基于系統思維下的數學概念課教學

鄭瑞

一、系統思維教學認知

所謂“系統思維”就是把認識對象作為系統，從系統和要素、要素和要素、系統和環境的相互聯系、相互作用中綜合地考察認識對象的一種思維方法。

初中數學中，數、式及其運算，方程與不等式，一次函數、二次函數，三角形、四邊形等等，都是一個系統。但考慮到學生發展的水平層次需要，教材也是將各部分錯落安排在了三年的不同階段中。也只有當教師進行中考總復習時，才會將各個板塊整合在一個系統下來看待，以強調其中的關聯性。那我們能否可以在平常的教學活動中就讓學生不斷地體會感悟數學知識之間的聯系系呢，比如概念課。結合區里開展的“預學先行，小組合作”教學模式，我作了以下嘗試。

二、教材內容分析

浙教版數學八下2.1《一元二次方程》是一節概念課，又是這一章的起始課，教材的處理方式是用兩個來源于生活和生產實際中的問題作為情境，由學生列出兩個一元二次方程，感受一元二次方程的產生過程，并從而得出一元二次方程的定義。

如果只從教材教的角度分析本節課的教學內容，就容易忽視各種類型方程之間的關系。對于學生來說，一元二次方程已經不是一個獨立的新的知識，只是一元一次方程向多元高次方程的一個延續。所以，應該順著方程學習的經驗，在系統的思維下審視這堂概念課，對課程資源進行有效整合，改變教學內容的呈現方式和順序，讓學生感受到數學的整體性。這種基于系統思維下的數學概念課教學，我把它理解為：舊經驗，類比遷，其義見，新知建，整體聯，橫縱延。

三、課前自學預案設計說明

1.你能任意寫一個一元一次方程嗎？你還記得一元一次方程是如何定義的嗎？

設計說明：這樣設計，由簡入手，并讓學生回憶所學，為類比一元二次方程的定義做鋪墊。

2.請你在下列五個代數式中選取兩個，用等號連接，構建盡可能多的方程。

2x+1，4，x2，y，x3

（1）請指出你所寫的方程中哪些是我們學過的，哪些是我們沒學過的？

（2）你所寫的方程中哪些是一元一次方程？

（3）你能類比一元一次方程的概念給一元二次方程下個定義嗎？

（4）你所寫的方程中哪些是一元二次方程？

（5）為了方便學習一元二次方程，預習書本后你能寫出它的一般形式嗎？

（6）你能給其他方程命名嗎？

設計說明：第2題的一連串問題是基于以下的考慮，在學生構建方程（這里針對的是整式方程）的過程中，勢必跌宕起伏，有些方程熟悉，有些方程陌生，便會心生疑惑，而我們正是要解學生這一惑，在學生已有的方程知識基礎上（一元一次方程）類比遷移出一元二次方程的概念，而同時對“元”——未知數的個數和“次”——未知數的最高次數這兩個概念更進一步深入了解，以達到可以對高次多元方程進行命名而不陌生的目的，在系統內對方程這個大家族有一個更深刻的認識。

3.學習一元一次方程時我們從哪幾方面入手？你覺得我們可以學習一元二次方程的哪些方面？

設計說明：這一問題的設置，也是建立在學生已有的方程學習經驗上，方程的概念，方程解的概念，方程的解法，方程的應用等等，也是可以遷移到一元二次方程身上來的。讓學生明白方程的學習可以建立在系統的思維下，也更能深刻地理解知識都是有聯系和傳承的，學習是有經驗的。結合之前所提到的高次多元方程，雖然我們暫時不接觸類似方程，但如果學到也可以類比基礎方程的學習經驗。

四、課中研學學案設計說明

1.概念認知。同桌合作，寫出兩個方程，使方程①不是一元二次方程，并寫出不是的原因；使方程②是一元二次方程，并指出其一般形式，二次項系數，一次項系數和常數項。

設計說明：活動的目的是為了更好得辨識一元二次方程一般形式。同桌對學，學生自主編題，教師挑選優秀自編方程板演到黑板，由其他小組同學回答相關問題。這一過程可發揮學生的自主能動性和創造力，讓學生站在命題者的高度去思考問題。恰恰也就是這些出自于學生之手的方程，是很多老師上課舉例講解的例題或是習題，而且形式各樣，并且具有代表性，學生的想象力，創造力和模仿能力超過預期。

2.解法探究。獨學完成：①已知關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值。

②已知一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根為x1=3和x2=-1，求這個方程。

設計說明：學生之前提及了一元一次方程和二元一次方程組的解的概念，再次熟悉方程學習的思維架構。設置一元二次方程的解（或根）的應用，習題難度設置具有梯度性。學生投影展示講解，增強語言組織能力，表達分析能力。

3.顆粒歸倉。設計說明：學生自主小結，回味系統思維下的方程觀，以及所學的一元二次方程。讓學生明白一元二次方程從哪里來，到哪里去，是怎樣去的，并感悟數學知識是有機并相互聯系的。

五、系統思維教學感悟

在數學思考上，學生是新手，他們在思考的過程中往往缺乏方向性和有序性，缺乏全局觀點。大膽地重組教學內容，是“用教材教”，而不是“教教材”，能夠駕馭教材，根據不同的學情，改變教學內容的呈現方式和順序。找準學生的“最近發展區”，以在“舊知”和“新知”之間搭建一座橋梁，符合學生認知結構的知識結構，使其感受數學的整體性，更能促進學生對于于一元二次方程知識鏈的理解，獲得一元二次方程的學習途徑。

生活中“失聯”是一件很可怕的事，讓學生在學習概念課的過程中“失聯”同樣是一場令人扼腕嘆息的錯。我們要讓學生學會站在系統的高度，全局性整體得看待我們所學。數學是相互關聯的，打通了奇經八脈，就能實現學習上的可持續高效性發展。