受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統的辨識算法研究

李向麗，夏靜，陳維

（常熟理工學院電氣與自動化工程學院，江蘇常熟215500）

受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統的辨識算法研究

李向麗，夏靜，陳維

（常熟理工學院電氣與自動化工程學院，江蘇常熟215500）

研究受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統的參數辨識算法.針對系統中存在不可測中間變量的問題，利用輔助模型對其進行估計，進一步提出遞推增廣最小二乘算法對系統參數進行辨識.并通過計算機MATLAB仿真驗證了算法的有效性.

非線性系統；非均勻采樣；輔助模型；滑動平均

1　引言

精確的數學模型對于實際工程系統的分析和控制至關重要，如果能夠建立較為精確的數學模型，控制設計問題也能夠迎刃而解［1］.傳統的機理模型不能適應環境的變化和影響，建模精度偏低，而且現有的機理模型也存在著形式復雜、計算實時性不能保證等問題.因此，近年來對工業過程建模的研究主要集中在測試法建模（黑箱建模）上，而辨識技術則一直是測試法建模的研究熱點.在現代工業中由于對經濟效益、產品質量以及環境保護的要求越來越高，使得相應的工業過程越來越復雜，對模型的描述能力也提出了更高的要求.傳統的線性模型已不能滿足工業實際的需要，因此建立描述非線性現象的非線性系統，并深入研究非線性系統的辨識方法是十分必要的［2］.

目前，常見的非線性系統模型有：Volterra級數、塊結構化非線性模型等［3］.基于模塊化結構的非線性模型由一個動態的線性子模型和一個靜態非線性子模型級聯而成，具有能較好地反應非線性特性、計算量少、易辨識等特點，是近年來非線性動態建模和辨識研究的熱點［2］.在20世紀60年代Narendra和Gallman提出了Hammerstein模型［4，5］，它由一個靜態非線性子模型和一個動態線性子模型串聯構成，可表征大部分非線性系統.關于Hammerstein模型的辨識，很多研究假設非線性子模型是不連續非線性［6］，或是一個兩階段或多階段折線非線性［7，8］，還有一些方法假設非線性子模型是已知非線性基的線性組合［9］.在辨識方法上，Ding等提出了這類非線性系統的牛頓迭代辨識方法和牛頓遞推辨識方法［10］；Vanbeylen和Pintelon等提出了極大似然盲辨識方法［11］；Wang等討論了多新息增廣最小二乘算法［12］和廣義遞推最小二乘算法［13］；Bai等推導了盲辨識法［14］；Goethals提出子空間辨識方法［15］；李秀英等把神經網絡、遺傳算法等應用到非線性系統辨識中［16］；王峰等利用改進的粒子群優化算法對Hammerstein模型進行參數辨識［17］.

在實際工業過程中，由于信息傳輸過程中存儲數據硬件的損壞、數據的丟失、工作人員的變動、采樣地點的改變、氣候環境對采樣數據的影響等都會導致數據采樣的非均勻性，所以絕對的均勻采樣非線性系統是不存在的，相對的非均勻采樣非線性系統卻是廣泛存在的.當非線性系統的輸入或者輸出以非均勻間隔刷新，得到非均勻采樣系統.Yamamoto等研究了雙采樣率線性系統的頻域模型［18］；Lu和Fisher利用最小二乘算法和投影算法辨識雙采樣率模型的參數［19］；文獻［20］利用提升技術處理非均勻采樣數據，得到狀態空間模型；Liu等采用遞階辨識的思想，將非均勻采樣系統分解為多個辨識子系統，運用遞推最小二乘算法辨識系統參數［21］.

本文研究受有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統的參數辨識算法.當被控對象的干擾是有色噪聲時，其信息矩陣中包含不可測噪聲變量，首先通過建立輔助模型，利用輸入輸出數據估計這些未知變量的估計值，能夠得到可估計的信息矩陣.然后提出遞推增廣最小二乘算法，得到系統的參數估計.最后利用仿真實例分析算法的性能和有效性.

2　非均勻采樣非線性系統描述

下面是受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統的描述.

首先利用周期為τ的零階保持器Hr處理多采樣率輸入離散信號u（kT+t1）得到u（t）；u（t）作為非線性系統的輸入，非線性系統由非線性子模型f（·）和線性子模型Pc級聯形成，則分別得到非線性子模型的輸出u-（t）和系統的真實輸出y（t），但y（t）值不可測量；系統的真實輸出y（t）經過周期為T的輸出采樣器ST，產生離散信號y（kT）；y（kT）是系統的輸出采樣，受噪聲ω（kT）干擾后得到系統的可測輸出ym（kT）.假設輸入u（t）具有非均勻采樣間隔，則經過零階保持器后，輸入u（t）可表示為：

這里框架周期T:=τ1+τ2+…+τr.假設非線性子模型的輸出u-（t）為非線性基函數f:=（f1，f2…fn）的線性組合，

式中x（t）∈?nr是狀態向量，u-（t）和y（t）是輸入變量和輸出變量，Ac、Bc、C、D是維數適當的矩陣.用框架周期T離散化（3）得到，

在采樣時刻t=kT時，輸出可表示為：

有色噪聲輸出ω（kT）被表示為ω（kT）=H（z）ν（kT），其中，

由系統圖可知，

進一步，由式（4）和式（5），得到

根據上述參數的定義，等式（8）可改寫為

將式（9）代入式（7），則系統輸出ym（kT）可表示為

式（10）可等價的表示為

如果將非線性子模型代入式（11）就會產生一個包含參數乘積的表達式，雖然可以用過參數的方法進行化簡［10］，但過參數化處理后會使待辨識參數增加，增加了算法的復雜性.關鍵項分離技術（key termseparation technique）［5］由V?r?s教授首先提出，能夠解決模型耦合的難題.把作為關鍵項，令β10=1，則可以把非線性系統的參數從線性動態系統中分解出來.得到如下滑動平均噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統辨識模型：

3　遞推增廣最小二乘參數估計方法

針對受滑動平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統，應用基于輔助模型的遞推增廣最小二乘算法估計模型參數，基本思想是借助一個參考模型（也稱為輔助模型），用參考模型的輸出估計代替系統不可測的變量，使得參考模型的輸出逼近這些不可測的輸出，從而獲得系統參數的一致估計.再利用輔助模型的輸出代替系統的不可測變量，進一步利用遞推增廣最小二乘算法得到系統的參數估計.

定義信息向量φ（kT）和參數向量θ如下：

式（12）可以寫成向量形式：

式ω（KT）=H（Z）v（KT）也可以寫成如下的向量形式：

定義二次準則函數，

注意到在式（16）和（17）中的信息向量φ（KT）包含未知內部變量，同時噪聲也是未知的，因此參數向量θ通過最小二乘算法很難被估計.基于輔助變量思想，用估計

代替φ（KT）中的不可測變量y（KT）；用估計y（KT）代替式（2）中的γi進一步計算得到的估計

根據式（13）得到噪聲的估計

進一步根據式（14）可以得到滑動平均噪聲的估計

定義φ（KT）的估計

4　仿真實例

下面通過一個數值仿真實例驗證算法的收斂性能.設系統的線性動態子模型Pc有如下的狀態空間表達式：

令r=2，τ1=1s，τ2=2s，即t1=τ1=1s，t2=t1+τ2=3s，有色噪聲模型為：ω（kT）=H（z）ν（kT），其中，H（z）=1+0.2z-1.用框架周期T離散化這個系統得到相應的輸入輸出表達式：

在仿真中，輸入｛u（kT）｝和｛u（kT+t1）｝，取零均值單位方差的持續激勵信號序列，｛v（kT）｝是零均值單位方差的白噪聲.應用提出的算法估計未知參數，θ隨迭代次數k變化的參數估計誤差δ如圖1所示.

圖1　參數估計誤差隨迭代次數k的變化曲線

從圖1可得到如下結論：算法的參數估計誤差隨k的增加而減小，證明了算法的有效性.同時該算法具有原理簡單、計算精度高、且可以用于在線辨識等特點.但是，由于多采樣率非線性系統待辨識參數多，協方差矩陣P是一個維數較大的矩陣，增加了算法的計算負擔.研究提出計算量小、精度高的多采樣率非線性系統辨識算法將是下一步的研究方向.

［1］丁鋒.系統辨識新論［M］.北京：科學出版社，2013：1-10.

［2］丁鋒.系統辨識：辨識方法性能分析［M］.北京：科學出版社，2014:110-135.

［3］LIU Y，BAI EW.Iterative identification of Hammersteinsystems［J］.Automatica，2007，43（2）:346-354.

［4］?STR?M KJ，EYKHOFF P.System identification-asurvey［J］.Automatica，1971，7（2）:123-162.

［5］V?R?S J.Parameter identification of discontinuous Hammersteinsystems［J］.Automatica，1997，33（6）:1141-1146.

［6］V?R?S J.Recursive identification of Hammersteinsystems with discontinuous nonlinearities containing dead-zones［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48（12）:2203-2206.

［7］V?R?S J.Iterative algorithm for parameter identification of Hammersteinsystems with twosegment nonlinearities［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44（11）:2145-2149.

［8］V?R?S J.Modeling and parameter identification ofsystems with multisegment piecewiselinear characteristics［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47（1）:184-188.

［9］DING F，SHI Y，CHEN T.Auxiliary model-based least-squares identification methods for Hammerstein output-errorsystems［J］.systems and Control Letters，2007，56（5）:373-380.

［10］DING F，LIU XP，LIU G.Identification methods for Hammerstein nonlinearsystems［J］.Digitalsignal Processing，2011，21（2）: 215-238.

［11］VANBEYLEN L，PINTELON R，SCHOUKENS J.Blind maximum likelihood identification of Hammersteinsystems［J］.Automatica，2008，44（12）:3139-3146.

［12］WANG DQ，CHU Y，et al.Auxiliary model based RELS and MIELS algorithm for Hammerstein OEMAsystems［J］.Computers and Mathematics with Applications，2010，59（9）:3092-3098.

［13］WANG DQ，CHU Y，et al.Auxiliary model based recursive generalized leastsquares parameter estimation for Hammerstein OEARsystems［J］.Mathematical and Computer Modelling，2010，52（1）:309-317.

［14］BAI EW.Frequency domain identification of Hammerstein models，Block-oriented Nonlinearsystem Identification［M］.London:springer，2010:161-180.

［15］GOETHALS I，Pelckmans K，et al.Subspace identification of Hammersteinsystems using leastsquaressupport vector machines［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50（10）:1509-1519.

［16］李秀英，韓志剛.非線性系統辨識方法的新進展［J］.自動化技術與應用，2005，23（10）：5-7.

［17］王峰，邢科義，徐小平.辨識Hammerstein模型方法研究［J］.系統仿真學報，2011，23（6）：1090-1092.

［18］YAMAMOTO Y，Khargonekar PP.Frequency response ofsampled-datasystems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1996，41（2）:166-176.

［19］LU WP，FISHER G.Output estimation with multi-ratesampling［J］.International Journal of Control，1988，48（1）:149-160.

［20］DING J，LIN JX.Modifiedsubspace identification for periodically non-uniformlysampledsystems by using the lifting technique［J］.Circuitssystems andsignal Processing，2014，33（5）:1439-1449.

［21］LIU YJ，DING F，Shi Y.Leastsquares estimation for a class of non-uniformlysampledsystems based on the hierarchical identification principle［J］.Circuitssystems andsignal Processing，2012，31（6）:1985-2000.

Identification Algorithm Research on the Multiratesampling Nonlinearsystem with Moving Average Colored Noise

LI Xiangli，XIA Jing，CHEN Wei（School of Electric and Automatic Engineering，Changshu Institute of Technology，Changshu 215500，China）

Based on the auxiliary model method，the leastsquare recursive algorithm is derived for the nonlinear output error moving averagesystem.Insummary，this paperstudies and derives the identification algorithms for nonlinearsystem with multiratesampling，and the effectiveness of the algorithms is illustrated by Matlabsimulations.

nonlinearsystem；multiratesampling；auxiliary model；moving averagesystem

TP274

A

1008-2794（2015）04-0058-06

2016-05-30

江蘇省高校自然科學基金“生物發酵過程的非線性軟測量建模及優化”（15KJB120001）；常熟理工學院校級科研項目“精餾過程中多采樣率非線性系統建模及目標優化方法研究”（XZ1504）

李向麗，講師，工學博士，研究方向：非線性建模、參數辨識，E-mail：Lixiangli@cslg.cn.