淺談函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用

劉嶠　邱奉美

【摘要】 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在解決數(shù)列問題時，要善于利用函數(shù)的知識，函數(shù)的觀點，函數(shù)的思想，以它的概念、圖像、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁，揭示它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而為學(xué)生解答數(shù)列問題提供新的途徑.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)；數(shù)列

一、運用函數(shù)思想理解數(shù)列的特點

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這種函數(shù)的定義域是正整數(shù)集N+或是正整數(shù)集的有限子集，因而其函數(shù)圖像是一系列孤立的點（不連續(xù)），而不像前面研究過的初等函數(shù)一般都是連續(xù)的曲線. 因此理解數(shù)列問題時，可以類比函數(shù)來理解，往往會有意想不到的效果.

例1 設(shè){an}為等差數(shù)例，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S7 = 21，S15 = -75，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn的最大值.

分析 列方程組可求得Sn，繼而求得Tn，把Tn看成關(guān)于自變量n的函數(shù)來求最大值即可.

解 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn = na1 + n（n - 1）d，

∵ S7 = 21，S15 = -75，∴7a1 + 21d = 21，15a1 + 105d = -75，解得a1 = 9，d = -2.

∴ Sn = na1 + d = 9n - （n2 - n） = 10n - n2，

∴ = 10 - n.

∵ - = -1，

∴數(shù)列是首項為9，公差為-1的等差數(shù)列，

∴ Tn = = -n2 + n =

-n - 2 + .

∵ n∈N+，∴ 當(dāng)n = 9或n=10時，Tn有最大值45.

二、函數(shù)性質(zhì)在數(shù)列問題中的應(yīng)用

數(shù)列具有單調(diào)性、周期性，因此研究數(shù)列問題時，可以類比函數(shù)的一些性質(zhì)來研究. 例如，數(shù)列中求某項的取值范圍問題、最值問題等就可以利用函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題或解不等式的問題.

1. 函數(shù)的周期性在數(shù)列中的應(yīng)用（滿足an + T = an）

例2 數(shù)列{an}滿足a1 = a2 = 1，a3 = 2，且對任意自然數(shù)n均有an·an+1·an+2 ≠ 1，又an·an+1·an+2·an+3 = an + an+1 + an+2 + an+3，則a1 + a2 + a3 + … + a100的值是多少？

解 由a1 = a2 = 1，a3 = 2可得a4 = 4.

又an·an+1·an+2·an+3 = an + an+1 + an+2 + an+3.

∴ an+1·an+2·an+3·an+4 = an+1 + an+2 + an+3 + an+4.

兩式相減，得（an - an+4）（an+1·an+2·an+3 - 1） = 0.

又an+1·an+2·an+3 = 1，∴ an = an+4，∴T = 4.

∴ a1 + a2 + a3 +…+a100 = 25（a1 + a2 + a3 + a4） = 25 × 8 = 200.

2. 函數(shù)單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用

由函數(shù)的圖像可知，只要數(shù)列每個點比它前面一個點高（an > an-1），則數(shù)列遞增. 反之，則數(shù)列遞減. 等差數(shù)列的通向公式為an = a1 + （n - 1）d = nd + a1 - d，可以看作an關(guān)于n的一次函數(shù)上的離散點，等比數(shù)列的通向公式為an = a1qn-1，可以看作an關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)上的離散點，我們常用數(shù)列單調(diào)性求最值. 解決數(shù)列單調(diào)性常用的方法有：作差法、作商法、構(gòu)造函數(shù)法.

例3 數(shù)列{an}中，an = （n∈N+），則該數(shù)列的最大項是第幾項？

解 令g（x） = = （x ≥ 1）.

而令g（x） = x + （x ≥ 1），

則g′（x） = 1 - = .

令g′（x） ≥ 0，得x ≥ ；

令g′（x） < 0，得1 < x < .

∴ g（x）在（1，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.

故f（x）在（1，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，而12 < <13.

故an的最大項是a12或a13.其中a12 = ，a13 = .

∴ an的最大項是a12或a13.

三、運用函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)列問題

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列中主要表現(xiàn)在將數(shù)列中的“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)中的“形”的問題來解決.

例4 已知數(shù)列{an}通項an = （n∈N+），前30項中最大項和最小項分別是 （ ）.

A. a1，a3 B. a1，a8 C. a10，a9 D. a10，a30

解析 an = = 1 + .

考察函數(shù)f（x） = 的圖像.

反思：本題看似是數(shù)列問題，其實是利用了數(shù)列與反比例函數(shù)的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性以及反比例函數(shù)圖像來對數(shù)列中各項的大小進行比較.