(xiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角、向量、不等式等工具性內(nèi)容的作用，在今年的理科試卷中，數(shù)學(xué)第12，16，21題三個(gè)函數(shù)題分別作為選擇、填空、解答的壓軸題出現(xiàn)，體現(xiàn)了函數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中扮演的重要角色.工具性學(xué)科還可以作為解決其他問(wèn)題的手段，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)更加靈活，鍛煉學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移和運(yùn)用能力.

編輯/王一鳴

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